analiza systemowa wyklad3

Andrzej BANACHOWICZ

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej

ANALIZA SYSTEMOWA

Szczecin 2012

MODELE SYSTEMÓW CIĄGŁYCH



Postać normalna równania układu dynamicznego.



Linearyzacja równań systemów nieliniowych.

W przypadku układów fizycznych, wykorzystując metodę

Lagrange’a – Maxwella, otrzymamy następujące równania
opisujące układ dynamiczny:







, … , q

;

, … ,

; f

(t), … , f

(t)),

….……………………………………… , (1)





, … , q

;

, … ,

; f

(t), … , f

(t)),

gdzie: q

, … , q

– współrzędne uogólnione układu dynamicznego

w przestrzeni konfiguracyjnej, s – stopień swobody układu
dynamicznego (wymiar przestrzeni konfiguracyjnej).

Zazwyczaj układ (1) sprowadzamy do postaci normalnej, w
przestrzeni stanu (fazowej), w której każde równanie jest
rozwiązane względem pierwszej pochodnej, tj.







, … , y

; f

(t), … , f

(t)),

………………………………… , (2)





, … , y

; f

(t), … , f

(t)),

gdzie: q

= y

, … , q

= y

s+1

, … ,

= y

Przykład 1.
Układ dynamiczny opisany jest równaniem różniczkowym
drugiego rzędu:

+ aq + bq = u. (3)

Oznaczmy:

q = y

= y

, q

Stąd otrzymamy:

= y

= – by

– ay

+ u.

Wprowadźmy dalsze oznaczenia:

= [

]

y = [y

, y

]

Stąd

Oznaczając

A =

oraz B =

otrzymamy

= Ay + Bu. (4)

W analogiczny sposób sprowadzamy równania różniczkowe

wyższych rzędów do postaci normalnej w przestrzeni stanu.

Rozpatrzmy następujące równanie:

(n)

+ a

(n-1)

+ … + a

n-1

+ a

y = bu. (5)

Wprowadzając oznaczenia

y = x

= x

…… ,

(n-1)

= x

(n)

równanie (5) można zapisać w postaci:

= Ax + Bu, (6)

gdzie:

= [

, … ,

]

x = [x

, … , x

]

































...



Analizę układów dynamicznych bardzo często wykonuje się w

przestrzeni stanów. Dotyczy to zarówno układów liniowych, jak i
nieliniowych. Przy czym układy nieliniowe sprowadzamy do
postaci liniowej dokonując linearyzacji poprzez rozwinięcie w
szereg Taylora.

Rozpatrzmy

nieliniowy

układ

dynamiczny

opisany

następującym równaniem:

(7)

gdzie: z – wymuszenie zewnętrzne.

Przyjmijmy pewien ustalony punkt przestrzeni stanu

w którym

(8)

Dokonajmy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji (7) w otoczeniu
tego punktu.

Wówczas będziemy mieli:

(9)

gdzie:

– reszta szeregu Taylora (zazwyczaj nieskończonego).

W założeniu x,

oraz u są to wielkości małe, z otoczenia

ustalonego punktu. Zgodnie z warunkiem (8) oraz po pominięciu
reszty

(również wielkości małej), otrzymamy

(10)

A przy oznaczeniach

będziemy mieli następującą postać liniową funkcji (7):

Ogólniej, niech będzie dany nieliniowy wielowymiarowy układ

dynamiczny, o postaci

(11)

Odpowiada on następującemu układowi równań:

………………………………….. …, (12)

Ustalony punkt pracy układu (rozwinięcia funkcji), to

. (13)

Wprowadźmy oznaczenia:

(14)

Po rozwinięciu w szereg Taylora otrzymamy

(15)

Ponieważ

oraz pomijając

(zawierające wyrazy

nieliniowe) i przyjmując oznaczenia

będziemy mieli

(16)

gdzie:

Przykład 2.
Rozpatrzmy następujący układ równań różniczkowych (układ
dynamiczny wielowymiarowy):

–

(17)

z ustalonym punktem pracy (rozwinięcia funkcji w szereg)

(18)

Wtedy po uwzględnieniu (18) będziemy mieli

–

(19)

Z pierwszego równania mamy

, z trzeciego:

, a

z drugiego

Stąd wektor warunków początkowych jest

następujący:

Oznaczmy

–

Mamy ogólną postać równania

Punkt rozwinięcia funkcji

Zaś jej rozwinięcie

Ostatecznie, po opuszczeniu wyrazów zerowych

oraz reszty szeregu Taylora, będziemy mieli:

Odpowiednie macierze to:

Zaś po uwzględnieniu warunków początkowych

Przykład nawigacyjny.

W zadaniu filtracji pomiarów nawigacyjnych proces nawigacji
opisujemy układem dwóch równań (z czasem dyskretnym lub
ciągłym). Jest więc to pewien model układu dynamicznego. Układ
ten opisują dwa równania:



równanie stanu (model stanu)

i+1

= A

i+1,i

+ w

, (20)



równanie pomiarów (model pomiarów, pomiarowy)

i+1

= C

i+1

+ v

i+1

, (21)

gdzie:
x - n-wymiarowy wektor stanu,
w - r-wymiarowy wektor zakłóceń stanu,
z - m-wymiarowy wektor pomiarów,
v - p-wymiarowy wektor zakłóceń pomiarów (szum
pomiarowy),
A - n



n-wymiarowa macierz przejścia (układu, tranzytywna),

C - m



n-wymiarowa macierz pomiarów (odpowiedzi,

wyjścia).

Ponadto dla zakłóceń w i v zakładamy, że są to szumy
gaussowskie (o rozkładzie normalnym), o zerowej wartości
średniej i nieskorelowane.

Poszczególne wektory i macierze mają następującą postać:



wektor stanu







 

, ,

V V

KDd V



(22)



wektor pomiarów

















DGPS

KDd V

(23)



macierz przejścia

k t





















1 0

0 0

0 1

0 0

1 0

0 0

0 1

(

)

(

)







(24)

w przypadku, gdy t

i+1

– t

= 1 sekunda, macierz przejścia będzie

macierzą stałą postaci:

















1 0

0 0

0 1

0 0

0 0 1

0 0

1 0

0 0

0 1









macierz pomiarów















































































































DGPS

KDd



KDd

V
V

KDd


































(25)

biorąc pod uwagę konkretną postać poszczególnych pochodnych
cząstkowych, otrzymamy następującą postać macierzy C:

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

KDd

úr







































W innym przypadku konfiguracji urządzeń pomiarowych,
wyszczególnione wektory i macierze mają następującą postać:



wektor stanu













wektor pomiarów





DGPS









macierz przejścia































macierz pomiarów















DGPS

























































































biorąc pod uwagę konkretną postać poszczególnych pochodnych
cząstkowych, otrzymamy następującą postać macierzy C:













