1
Andrzej BANACHOWICZ
Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej
ANALIZA SYSTEMOWA
Szczecin 2012
1
Andrzej BANACHOWICZ
Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej
ANALIZA SYSTEMOWA
Szczecin 2012
2
MODELE SYSTEMÓW CIĄGŁYCH
Postać normalna równania układu dynamicznego.
Linearyzacja równań systemów nieliniowych.
3
W przypadku układów fizycznych, wykorzystując metodę
Lagrange’a – Maxwella, otrzymamy następujące równania
opisujące układ dynamiczny:
=
q
1
, … , q
s
;
, … ,
; f
1
(t), … , f
m
(t)),
….……………………………………… , (1)
=
s
q
1
, … , q
s
;
, … ,
; f
1
(t), … , f
m
(t)),
gdzie: q
1
, … , q
s
– współrzędne uogólnione układu dynamicznego
w przestrzeni konfiguracyjnej, s – stopień swobody układu
dynamicznego (wymiar przestrzeni konfiguracyjnej).
4
Zazwyczaj układ (1) sprowadzamy do postaci normalnej, w
przestrzeni stanu (fazowej), w której każde równanie jest
rozwiązane względem pierwszej pochodnej, tj.
=
y
1
, … , y
n
; f
1
(t), … , f
m
(t)),
………………………………… , (2)
=
n
y
1
, … , y
n
; f
1
(t), … , f
m
(t)),
gdzie: q
1
= y
1
, … , q
s
= y
s
,
= y
s+1
, … ,
= y
n
.
5
Przykład 1.
Układ dynamiczny opisany jest równaniem różniczkowym
drugiego rzędu:
q
+ aq + bq = u. (3)
Oznaczmy:
q = y
1
,
=
= y
2
, q
=
.
Stąd otrzymamy:
= y
2
,
= – by
1
– ay
2
+ u.
6
Wprowadźmy dalsze oznaczenia:
= [
]
T
,
y = [y
1
, y
2
]
T
.
Stąd
=
·
+
u.
Oznaczając
A =
oraz B =
,
7
otrzymamy
= Ay + Bu. (4)
W analogiczny sposób sprowadzamy równania różniczkowe
wyższych rzędów do postaci normalnej w przestrzeni stanu.
Rozpatrzmy następujące równanie:
y
(n)
+ a
1
y
(n-1)
+ … + a
n-1
+ a
n
y = bu. (5)
8
Wprowadzając oznaczenia
y = x
1
,
= x
2
,
…… ,
y
(n-1)
= x
n
,
y
(n)
=
,
równanie (5) można zapisać w postaci:
= Ax + Bu, (6)
9
gdzie:
= [
, … ,
]
T
,
x = [x
1
, … , x
n
]
T
,
b
a
a
a
a
a
n
n
n
0
0
,
...
1
0
...
0
0
0
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
0
...
0
1
0
1
2
2
1
B
A
10
Analizę układów dynamicznych bardzo często wykonuje się w
przestrzeni stanów. Dotyczy to zarówno układów liniowych, jak i
nieliniowych. Przy czym układy nieliniowe sprowadzamy do
postaci liniowej dokonując linearyzacji poprzez rozwinięcie w
szereg Taylora.
Rozpatrzmy
nieliniowy
układ
dynamiczny
opisany
następującym równaniem:
(7)
gdzie: z – wymuszenie zewnętrzne.
11
Przyjmijmy pewien ustalony punkt przestrzeni stanu
w którym
(8)
Dokonajmy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji (7) w otoczeniu
tego punktu.
12
Wówczas będziemy mieli:
(9)
13
gdzie:
– reszta szeregu Taylora (zazwyczaj nieskończonego).
W założeniu x,
,
oraz u są to wielkości małe, z otoczenia
ustalonego punktu. Zgodnie z warunkiem (8) oraz po pominięciu
reszty
(również wielkości małej), otrzymamy
(10)
A przy oznaczeniach
14
będziemy mieli następującą postać liniową funkcji (7):
15
Ogólniej, niech będzie dany nieliniowy wielowymiarowy układ
dynamiczny, o postaci
(11)
Odpowiada on następującemu układowi równań:
………………………………….. …, (12)
16
Ustalony punkt pracy układu (rozwinięcia funkcji), to
. (13)
Wprowadźmy oznaczenia:
to
(14)
17
Po rozwinięciu w szereg Taylora otrzymamy
(15)
Ponieważ
oraz pomijając
(zawierające wyrazy
nieliniowe) i przyjmując oznaczenia
,
,
18
będziemy mieli
(16)
gdzie:
,
19
Przykład 2.
Rozpatrzmy następujący układ równań różniczkowych (układ
dynamiczny wielowymiarowy):
–
–
–
–
(17)
z ustalonym punktem pracy (rozwinięcia funkcji w szereg)
(18)
20
Wtedy po uwzględnieniu (18) będziemy mieli
–
–
–
–
(19)
Z pierwszego równania mamy
, z trzeciego:
, a
z drugiego
Stąd wektor warunków początkowych jest
następujący:
21
Oznaczmy
–
–
–
–
.
Mamy ogólną postać równania
Punkt rozwinięcia funkcji
22
Zaś jej rozwinięcie
Ostatecznie, po opuszczeniu wyrazów zerowych
oraz reszty szeregu Taylora, będziemy mieli:
23
Odpowiednie macierze to:
,
.
