1 

 

 

Andrzej BANACHOWICZ 

 

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej 

 
 
 
 

ANALIZA  SYSTEMOWA 

 
 

 

 

 

 
 

Szczecin 201

 

2 

 

 

 

NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA 

RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH 

 
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. 
 
Typowe 

zagadnienie 

początkowe 

(zagadnienie 

Cauchy’ego) wyraża się następującymi zależnościami: 

 

 

 

                

 

     

 

                         (1) 

 

3 

 

 
Nie  każde  zagadnienie  początkowe  (1)  ma  rozwiązanie. 
Jednakże może być spełnione dla pewnej klasy funkcji 

    

 
 

Twierdzenie. 

 

Jeśli  dla  pewnych 

          funkcja     jest  ciągła  w 

prostokącie 
 

                   

 

             

 

      , 

 

to  zagadnienie  (1)  ma  rozwiązanie 

      dla        

 

   

            , gdzie        

 

          . 

 

4 

 

 
 

 

 

Jeśli  funkcja 

   jest  ciągła,  to  zagadnienie  początkowe 

może mieć wiele rozwiązań.  
 

Na 

przykład 

zagadnienie 

 

 

   

 
 

           

ma 

rozwiązanie trywialne 

     , ale także postaci       

 

 

  

.  

 
Jednoznaczność 

rozwiązania 

wymaga 

nałożenia 

dodatkowych warunków na funkcje. 

 

 

5 

 

 
 
Twierdzenie. 

Jeśli funkcje 

  oraz 

  
  

 są ciągłe w prostokącie  

 

                   

 

             

 

      , 

 
to dla   

     

 

                 zagadnienie początkowe ma 

jednoznaczne rozwiązanie. 
 
Inne,  tego  typu  twierdzenie,  jest  oparte  na  nierówności 
Lipschitza. 

 

6 

 

 
 

Twierdzenie. 

 

Jeśli  funkcja 

   jest  ciągła  dla           ,              i 

jeśli istnieje stała 

  taka, że zachodzi nierówność 

 

       

 

          

 

        

 

   

 

   

 
to  zagadnienie  początkowe 

 

 

                     ma  w 

przedziale 

       jednoznaczne rozwiązanie. 

 

 

7 

 

Powyższa  nierówność  nosi  nazwę  warunku  Lipschitza 
(względem drugiej zmiennej – 

 ). 

 

Dla funkcji jednej zmiennej 

 , warunek  

 

    

 

       

 

        

 

   

 

   

 
pociąga  za  sobą  ciągłość  tej  funkcji.  I  może  być  również 
spełniony, gdy jej pochodna nie wszędzie istnieje.  
 

 

 

8 

 

Jeśli  pochodna 

       istnieje  i  jeśli                to  na 

mocy twierdzenia o wartości średniej spełniony jest warunek 
Lipschitza. 
 
 

Przykład. 
Wykazać,  że  następujące  zagadnienie  początkowe  ma 

rozwiązanie: 

 

 

           

 

                 dla      

 
 

   

 
 
 

 

9 

 

Mamy 

 

      

 

   

 

 

             

 

   

 

 

        

     

 

   

 

      

 

 

   

 

 

          

     

 

   

 

      

 

   

 

   

 

   

 

        

     

 

   

 

        

 

   

 

         

         

 

   

 

          

 

   

 

   

 

ale 

         , to 

 

      

 

   

 

 

             

 

   

 

 

            

 

   

 

  

 

dla 

          

 

   

 

  oraz      

 
 

  

 

10 

 

 
 

Zastosowanie wzoru Taylora. 

 
 

Rozwiązując numerycznie równanie różniczkowe, na ogół 

otrzymujemy  tablicę  przybliżeń 

 

 

  wartości  dokładnego 

rozwiązania 

   dla  argumentów   

 

   Na  podstawie  tej  tablicy 

budujemy funkcję przybliżającą to rozwiązanie. 
 
 

Przykład. 

 

Korzystając  ze  wzoru  Taylora  zakładamy  istnienie 

odpowiednich pochodnych funkcji f. Rozpatrzmy następujący 
zadanie.  

 

11 

 

Dane jest zagadnienie Cauchy’ego: 

 

 

 

              

                            

 
 

         

 
Ze wzoru Taylora mamy 

 

           

 

         

 

     

 

  

 

 

 

  

     

 

  

 

 

 

   

     

 

  

 

 

 

   

     

    
w którym odrzucono pochodne począwszy od piątej. 

 

12 

 

 
Wyrażenie  na  pierwszą  pochodną 

 

 

  mamy  dane  w 

zagadnieniu  początkowym.  Wyższe  pochodne  otrzymamy 
różniczkując to wyrażenie.  

 
Mamy więc 

 
 

  

          , 

 

   

           , 

 

   

           . 

 
 

 

13 

 

 
Stąd,  ze  wzoru  Taylora  otrzymamy  następujący  ciąg 
rekurencyjny: 

 

   

   

       

 

          

 

      

 

  

 

   

 

  

 

 

 

  

  

 

    

 

 

 

  

 

 

 

   

  

 

     

 

  

 

 

 

   

  

 

  

 
i  wykorzystując  obliczone  pochodne  powyżej  pochodne, 
przyjmując 

                        , otrzymamy 

 

 

14 

 

 
 
   

   

       

 

          

 
     

 

                   

 

                   

 

    

 

          

  

         

 

            

  

         

 

   

 

 
 
 
 

 

15 

 

Oraz uwzględniając warunek 

             , będziemy mieli: 

 
   

 

       

 

         

 

                               

  

             

 
   

 

       

 

        

                                             
                       

 
……………………………………………… 

 

16 

 

t

x

x'

x - obliczone numerycznie

Różnice

0

-0,5000

1,0000

-0,5000

0,0000

0,1

-0,3900

1,1987

-0,3900

0,0000

0,2

-0,2605

1,3894

-0,2605

0,0000

0,3

-0,1127

1,5646

-0,1127

0,0000

0,4

0,0516

1,7174

0,0516

0,0000

0,5

0,2298

1,8415

0,2298

0,0000

0,6

0,4188

1,9320

0,4188

0,0000

0,7

0,6150

1,9854

0,6150

0,0000

0,8

0,8146

1,9996

0,8146

0,0000

0,9

1,0136

1,9738

1,0136

0,0000

1

1,2081

1,9093

1,2081

0,0000

1,1

1,3943

1,8085

1,3942

0,0000

1,2

1,5687

1,6755

1,5687

0,0000

1,3

1,7284

1,5155

1,7284

0,0000

1,4

1,8711

1,3350

1,8711

0,0000

1,5

1,9950

1,1411

1,9950

0,0000

1,6

2,0991

0,9416

2,0991

0,0000

1,7

2,1834

0,7445

2,1834

0,0000

1,8

2,2484

0,5575

2,2484

0,0000

1,9

2,2955

0,3881

2,2955

0,0000

2

2,3268

0,2432

2,3268

0,0000

2,1

2,3451

0,1284

2,3451

0,0000

2,3

2,3561

0,0063

2,3537

0,0024

2,4

2,3563

0,0038

2,3538

0,0024

2,5

2,3582

0,0411

2,3558

0,0024

2,6

2,3657

0,1165

2,3633

0,0024

2,7

2,3827

0,2272

2,3802

0,0024

2,8

2,4122

0,3687

2,4098

0,0024

2,9

2,4572

0,5354

2,4548

0,0024

 

 

 

17 

 

 

Numeryczne rozwiązanie równanie różniczkowego – wzór Taylora. 

 

18 

 

 

 
Wady i zalety: 

 
Wady  –  Jeśli  rząd  metody  (stopień  wykorzystywanej 
pochodnej)  jest  większy  od  1,  to  zachodzi  konieczność 
wielokrotnego  różniczkowania  funkcji 

 .  Jej  odpowiednie 

pochodne  muszą  istnieć  w  obszarze,  przez  które  przechodzi 
poszukiwane  rozwiązanie.  Jest  to  warunek  znacznie 
mocniejszy niż ten, który zapewnia istnienie i jednoznaczność 
rozwiązania.  Ewentualna  pomyłka  popełniona  podczas 
analitycznego  różniczkowania  funkcji  nie  będzie  wykryta 
podczas obliczeń numerycznych.  

 

19 

 

 
Zalety  –  Zaletą  jest  prostota  metody  oraz  fakt,  że  na  niej 
opiera się wiele innych metod rozwiązywania numerycznego 
równań różniczkowych zwyczajnych. Zapewnia też ona dużą 
dokładność, gdy uwzględni się pochodne wyższych stopni. 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

20 

 

Błędy. 

 
W  metodzie  wykorzystującej  wzór  Taylora  uwzględniamy 
składniki  aż  do  zawierającego 

 

 

   Odrzucona  reszta  jest 

równa 
 

 

 

 

 

        

 

   

 

     

                         

 

Jest to błąd lokalny metody. 

 
 

 

21 

 

 
Nie  znamy 

       –szej    pochodnej,  ale  jej  proste 

przybliżenie określa wzór 
 

 

 

 

 

        

 

 

  

   

           

   

      

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

22 

 

 

Ogólnie,  błędy  występujące  w  każdej  metodzie 

rozwiązywania  numerycznego  równań  różniczkowych 
zwyczajnych zaliczamy do następujących grup: 

a)  błąd lokalny metody, 
b)  błąd lokalny zaokrąglenia, 
c)  błąd globalny metody, 
d)  błąd globalny zaokrąglenia, 
e)  błąd całkowity. 
 
