Wykład nr 2b

Metody komputerowe w

inżynierii materiałowej

Dr inż. Maciej Sułowski

A2, pok. 54H

Tel.:26-27

[e-mail]

Wykład nr 2b

Metody rozwiązywania układów
równań nieliniowych

• Metody rozwiązywania układów równań

linowych można podzielić na:

– kolejnych przybliżeń
– bisekcji (połowienia przedziału)
– metodę stycznych (Newtona)
– cięciw

Wykład nr 2b

Metody kolejnych przybliżeń

Twierdzenie 1 (Bolzano-Cauchy’ego)
• Jeżeli funkcja F(x) jest ciągła w przedziale

domkniętym [a,b] i F(a)⋅F(b) < 0, to między
punktami a i b znajduje się co najmniej jeden
pierwiastek równania F(x) = 0.

Twierdzenie 2
• Jeżeli w przedziale [a, b] spełnione są założenia

twierdzenia 1 i dodatkowo sgn F ′(x) = const dla
x



[a,b], to przedział ten jest przedziałem izolacji

pierwiastka równania F(x) = 0.

Wykład nr 2b

Metody kolejnych przybliżeń

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Metody kolejnych przybliżeń

Wykład nr 2b

• Niech [a,b] będzie przedziałem izolacji pierwiastka

równania F(x) = 0.

• Jako pierwsze dwa wyrazy ciągu przybliżeń

przyjmuje się: x

1

=a x

2

=b

• Kolejne przybliżenia wynikają ze wzoru:

• k dobierane, aby:

Metoda bisekcji









2

2

,

1

2

1













i

i

k

x

x

x

k

i

i

   

0

*

1

1













i

i

k

i

i

i

x

f

x

f

x

x

x

x

Wykład nr 2b

Metoda bisekcji

Ponieważ kolejne
przybliżenia znajdują
się każdorazowo w
przedziałach izolacji,
oraz

1

1











i

i

i

i

x

x

x

x

metoda jest zbieżna

Algorytm































)

(

)

(

2

...,

,

2

,

1

1

1

2

1

2

1

x

f

y

x

f

y

x

x

x

m

i

b

x

a

x

Jeżeli y*y

1

>0 to x

1

= x,

W przeciwnym wypadku x

2

= x

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Metoda bisekcji

Wykład nr 2b

Metoda stycznych (Newtona)

•Jedna z najczęściej stosowanych metod

rozwiązywania równań nieliniowych

•Pozwala obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka

równania nieliniowego (f(x)=0), przy założeniu, że
w przedziale [a,b], w którym leży pierwiastek,
funkcja f(x) ma na krańcach różne znaki oraz że
pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały
znak

Wykład nr 2b



W metodzie Newtona z końca przedziału, w którym
funkcja f(x) ma ten sam znak co f’’(x) prowadzimy
styczną do wykresu funkcji y=f(x). Punkt przecięcia
osi odciętych, x

1

jest pierwszym przybliżeniem

szukanego pierwiastka równania.

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

• Nietrudno zauważyć, że:

 

0

)

(

'

1







b

f

b

f

b

x

•

Gdy otrzymane przybliżenie
jest za mało dokładne
(f(x

1

)>) z punktu o

współrzędnych (x

1

, f(x

1

))

operację powtarzamy n razy,
dopóki wartość funkcji w
punkcie x

n

nie będzie

mniejsza od założonej
dokładności .

 

 

n

n

n

n

x

f

x

f

x

x

'

1







Metoda stycznych (Newtona)

• Wzór rekurencyjny opisujący kolejne

wyrazy ciągu przybliżeń ma postać

)

(

*

)

(

'

)

(

1

1

1













n

n

n

x

x

x

f

x

f

y

Wykład nr 2b

Metoda stycznych (Newtona)

f’(x)>0

f’’(x)<0

f’(x)<0

f’’(x)>0

f’(x)>0

f’’(x)>0

f’(x)<0

f’’(x)<0

Wykład nr 2b

• Ciąg przybliżeń jest ciągiem malejącym i zbieżnym.
• Operację obliczania rozwiązania równania f(x)=0

można stosować dla dowolnego punktu startowego
x

o

[a,b],

jeśli

styczne

do

krzywej

y=f(x)

poprowadzone z punktów granicznych przecinają oś
odciętych wewnątrz przedziału [a,b].