24
Zaś po uwzględnieniu warunków początkowych
,
.
25
Przykład nawigacyjny.
W zadaniu filtracji pomiarów nawigacyjnych proces nawigacji
opisujemy układem dwóch równań (z czasem dyskretnym lub
ciągłym). Jest więc to pewien model układu dynamicznego. Układ
ten opisują dwa równania:
równanie stanu (model stanu)
x
i+1
= A
i+1,i
x
i
+ w
i
, (20)
równanie pomiarów (model pomiarów, pomiarowy)
z
i+1
= C
i+1
x
i+1
+ v
i+1
, (21)
26
gdzie:
x - n-wymiarowy wektor stanu,
w - r-wymiarowy wektor zakłóceń stanu,
z - m-wymiarowy wektor pomiarów,
v - p-wymiarowy wektor zakłóceń pomiarów (szum
pomiarowy),
A - n
n-wymiarowa macierz przejścia (układu, tranzytywna),
C - m
n-wymiarowa macierz pomiarów (odpowiedzi,
wyjścia).
Ponadto dla zakłóceń w i v zakładamy, że są to szumy
gaussowskie (o rozkładzie normalnym), o zerowej wartości
średniej i nieskorelowane.
27
Poszczególne wektory i macierze mają następującą postać:
wektor stanu
x
, ,
,
,
,
,
V V
KDd V
N
E
d
T
(22)
wektor pomiarów
z
DGPS
DGPS
AD
AD
d
KDd V
,
,
,
,
,
,
2
2
T
(23)
macierz przejścia
28
A
i
i
i
i
i
i
N
E
k t
t
k t
t
V
V
1
1
1
1 0
0
0 0
0 1
0
0 0
0 0
1
0
0 0
0 0
0
1
0 0
0 0
0
0
1 0
0 0
0
0
0 1
,
(
)
(
)
,
(24)
w przypadku, gdy t
i+1
– t
i
= 1 sekunda, macierz przejścia będzie
macierzą stałą postaci:
29
A
1 0
0
0 0
0 1
0
0 0
0 0 1
0
0 0
0 0
0
1
0 0
0 0
0
0
1 0
0 0
0
0
0 1
k
k
V
V
N
E
,
30
macierz pomiarów
C
DGPS
DGPS
DGPS
DGPS
DGPS
DGPS
d
DGPS
DGPS
DGPS
DGPS
DGPS
DGPS
d
AD
AD
AD
AD
AD
AD
d
AD
AD
AD
AD
AD
AD
d
V
V
KDd
V
V
V
KDd
V
V
V
KDd
V
V
V
KDd
V
KDd
KDd
KDd
V
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
KDd
V
KDd
KDd
KDd
V
V
V
V
V
V
V
V
KDd
V
V
d
d
d
d
d
d
d
d
,
(25)
biorąc pod uwagę konkretną postać poszczególnych pochodnych
cząstkowych, otrzymamy następującą postać macierzy C:
31
,
cos
sin
,
sin
cos
sin
,
cos
sin
cos
,
1
0
0
0
1
2
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
1
KDd
V
KDd
V
E
KDd
V
V
V
V
KDd
V
V
V
V
KDd
E
KDd
V
V
V
V
KDd
V
V
V
V
KDd
E
E
E
E
V
KDd
V
KDd
E
N
N
E
N
N
E
E
N
N
E
E
N
E
N
E
N
E
E
úr
N
úr
C
32
W innym przypadku konfiguracji urządzeń pomiarowych,
wyszczególnione wektory i macierze mają następującą postać:
wektor stanu
,
,
,
,
,
,
,
,
T
'
'
E
N
E
N
E
N
a
a
a
a
V
V
x
wektor pomiarów
,
,
,
,
,
,
T
E
N
E
N
DGPS
DGPS
a
a
V
V
z
33
macierz przejścia
,
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
/
0
0
1
0
0
0
0
2
/
0
0
1
0
0
6
/
0
2
/
0
0
1
0
0
6
/
0
2
/
0
0
1
2
2
3
2
3
2
,
1
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
dt
k
A
i
i
34
macierz pomiarów
,
/
'
/
'
/
'
/
'
/
'
/
'
E
E
N
E
E
E
N
E
E
E
N
E
E
E
E
N
N
N
E
N
N
N
E
N
N
N
N
N
E
E
N
E
E
E
N
E
E
E
N
E
E
E
E
N
N
N
E
N
N
N
E
N
N
N
N
N
E
DGPS
N
DGPS
E
DGPS
N
DGPS
E
DGPS
N
DGPS
DGPS
DGPS
E
DGPS
N
DGPS
E
DGPS
N
DGPS
E
DGPS
N
DGPS
DGPS
DGPS
a
a
a
a
a
a
a
a
V
a
V
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
V
a
V
a
a
a
a
V
a
V
a
V
a
V
V
V
V
V
V
V
a
V
a
V
a
V
a
V
V
V
V
V
V
V
a
a
a
a
V
V
a
a
a
a
V
V
C
35
biorąc pod uwagę konkretną postać poszczególnych pochodnych
cząstkowych, otrzymamy następującą postać macierzy C:
,
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
C