1

Andrzej BANACHOWICZ

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej

ANALIZA SYSTEMOWA

Szczecin 2012

2

ZADANIA TEORII SYSTEMÓW

• Podstawowe pojęcia

• Rodzaje zadań.

3

Element – najprostsza, niepodzielna część systemu z punktu
widzenia rozwiązywanego zadania.

Podsystem – wyodrębniona część systemu, jako grupa
wzajemnie powiązanych elementów; zdolna realizować
względnie niezależne funkcje.

Komponenty – elementy i podsystemy systemu.

Struktura – najistotniejsze współzależności pomiędzy
elementami i podsystemami; strukturę można przedstawić
graficznie w postaci grafów, macierzy, zbiorów, relacji itd.

4

Hierarchia – uporządkowanie komponentów według stopnia
ważności.

Więź (łączność, sprzężenie) – powiązania elementów i
podsystemów w jeden system.

Systemy złożone lub wielkie systemy (Large Scale System).

Stan – zbiór zmiennych charakteryzujących procesy w
systemie.

Zachowanie się systemu – funkcje niektórych sygnałów
wejściowych i wyjściowych.

5

Model systemu – opis systemu, który określa wszystkie jego
istotne właściwości (cechy, atrybuty, powiązania).

System ciągły – zbiór wartości argumentu jest funkcją ciągłą
w interesującym nas przedziale.

System dyskretny – zbiór wartości argumentu jest funkcją
dyskretną w interesującym nas przedziale.

System dynamiczny – system, którego wyjście

zależy

od wartości wejścia

w całym nieskończonym przedziale

poprzedzającym moment t, czyli:

.

6

Często wprowadzamy nową zmienną X(t), zmienną stanu, z
warunkiem początkowym X(t

0

).

System spełnia następujące równania

, t

0

<

≤ t,

X(t) = F[t, X(t

0

),

],

Y(t) =

[t, X(t), U(t)].

7

Odpowiada to następującemu schematowi strukturalnemu:

Rys. Schemat strukturalny ogólnego systemu dynamicznego.

8

W wielu przypadkach wyjście Y(t) nie zależy bezpośrednio
od sterowania (wejścia)

, ale jest funkcją stanu X(t), tj.

U =

, t

0

<

≤ t,

X(t) = F[t, X(t

0

),

],

Y(t) =

[t, X(t)].

9

Rys. Schemat strukturalny systemu dynamicznego.

10

Zadania teorii systemów:



synteza,



analiza,



obserwacja (estymacja),



identyfikacja,



sterowanie,



sterowanie adaptacyjne.

11

Zadanie syntezy.
Zadanie to polega na skonstruowaniu (lub opracowaniu
modelu

matematycznego)

systemu

dynamicznego

o

założonych parametrach, strukturze i właściwościach, z
przeznaczeniem do realizacji konkretnego zadania (procesu).

Zadanie analizy.
W tym przypadku zakładamy, że znamy model matematyczny
struktury i parametrów systemu oraz charakter wszystkich
oddziaływań wejściowych. Należy określić wszystkie
elementy wektora wyjścia systemu Y(t). Oznacza to
wyznaczenie reakcji systemu na wektor wejściowy U(t) przy
znanym modelu matematycznym systemu (poniższy rysunek).

12

Rys. Zadanie analizy systemu dynamicznego.

13

Zadanie obserwacji (estymacji).
W przypadku deterministycznym mamy do czynienia z
obserwacją, a w przypadku losowym – z estymacją. W
ogólnym przypadku chodzi tutaj o określenie wektora stanu
systemu X(t) na podstawie obserwacji wektora wyjścia Y(t) w
przedziale czasu t

0

<

≤ t (poniższy rysunek).

Rys. Zadanie obserwacji (estymacji) systemu dynamicznego.

14

ZADANIA ESTYMACJI

• filtracja – estymujemy stan systemu na

bieżący moment t na podstawie znajomości
wyjść dla t



(t

0

, t];

• aproksymacja (wygładzaniem) – estymujemy

stan systemu na moment t



(t

0

, t), na

podstawie znajomości wyjść dla t



(t

0

, t];

• predykcja (prognoza, ekstrapolacja) –

estymujemy stan na moment t > t, na
podstawie znajomości wyjść dla t



(t

0

, t].

15

Rys. Filtracja.

16

Rys. Aproksymacja.

17

Rys. Predykcja.

18

Zadanie identyfikacji.
Polega ono na zbudowaniu modelu matematycznego systemu
na podstawie eksperymentalnych obserwacji wejść i wyjść. W
przypadku znajomości ogólnego modelu strukturalnego
(jakościowego)

są

identyfikowane

jego

parametry.

Identyfikacja, podobnie jak i obserwacja, może dotyczyć
modelu deterministycznego lub probabilistycznego.

Rys. Zadanie identyfikacji systemu dynamicznego.

19

Zadanie sterowania.
W tym przypadku należy określić sterowanie (wektor
wejściowy) U(t), aby zachowanie systemu odpowiadało
zadanym wymaganiom. Zakłada się przy tym pełną
znajomość

modelu

matematycznego

systemu

(deterministycznego lub probabilistycznego). Mogą zajść trzy
warianty tego zadania:

a) Określenie wektora sterowań w postaci pewnej funkcji

U, zapewniającej założoną (programową) zmianę wektora
wyjścia Y. Nazywamy to zadaniem sterowania
programowego.

20

Rys. Sterowanie programowe.

b) Określenie wektora wejściowego U(t) w postaci

operatora wektora stanu U = X(t), zapewniającego
wymaganą zmianę (wymagany przebieg) wektora wyjścia
Y(t). Są to systemy ze sprzężeniem zwrotnym względem
wektora stanu.

21

Rys. Sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym względem stanu

systemu.

22

c) Określenie wektora wejściowego U w postaci operatora

wektora wyjścia U = Y(t), zapewniającego wymaganą
zmianę (wymagany przebieg) wektora wyjścia Y(t). Są to
systemy ze sprzężeniem zwrotnym względem wektora
wyjścia.

Rys. Sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym względem

wyjścia.

23

Zadanie sterowania adaptacyjnego.
Jest to zadanie sterowania w przypadku niepełnej lub
niepewnej informacji o strukturze i/lub parametrach modelu
matematycznego systemu.

Rys. Zadanie sterowania adaptacyjnego systemu

dynamicznego.

24

Ścisłe sformułowanie powyższych zadań jest w ogólnym
przypadku skomplikowane ze względu na występujące
zakłócenia systemu, sterowań oraz pomiarów.

25

ALGEBRA LINIOWA

Określenie przestrzeni liniowej.

Niech K będzie ustalonym ciałem liczbowym (tutaj

wystarczy zbiór liczb rzeczywistych R) o następujących
własnościach:
Jeśli a, b



K, to a + b



K, a – b



K oraz a · b



K.

Jeśli b ≠ 0, to a/b



K.

26

Niech X będzie niepustym zbiorem. Jego elementy będziemy
oznaczać x, y, z … i nazywać wektorami. Zakładamy, że w
zbiorze tym określone są dwa działania:



Dodawanie: Każdej parze wektorów x, y



X jest

przyporządkowany pewien wektor należący do X, zwany
ich sumą i oznaczany przez x + y.



Mnożenie wektora przez element ciała K (mnożenie
wektora przez skalar): każdej parze a



K, x



X

przyporządkowany jest pewien wektor należący do X,
zwany iloczynem liczby a i wektora x; oznaczany przez
ax.

27

Zbiór X nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K lub
przestrzenią wektorową nad ciałem K, jeśli spełnione są
następujące warunki:
1) x + y = y + x

(przemienność dodawania wektorów);

2) (x + y) + z = x + (y + z) (łączność dodawania wektorów);

3) dla każdej pary (niekoniecznie różnych) wektorów x, y



X

równanie x + z = y ma dokładnie jedno rozwiązanie w X;
oznaczamy je jako y – x;

4) a (x + y) = a x + a y;
5) (a + b) x = a x + b x;
6) a (b x) = (a · b) x;
7) 1 x = x (1 oznacza jedność ciała K).

28

Przekształcenie liniowe.

A: L

n

→ L

m

takie, że A(ax + by) = aAx + aAy (może być to

inna funkcja).

Wektorem m-wymiarowym kolumnowym nazywamy układ m
liczb rzeczywistych x

i

, ... x

m

:

Liczby x

i

nazywamy składowymi wektora.

Powyższy zapis pokazuje wektor kolumnowy jako wektor
wierszowy transponowany.

29

Wektory kolumnowe (lub wierszowe) x, y są równe, gdy:



mają ten sam wymiar,



dla każdego i = 1, 2, ..., m, zachodzi równość:

x

i

= y

i

.

Można mnożyć wektor przez liczbę rzeczywistą.

Zdefiniowane jest dodawanie i odejmowanie dwóch
wektorów kolumnowych o tych samych wymiarach.

30

Zależność liniowa wektorów: Wektory x, y, z, … , v
nazywamy liniowo zależnymi, gdy istnieją takie liczby















, z których co najmniej jedna jest różna od zera

oraz



x +



y +



z + … +



v = 0.

W

przeciwnym

przypadku

wektory

te

nazywamy

niezależnymi liniowo, co odpowiada implikacji



x +



y +



z + … +



v = 0

















= 0.

