Równania różniczkowe

zwyczajne

1

Zagadnienie

początkowe

2

• Metoda Eulera
• Metoda Runge-Kutty 4-tego rzędu
• Rozwiązywanie zagadnienia początkowego
w Maple’u

1

Równanie różniczkowe, w którym niewiadoma funkcja

zależy tylko od jednego argumentu nazywamy
równaniem różniczkowym zwyczajnym

2

Z zagadnieniem początkowym (zagadnieniem

Cauchy’ego) mamy do czynienie wtedy, gdy znana jest
wartość niewiadomej funkcji i jej pochodnych dla jednej
(początkowej) wartości zmiennej niezależnej

Równanie różniczkowe nieliniowe n-

tego rzędu

0

)

1

(

)

1

(

0

0

0

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

0

(























n

n

y

y

y

y

y

y

y

y



warunki
początkowe

)

,

...

,

,

,

(

)

1

(

)

2

(

)

(









n

n

n

y

y

y

y

x

f

y

Układ równań różniczkowych

Forma kanoniczna układu równań różniczkowych 1-go
rzędu

)

...

,

,

,

(

)

...

,

,

,

(

)

...

,

,

,

(

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

n

n

n

n

n

y

y

y

x

f

x

d

y

d

y

y

y

x

f

x

d

y

d

y

y

y

x

f

x

d

y

d









Zapis
macierzowy

0

)

0

(

),

,

(

y

y

y

f

y







x















































































0

20

10

0

2

1

2

1

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

,

n

n

n

y

y

y

x

f

x

f

x

f

y

y

y







y

y

y

y

f

y

0

20

2

10

1

)

0

(

)

0

(

)

0

(

n

n

y

y

y

y

y

y









warunki
początkowe

Sprowadzanie równania n-tego rzędu

do układu n równań 1-go rzędu









































































)

,

...

,

,

(

,

1

2

1

3

2

1

2

1

n

n

n

n

n

y

y

y

y

x

f

y

y

y

y

y

y

y





f

y

)

,

( y

f

y

x













)

(t

f

kx

x

c

x

m



















)

)

(

(

1

2

1

2

2

1

kx

cx

t

f

x

x

x

m





Przykład











x

x

x

x



2

1

)

,

...

,

,

,

(

)

1

(

)

2

(

)

(









n

n

n

y

y

y

y

x

f

y

Metody przybliżone rozwiązywania zagadnienia

początkowego

- metoda Eulera
- metoda Picarda
- metody szeregów Taylora
- metody Rungego i Kutty
- metoda Adamsa-Bashforda, Adamsa-
Moultona

- metoda Milne’a
- metoda Hamminga
- metoda Geara
- ...

Metoda Eulera

0

0

)

(

,

)

,

(

y

x

y

y

x

f

x

d

y

d





1

..

0

,

)

,

(

1











n

i

y

x

f

h

y

y

i

i

i

i

Idea metody Runge-Kutty dla równania

różniczkowego 1-go rzędu

r

j

k

c

h

y

b

h

x

f

k

y

x

f

k

j

s

s

js

i

j

i

j

i

i

..

2

,

)

,

(

)

,

(

1

1

1

















js

j

j

c

b

a

,

,

– współczynniki zależne od rzędu
metody RK

0

0

)

(

,

)

,

(

y

x

y

y

x

f

x

d

y

d





,

1

..

0

1

1















n

i

k

a

h

y

y

r

j

j

j

i

i

r – rząd
metody

,

1

h

x

x

i

i







4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

k

a

h

k

a

h

k

a

h

k

a

h

y

k

a

h

y

y

i

r

j

j

j

i

i





















Metoda RK 4-tego rzędu (r = 4)

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

3

43

2

42

1

41

4

4

2

32

1

31

3

3

1

21

2

2

1

k

hc

k

hc

k

hc

y

b

h

x

f

k

k

hc

k

hc

y

b

h

x

f

k

k

hc

y

b

h

x

f

k

y

x

f

k

i

i

i

i

i

i

i

i



























Klasyczny zestaw współczynników w metodzie RK 4-

tego rzędu



4

3

2

1

43

42

41

4

32

31

3

21

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a

a

a

a

c

c

c

b

c

c

b

c

b



6

1

6

2

6

2

6

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0













)

2

2

(

,

,

,

)

,

(

4

3

2

1

6

1

1

3

4

2

2

1

2

1

3

1

2

1

2

1

2

1

k

k

k

k

h

y

y

k

h

y

h

x

f

k

k

h

y

h

x

f

k

k

h

y

h

x

f

k

y

x

f

k

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

































Rozwiązywanie zagadnienia początkowego w Maple’u

ivp

– initial value problem (zagadnienie początkowe)

odesys – zbiór lub lista równań różniczkowych i warunków

początkowych

numeric

– opcja narzucająca rozwiązanie numeryczne

vars

– zbiór lub lista zmiennych zależnych (opcjonalny)

options

– opcje

Objaśnienia:

> ?dsolve,ivp



dsolve(odesys, numeric, vars, options)