 
 

 

23 

 

 
Błąd  lokalny  metody,  podobnie  jak  w  powyższym 

przykładzie,  jest  skutkiem  obcięcia  procesu  (wyrażenia) 
nieskończonego  do  postaci  skończonej.  Bywa  też  nazywany 
błędem obcięcia. 

 
Błąd  lokalny  przenosi  się  na  wartości  obliczane  w 

następnych  krokach.  Skutki  wszystkich  błędów  lokalnych 
metody  kumulują  się  i  dają  błąd  globalny  metody  (wartości 
końcowej). 

 

24 

 

Błędy  lokalne  rzędu   

   

   

   dają  błąd  globalny  nie 

mniejszy  niż 

   

 

 ,  gdyż  liczba  kroków  niezbędna  dla 

przejścia od 

 

 

 do dowolnego 

  wynosi 

   

 

 

  

 

Błąd  zaokrąglenia  spowodowany  jest  ograniczoną 

precyzją  obliczeń,  a  jego  wielkość  zależy  od  typu  liczb,  na 
których operuje komputer. Również ten błąd lokalny przenosi 
się na błąd globalny zaokrąglenia (końcowej wartości). 

 

 

Błąd  całkowity  jest  sumą  błędów  globalnych  metody  i 

zaokrąglenia. 
 

 

25 

 

 

Metoda Eulera. 

 
 

Metodą  rzędu  pierwszego,  opartą  na  wzorze  Taylora,  jest 

metoda Eulera. Przedstawia ją następujący wzór: 
 

                    

 

                       

 

Zaletą  tej  metody  jest  jej  prostota  oraz  to,  że  nie  musimy 
różniczkować  funkcji 

    Wadą  jest  konieczność  wyboru 

bardzo małego 

  (ze względu na dokładność). 

 
 

 

26 

 

Metoda ta ma także ważne znaczenie teoretyczne, bowiem 

na  metodzie  Eulera  oparty  jest  jeden  z  dowodów  istnienia 
rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego. 

 
Przykład. 

 

Ruch  obiektu  na  płaszczyźnie  (statku,  samolotu)  opisuje 

następujące równanie 

 

 

 

            

 

gdzie: 

   –  wektor  położenia  (współrzędnych),     –  wektor 

prędkości, który znamy tylko z pomiarów.  
 

 

27 

 

 

Rozwiązaniem jest: 

 



 DR –            

                           (metoda Eulera) 

 



 INS –           

                          

 

 

 

      

 

28 

 

 

Rys. Nawigacja zliczeniowa. 

 

29 

 

 
Równanie z opóźnionym argumentem. 
 
W  niektórych  zastosowaniach  występują  równania 

różniczkowe  z  opóźnionym  argumentem;  na  przykład  w 
biologicznych modelach zmienności populacji.  

 
Wówczas  wartość 

 

 

     zależy  od  wartości  funkcji     dla 

wcześniejszych  wartości  argumentu 

    Przykładem  jest 

równanie 

 

 

 

                   

 

30 

 

Aby  rozwiązać  takie  równanie  zaczynając  od  momentu 

     ,  musimy  znać  historię  funkcji        w  przedziale 
         Są to warunki początkowe tego zagadnienia. 

 
Przykład. 
Rozpatrzmy zagadnienie  

 

 

 

                                 

 

                  

 

Stąd, dla 

           mamy 

 

 

 

                        

 

 

           

 

 

31 

 

Dokładne rozwiązanie będzie następujące: 

 

      

 
 

       

 

 

 
 

                   

 

Następnie dla 

           będziemy mieli 

 

 

 

                

 
 

       

 

 

 
 

 

      

 
 

  

 

i dokładne rozwiązanie 

 

      

 

  

       

 

 

 
 

   

 

  

                     itd. 

 

 

32 

 

 
 

W  przypadku  bardziej  złożonych  równań  różniczkowych 

rozwiązujemy  je  numerycznie,  np.  wykorzystując  wzór 
Taylora. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

33 

 

 
 

Metody Rungego – Kutty. 

 
 

Wykorzystując  wzór  Taylora  do  rozwiązania  zagadnienia 

początkowego  w  metodzie 

 –tego  rzędu  musimy  znaleźć 

wyrażenia dla pochodnych funkcji 

  względem  , aż do  –tej 

pochodnej włącznie. 
 
 

Metody  Rungego  –  Kutty  pozwalają  na  pominięcie  tego 

procesu. Zamiast pochodnych będziemy obliczali, dobrane w 
pewien sposób, kombinacje wartości funkcji 

   

 

 

34 

 

 
 

Metoda Rungego – Kutty rzędu drugiego. 