- założona dokładność rozwiązania

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

Układ n równań nieliniowych































0

,...,

,

.

..........

..........

..........

0

,...,

,

0

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

   

*

*

1

*

*

1

n

n

n

n

x

f

x

J

x

x









Metoda stycznych (Newtona)

gdzie: x

n

* i x

n+1

* stanowią n i

n+1 przybliżenie zmiennej x*,
J(x

n

*) jest jakobianem funkcji

f(x*) a wyrazy macierzy
jakobianowej, J(x*) są
określone równaniem:

 





 

k

j

jk

x

x

f

x

J







*

*

Rozwiązanie ogólne

Wykład nr 2b

• Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z

pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu)
funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste

• Jakobian – wyznacznik macierzy Jakobiego

Metoda stycznych (Newtona)

2

2

2

1

:

)

,

(









f

f

f

1

)

,

(

)

,

(

2

3

2

1









xy

y

x

f

xy

x

y

x

f

Przykład: Niech dane
będzie przekształcenie

Jego jakobian wynosi



 











3

2

3

3

2

2

3

3

2

3

2

2

2

1

1

2

2

3

2

3

2

1

1

det

xy

x

xy

xy

x

x

y

xy

y

x

y

xy

x

xy

y

xy

x

x

xy

x

y

f

x

f

y

f

x

f

J

f





























































Wykład nr 2b

Rozwiązanie układu równań

i

n

n

a

x

x





1

Metoda stycznych (Newtona)































0

,...,

,

.

..........

..........

..........

0

,...,

,

0

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

polega na obliczaniu kolejnych
przybliżeń rozwiązania układu
zgodnie ze wzorem:

Wykład nr 2b

• wartość kolejnej poprawki a

i

dowolnej zmiennej jest

obliczana przez rozwiązanie układu dwu równań
liniowych, w których występują wartości funkcji f

1

, f

2

i

ich pochodnych w punkcie o współrzędnych x

n

, y

n

.:

Metoda stycznych (Newtona)



































































































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

..

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1

Wykład nr 2b

•W każdej iteracji musimy więc obliczyć n

2

elementów

f/x i rozwiązać układ liniowy rzędu n definiujący

wartości poprawek a.

•Obliczanie rozwiązania układu równań nieliniowych jest

prowadzone dopóki wartości poprawek a

i

nie osiągną

wartości mniejszych od założonej dokładności.

•Metoda Newtona jest lokalnie zbieżna, to znaczy ciąg

wyrazów jest dostatecznie bliski rozwiązaniu układu

równań.

•Jak widać, rozwiązanie układu równań nieliniowych

sprowadza się do rozwiązywania układów równań

liniowych.

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

•W modelowaniu procesów występujących w inżynierii

materiałowej rozwiązywanie układów równań liniowych
i nieliniowych jest często stosowane

•Programowanie rozwiązań układów równań nieliniowych

jest trudne

•Do rozwiązywania układów równań liniowych można

wykorzystać MS Excel i wbudowane narzędzie Solver

•Narzędzie to można ponadto używać podczas:

– Rozwiązywania równania nieliniowego
– Rozwiązywania układu równań nieliniowych

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

•Przykład obliczeniowy

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

•Rozwiązanie równania F(x)=0 jest przybliżone ciągiem

miejsc zerowych poprowadzonych między punktami

stanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

Metoda cięciw

• Równanie cięciw można zapisać w postaci:

x

k

– drugi kraniec izolacji [x

i-1

, x

k

]

• Pierwszą cięciwę prowadzimy pomiędzy punktami

(a, F(a)) (b, F(b))

• Dla y=0 mamy:

1

1

1

1

)

(

)

(

)

(



















i

k

i

i

k

i

x

x

x

x

x

F

x

F

x

F

y

)

(

)

(

)

(

1

1

1















i

i

k

i

i

i

x

F

x

F

x

x

x

F

x

x

Wykład nr 2b

Metoda cięciw

Założenie:
W przedziale [a, b] lub w kolejnym przedziale
izolacji znak drugiej pochodnej funkcji F(x) nie
zmienia się

wyrażenie

(*)

daje przybliżenie pierwiastka z nadmiarem lub

niedomiarem

)

(

)

(

)

(

1

1

1















i

i

k

i

i

i

x

F

x

F

x

x

x

F

x

x

Wykład nr 2b

• Przybliżenie z niedomiarem:

F’(x) >0

F’’(x)>0 lub

F’(x)<0

F’’(x)<0

x

i

< x

i+1

< x

i

< x

i+2

<…< x

*

• Przybliżenie z nadmiarem:

F’(x) >0

F’’(x)<0 lub

F’(x)<0

F’’(x)>0

x

i

> x

i+1

> x

i

> x

i+2

>…> x

*

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

• Oszacowanie pierwiastka równania z niedomiarem

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

• Oszacowanie pierwiastka równania z nadmiarem

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

Metoda cięciw

• Ciąg {x

i

} jest monotoniczny i ograniczony, posiada

więc granicę równą

co dowodzi zbieżności metody

• Zakładając, że x

k

– punkt stały pęku cięciw, to lewy

lub prawy kraniec przedziału [a, b], czyli x

k

=a lub

x

k

=b

 

*

0

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

x

g

g

F

g

g

F

x

F

g

x

g

F

g

x

k

k

i

i























 

 

a

x

x

F

x

F

b

a

x

b

x

x

F

x

F

b

a

x

k

k













0

)

(

''

*

)

(

'

,

0

)

(

''

*

)

(

'

,

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

Aproksymacja

Szukane

F(x, p

1

, p

2

, …p

k

), x[a, b]

funkcja ta możliwie

najdokładniej odtwarza

przebieg funkcji F(x)

Dane

y=F(x), x[a, b]

Wykład nr 2b

• Funkcja F(x) może być zadana w postaci:

– zbioru punktów (aproksymacja punktowa):

F(x

1

)=y

1

, F(x

2

)=y

2

, …, F(x

n

)=y

n

– wzoru analitycznego (aproksymacja integralna) -

rzadziej

• Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej

zmiennej tworzy się w ten sposób, aby

zminimalizować różnice między wartościami funkcji

F(x) a wartościami funkcji F(x, p

1

, p

2

, …p

k

) w

punktach (x

i

, y

i

), i=1, 2, …, n

• Odchyłka

Aproksymacja

i

k

i

y

p

p

x

F





)

,...,

,

(

1



Wykład nr 2b

• Postać funkcji aproksymacyjnej jest założona z góry,

optymalizacja

dotyczy

jedynie

nieznanych

parametrów p

1

, …, p

k

• Dobór parametrów p

1

, …, p

k

musi odbywać się w taki

sposób, aby spełnione było założone kryterium
dotyczące minimalizacji odchyłek

• Kryteria aproksymacji

– metoda najmniejszych kwadratów

– metoda wybranych punktów
– metoda średnich
– metoda sumowania bezwzględnych wartości

Aproksymacja - kryteria

Wykład nr 2b

• Współczynniki funkcji F muszą spełniać równanie

czyli:

• Zalety metody

– kryterium jest „mocne” – zawiera kwadraty odchyłek,

czyli liczby nieujemne

– prostota obliczeń minimum funkcji, pod warunkiem, że

rozpatruje się aproksymację w klasie wielomianów
uogólnionych

Aproksymacja – metoda
najmniejszych kwadratów







n

i

i

1

2

min















n

i

i

k

i

y

p

p

x

F

1

2

1

min

)

,...,

,

(

)

(

...

)

(

)

(

)

,...,

,

(

2

2

1

1

1

x

p

x

p

x

p

p

p

x

F

k

k

k

i















Wykład nr 2b

• Dany jest zbiór punktów

(x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), …, (x

n

, y

n

)

• Funkcja aproksymująca

• Kryterium najmniejszych kwadratów:

Aproksymacja liniowa funkcji
jednej zmiennej

x

p

p

y

2

1









min

)

,

(

2

1

2

1

2

1













n

i

i

i

y

x

p

p

p

p

S

Wykład nr 2b

• Warunek konieczny istnienia esktremum funkcji

dwóch zmiennych można zapisać jako:

a dalej jako:

Aproksymacja liniowa funkcji
jednej zmiennej









0

,

0

,

2

2

1

1

2

1













p

p

p

S

p

p

p

S

















0

*

2

,

0

2

,

1

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2

1

































i

n

i

i

i

n

i

i

i

x

y

x

p

p

p

p

p

S

y

x

p

p

p

p

p

S









0

0

1

2

2

1

1

2

1





















n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

x

y

x

p

x

p

y

x

p

p

Wykład nr 2b

• Po przekształceniu uzyskujemy:

lub w postaci macierzowej:

Aproksymacja liniowa funkcji
jednej zmiennej

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

y

x

p

x

p

y

x

p

n

p





























1

1

2

2

1

1

1

1

2

1



















































































n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

y

y

p

p

x

x

x

n

1

1

2

1

1

2

1

1

*

Y

P

X



*

Y

X

P

*

1





Wykład nr 2b

• Dany jest zbiór punktów

(x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), …, (x

n

, y

n

)

• Funkcja aproksymująca

• Kryterium najmniejszych kwadratów:

Aproksymacja liniowa funkcji
jednej zmiennej – inna funkcja

x

p

x

p

p

y

1

3

2

1







min

1

)

,

,

(

2

1

3

2

1

3

2

1



























n

i

i

i

i

y

x

p

x

p

p

p

p

p

S

Wykład nr 2b

• Warunek konieczny istnienia esktremum funkcji

dwóch zmiennych można zapisać jako:

Aproksymacja liniowa funkcji
jednej zmiennej – inna funkcja













0

1

*

1

2

,

,

0

*

1

2

,

,

0

1

2

,

,

1

3

2

1

3

3

2

1

1

3

2

1

2

3

2

1

1

3

2

1

1

3

2

1



























































































i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

n

i

i

i

i

x

y

x

p

x

p

p

p

p

p

p

S

x

y

x

p

x

p

p

p

p

p

p

S

y

x

p

x

p

p

p

p

p

p

S

Wykład nr 2b

• Po przekształceniu i zapisaniu w postaci macierzy

uzyskujemy:

Aproksymacja liniowa funkcji
jednej zmiennej – inna funkcja



































































































































n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

y

x

y

x

y

p

p

p

x

n

x

n

x

x

x

x

n

1

1

1

3

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

*

1

1

1

Y

P

X



*

Y

X

P

*

1





Wykład nr 2b

Interpolacja

Szukane

W(x) takie, aby:

W(x

0

)=y

0

, W(x

1

)=y

1

,…,

W(x

i

)=y

i

, …, W(x

n

)=y

n

Dane

y=F(x), x[x

0

,x

n

]

F(x

0

)=y

0

, F(x

1

)=y

1

,…,

F(x

i

)=y

i

, …, F(x

n

)=y

n

Wykład nr 2b

• Wyznaczenie funkcji W(x) opiera się na doborze

kombinacji liniowej n+1 funkcji bazowych postaci:

• Wprowadzając macierz bazową  oraz macierz

współczynników A

T

, wielomian W(x) można zapisać:

Interpolacja

     

 

 

 

 







n

i

i

i

n

i

x

a

x

W

x

x

x

x

x

0

2

1

0

,...,

,...,

,

,













     

 

 









 

 

A

x

x

W

a

a

a

a

A

x

x

x

x

x

n

T

n

i

*

,...,

,

,

,...,

,...,

,

,

2

1

0

2

1

0





















Wykład nr 2b

• Warunek, jaki musi spełniać wielomian interpolacyjny

można zapisać w postaci macierzowej:

• gdzie:

A – macierz kolumnowa współczynników o (n+1)

wierszach

Y - macierz kolumnowa wartości funkcji o (n+1) wierszach
X – macierz o wymiarach (n+1)

(n

+1)

Interpolacja

 

Y

A

X

n

i

y

x

W

i

i







*

,...,

2

,

1

,

0

Wykład nr 2b

• Postacie macierzy X i Y

• Jeżeli:
• oraz
• to:

gdzie: (x) – macierz bazowa, X

-1

– macierz interpolacyjna,

Y – wektor wartości funkcji w węzłach

Interpolacja

 

 

 

 

 

 

 

 

 





















































n

n

n

n

n

n

n

y

y

y

Y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

X

...

...

...

...

...

...

...

...