31

Zbiór n-liniowo niezależnych wektorów przestrzeni L

n

nazywamy bazą.

Liczba niezależnych wektorów określa wymiar przestrzeni.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów m-wymiarowych:

32

Dwa wektory x i y są ortogonalne (prostopadłe), gdy ich
iloczyn skalarny jest równy zeru.

Macierzą o wymiarach m



n nazywamy tablicę (m – wierszy,

n – kolumn)

zawierającą m·n liczb rzeczywistych a

ij

W ogólnym przypadku mogą to być liczby zespolone lub inne
abstrakcyjne elementy.

33

W szczególnym przypadku wektor kolumnowy m-
wymiarowy możemy interpretować jako macierz o m
wierszach i jednej kolumnie. Z kolei wektor wierszowy k-
wymiarowy można interpretować jako macierz o jednym
wierszu i k-kolumnach.

W przypadku, gdy m = n, mówimy że jest to macierz
kwadratowa.

Pozycje elementów a

ii

nazywamy główną przekątną.

34

Macierz, w której poza główną przekątną są same zera
nazywamy macierzą diagonalną.

35

Macierz diagonalną, której elementy na głównej przekątnej
(diagonali) są jedynkami nazywamy macierzą jednostkową i
oznaczamy przez I (czasami w publikacjach występuje jako
E – element neutralny mnożenia macierzy).

Macierz zerowa

36

Określona jest suma i różnica macierzy o tych samych
wymiarach.

Równość macierzy (o tych samych wymiarach) oznacza, że
dla wszystkich i, j zachodzi

Dowolną macierz można pomnożyć przez liczbę (skalar)

37

Macierz transponowaną do danej macierzy otrzymujemy
przez zamianę wierszy na kolumny (lub odwrotnie)

Właściwości transpozycji









38

Iloczyn macierzy:



kwadratowych o tych samych wymiarach



prostokątnych

Może zajść przypadek, że iloczyn dwóch macierzy
niezerowych będzie macierzą zerową (A ≠ 0 oraz B ≠ 0)

AB = 0.

39

Przykład:

·

=

.

Macierzą symetryczną nazywamy taką macierz kwadratową,
dla której zachodzi równość (a

ij

= a

ji

)

Macierz skośno-symetryczna, gdy a

ij

= – a

ji

. Elementy

głównej przekątnej macierzy skośno-symetrycznej są równe
zeru. Zachodzi również równość

40

Macierz trójkątna

.

Jest to macierz dolno-trójkątna. Jest też macierz górno-
trójkątna.

41

Macierz blokowa

42

Macierzą diagonalną nazywamy macierz, której wszystkie
elementy nie leżące na głównej przekątnej są równe zeru, tj
macierz postaci

A =

=

=

diag

.

43

Macierzą quasi-diagonalną nazywamy macierz postaci

A =

,

A

1

, A

2

, … , A

s

– macierze kwadratowe, których suma stopni

jest równa n.

Rank A =

.

44

Mnożenie macierzy diagonalnych tego samego stopnia
sprowadza się do mnożenia elementów diagonalnych o tych
samych wskaźnikach:

A·B = [a

1

b

1

, a

2

b

2

, … , a

n

b

n

].

Jeśli macierze quasi-diagonalne A, B mają taką samą
strukturę, tj. ich odpowiednie podmacierze są tego samego
stopnia, to

A·B = [A

1

B

1

, A

2

B

2

, … , A

n

B

n

].

45

Potęgę naturalną macierzy A określa się rekurencyjnie

A

m

=

oraz A

0

= I.

Dla macierzy diagonalnych i quasi-diagonalnych mamy

A = [a

1

, a

2

, … , a

n

]



A

m

= [

,

, … ,

]

A = [A

1

, A

2

, … , A

s

]



A

m

= [

,

, … ,

]

46

Potęgę całkowitą ujemną macierzy nieosobliwej określamy
jako:

.

Dla macierzy diagonalnych i quasi-diagonalnych zachodzą
zależności:

A = [a

1

, a

2

, … , a

n

]



= [

,

, … ,

]

A = [A

1

, A

2

, … , A

s

]



= [

,

, … ,

]

47

Macierz ortogonalna

AA

T

= A

T

A = I.

Właściwości mnożenia macierzy





Jeśli zachodzi równość

48

to są to macierze przemienne.

Wyznacznik macierzy

gdzie

jest podmacierzą macierzy A powstałą po

usunięciu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

Jeśli macierze A i B są tego samego stopnia, to

det AB = det A det B.