 
 

Wykorzystamy  związek  pomiędzy 

   i   

 

  występujący  w 

zagadnieniu początkowym. Mamy 
 

 

 

                   

to 

 

  

       

 

   

 

 

 

   

 

   

 

  

 

oraz 

 

 

   

       

  

   

  

      

 

   

 

   

 

     

  

   

  

   itd. 

 

35 

 

 
Uwaga:  Występują  tutaj  funkcje  złożone  i  pochodne 
cząstkowe. 
 
Obliczone  w  ten  sposób  pochodne  wstawiamy  do  wzoru 
Taylora: 

 

                   

 
 

 

 

  

 

   

 

        

 

    

 

     

 
 

    

 
 

        

 

    

 

        

 

   

 

 

36 

 

 
Pochodne cząstkowe można wyeliminować wykorzystując 

wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Mamy 
 

                         

 

    

 

       

 

   

 

czyli 
 

              

 
 

    

 
 

                       

 

   

 
 

 

37 

 

Stąd  przybliżone  wyrażenie  dla 

          będzie 

następujące: 

 

                 

 
 

  

 

   

 

   

 

gdzie  

 

 

 

               

 

                 

 

    

 

Jest to szczególny przypadek metody Rungego – Kutty rzędu 
drugiego, zwany metodą Heuna. 
 

 

38 

 

 

Metoda Rungego – Kutty rzędu czwartego. 

 
 

Konstrukcja  metod  Rungego  –  Kutty  wyższych  rzędów 

jest dosyć uciążliwa i przedstawimy tylko metodę czwartego 
rzędu.  

 

 

Klasyczną  postać  metody  Rungego  –  Kutty  rzędu 

czwartego przedstawia następujący wzór: 
 

                 

 
 

  

 

    

 

    

 

   

 

   

 

gdzie  

 

39 

 

 

 

 

               

 

 

 

         

 
 

      

 
 

 

 

    

 

 

 

         

 
 

      

 
 

 

 

   

 

 

 

                 

 

   

 
 
 

 

40 

 

Rząd  tej  metody  jest  równy  4,  ponieważ  błąd  wzoru 

przybliżonego wynosi 

   

 

 ; wyrażenie składnika błędu z  

 

 

jest znane. 

 
Przykład. 
Zastosować metodę Rungego – Kutty czwartego rzędu do 

zagadnienia początkowego 

 

 

 

   

   

       

 

  

           

 

                            

 

   

  

 

 

41 

 

Mamy następujący ciąg: 
 

                 

 
 

  

 

    

 

    

 

   

 

   

 

 

 

    

   

       

 

      

 

dalej odpowiednio, podstawiając 

 

 

 

         

 
 

      

 
 

 

 

    

 

 

42 

 

 

 

 

         

 
 

      

 
 

 

 

   

 

 

 

                 

 

   

 
 
Rozwiązanie analityczne jest następujące: 
 

          

 
 

        

   

  

 

 

43 

 

 

 
Błąd lokalny metody Rungego – Kutty  

     czwartego rzędu. 
 
 

W  pierwszym  kroku  obliczeń  otrzymujemy  przybliżone 

rozwiązanie 

    

 

      Błąd lokalny wynosi więc 

 

   

 

           

 

      

 

Z  badań  nad  tą  metodą  wynika,  że  dla  małych 

   błąd  ten 

zachowuje się jak czynnik 

  

 

  gdzie   jest nieznane i zależy 

od 

 

 

 oraz rozwiązania 

  (lecz nie zależy od  ). 

 

44 

 

 

 
Załóżmy, że 

  jest lokalnie stałe. Niech     

 

     będzie 

przybliżonym  rozwiązaniem  otrzymanym  z 

   

 

   z 

wykorzystaniem  dwóch  kroków  metody,  z 

 

 

  w  miejsce 

   

Stąd mamy 
 

   

 

           

 

         

 

 

oraz 

   

 

           

 

           

 
 

 

 

  

 

 

45 

 

Uwzględniając 

powyższe, 

po 

odpowiednich 

przekształceniach, otrzymamy lokalny błąd równy 

 

  

 

 

  
  

     

 

           

 

        

 

      

 

           

 

      

 

Na  tej  podstawie  możemy  sterować  tak  programem 

obliczeń,  aby  utrzymywać  założony  błąd  metody, 
zmniejszając lub zwiększając 

   

 

 

46 

 

 
Adaptacyjna metoda Rungego – Kutty – Fehlberga. 
 
Wykazano,  że  jeśli  liczba  wartości  funkcji 

   obliczanych 

w jednym kroku metody Rungego – Kutty jest ustalona, to jej 
rząd nie przekracza pewnej wielkości: 
 

Liczba wartości funkcji  

1  2  3  4  5  6  7  8 

Maksymalny rząd metody R. – K.  1  2  3  4  4  5  6  6