49

Minor macierzy A względem elementu a

ij

nazywamy

wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A po
skreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

Macierz odwrotna (tylko dla kwadratowej i o ile jest to
macierz nieosobliwa, tj. wyznacznik jej jest różny od zera)

50

Właściwości odwracania macierzy









51

Obliczanie macierzy odwrotnej A

-1



Minor macierzy



Dopełnienie algebraiczne elementu



Macierz dopełnień

utworzoną z dopełnień

algebraicznych



Macierz dołączona



Macierz odwrotna

52

Równanie liniowe

A·x =



·x,



– skalar (dowolna liczba), (*)

odgrywa ważna rolę w zastosowaniach.

Trywialnym rozwiązaniem jest wektor zerowy

Wartości

(zespolone lub rzeczywiste), dla których

istnieją rozwiązania różne od zera nazywamy wartościami
własnymi, a niezerowe wektory spełniające to równanie –
wektorami własnymi.

53

Zbiór wartości własnych danej macierzy nazywamy

widmem tej macierzy.

Zadanie określenia zbioru

i nazywamy zagadnieniem

własnym.

Równanie (*) możemy przekształcić do postaci

. (**)

Aby istniało nietrywialne rozwiązanie tego (jednorodnego)

równania, macierz

musi być macierzą osobliwą, tj.

54

Macierz

nazywamy macierzą charakterystyczną.

A wyznacznik

wielomianem charakterystycznym.

Równanie

nazywamy równaniem charakterystycznym (wiekowym).

55

Podobieństwo macierzy.

Dwie macierze A i B nazywamy podobnymi, jeśli dla

dowolnej macierzy nieosobliwej T, zachodzi równość:

A · T = T · B,

stąd

B = T

-1

AT.

56

Przekształcenie T

-1

AT nazywamy przekształceniem przez

podobieństwo z macierzą T:

det (T

-1

AT –



I) = det (T

-1

AT – T

-1



I T) =

= det [T

-1

(A –



I) T] = det T

-1

· det (A –



I) · det T =

= det T

-1

· det T· det (A –



I) = det (A –



I),

czyli

det (B –



I) = det (A –



I).

57

Mamy również

T

-1

(A

1

+ A

2

) T = T

-1

A

1

T + T

-1

A

2

T

oraz

(T

-1

AT)

m

= T

-1

A

m

T.

Macierze podobne mają:



jednakowe wyznaczniki, tj. det A = det B,



jednakowe widma.

58

Przykład.

Rozpatrzmy przykład konstruowania macierzy podobnej.
Mamy macierz

A =

oraz macierz nieosobliwą T =

.

Z zależności A · T = T · B mamy, że B = T

-1

AT. Obliczmy

macierz T

-1

:

T

-1

=

=

.

59

Sprawdźmy

T

-1

T =

·

=

.

Obliczmy macierz B:

B =

·

·

=

=

·

60

det B = 2 · (

5) – 6 · ( 2) = – 10 + 12 = 2

det A = 0 · (

3) – 1 · ( 2) = 0 + 2 = 2

|A –



I| =

=



















|B –



I| =

=

=























61

Jeśli macierz wektorów własnych jest nieosobliwa, to dla
macierzy podobnych będziemy mieli

A · X = X · B.

Wtedy macierz A, jeśli wszystkie jej wartości własne są
różne, można przedstawić w postaci

B = diag {















n

},

gdzie:















n

– widmo macierzy A (więc i macierzy B),

czyli

62

B =

.

63

Pochodne.

Pochodna funkcji wektorowej (funkcja skalarna zmiennej
wektorowej, funkcja wielu zmiennych, gradient):

f

x

=

Macierz drugich pochodnych (jej wyznacznik to hesjan):

64

Pochodna funkcji wektorowej zmiennej wektorowej f(x), jest
to macierz pierwszych pochodnych – macierz Jacobie’go (jej
wyznacznik to jakobian):

65

Pochodna funkcji wektorowej zmiennej skalarnej f(x)

F

x

=

.

Jest to macierz jednowierszowa (często utożsamiana z
gradientem).

Pochodna funkcji macierzowej zmiennej skalarnej F(x) =
[f

ij

(x)]

66

Pochodna sumy i iloczynu funkcji macierzowych



Jeśli F = G + H



F

x

= G

x

+ H

x



Jeśli f(x) = a

T

x



f

x

= a

oraz F

xx

= 0



Jeśli f(x) = A x



f

x

(x) = A

T



Jeśli f(x) = x

T

A x



f

x

= 2Ax oraz F

xx

= A (dla

macierzy symetrycznej A)



Jeśli f(x) = g

T

(x) h(x)



f

x

= G

x

h + H

x

g

Uwaga: f

x

=

h +

g , jeśli G

x

:=

oraz H

x

:=

.