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0



















Y

X

A

X

*

0

det

1









 

 

A

x

x

W

*





 

 

Y

X

x

x

W

*

*

1







Wykład nr 2b

• Bazę stanowią funkcje

• Przy spełnionym warunku (układ równań), wielomian

interpolacyjny ma postać

Interpolacja wielomianowa

 

 

 

 

n

n

x

x

x

x

x

x

x

















...,

,

,

,

1

2

2

1

0

 

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

W











...

2

2

1

0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

x

a

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

x

a

a































...

.....

...

...

2

2

1

0

1

1

2

1

2

1

1

0

0

0

2

0

2

0

1

0

Wykład nr 2b

• Jeśli

to układ posiada jedno rozwiązanie względem a

i

• Wyznacznik macierzy X ma postać

Interpolacja wielomianowa

n

x

x

x

x









...

2

1

0

















j

i

j

i

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

X

0

...

1

...

...

...

...

...

1

...

1

det

1

1

0

0

Wykład nr 2b

• Wady interpolacji liniowej:

– interpolacja wielomianowa nie jest zbyt efektywna,

ponieważ macierz X jest macierzą pełną – błędy przy
odwracaniu

– macierz X nie jest zawsze dobrze uwarunkowana – może

być osobliwa (tzn. det X = 0)

Interpolacja wielomianowa

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Interpolacja wielomianowa

Wykład nr 2b

• Bazą w tej metodzie są funkcje:

Dla każdej funkcji

brakuje składnika

Interpolacja Lagrange’a

  





 



  





 



  



 



 



  





 



1

3

2

1

1

1

2

1

3

2

0

1

3

2

1

0

...

.

..........

..........

..........

..........

..........

...

...

..........

..........

..........

..........

..........

...

...

















































n

n

n

i

i

i

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x









 

n

i

x

i

...,

,

1

,

0

, 







i

x

x

Wykład nr 2b

• Wielomian interpolacyjny przyjmuje postać:

• a macierz X

Interpolacja Lagrange’a

 

 

 

 





 







 







 



1

1

0

2

0

1

2

1

0

1

1

0

0

...

...

...

...

...









































n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

x

a

x

a

x

a

x

a

x

W







 

 

 

 

n

n

x

x

x

x

X









...

0

0

0

0

...

...

...

...

0

...

0

0

...

0

0

0

...

0

0

2

2

1

1

0

0



w punkcie x=x

i

wszystkie funkcje
oprócz 

i

(x)

zerują się, bo
występuje w nich
składnik (x-x

i

)

Wykład nr 2b

• Współczynniki wielomianu Lagrange’a wyznacza się ze

wzoru:

• Ponieważ macierz X ma tylko główną przekątną

niezerową, to:

Interpolacja Lagrange’a





 



 





 



 





 



 

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

y

x

x

x

x

x

x

y

a

x

y

x

x

x

x

x

x

y

a

x

y

x

x

x

x

x

x

y

a





































 1

2

1

1

1

1

1

2

1

0

1

1

1

0

0

0

0

2

0

1

0

0

0

...

....

...

...

Y

A

X



*

Wykład nr 2b

• Wielomian interpolacyjny możemy zapisać:

Interpolacja Lagrange’a

 





 



 







 



 



 









n

j

x

x

x

x

y

x

W

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

W

i

j

j

i

i

j

j

n

i

i

n

i

i

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

...,

,

1

,

0

,

...

...

...

...

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0



























































Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Interpolacja Lagrange’a

Wykład nr 2b

Różnice skończone

• Dla funkcji stabelaryzowanej przy stałym kroku

• wprowadza się pojęcie różnicy skończonej rzędu k

1

1

x

x

h

i







 





 

1

0

1

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

....

2





















































































k

i

k

j

j

k

i

i

k

i

k

i

k

i

i

i

i

i

i

i

y

j

k

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

Wykład nr 2b

Różnice skończone

• Na podstawie zbioru wartości funkcji

• buduje się tablicę różnic skończonych

 

const

h

x

x

x

f

y

i

i

i

i









1

Nr

x

y

y



2

y



3

y

0

X

0

y

0

y

0



2

y

0



3

y

0

1

X

1

y

1

y

1



2

y

1

…

2

X

2

y

2

y

2

…

…

3

X

3

Y

3

…

…

…

...

…

…

…

…



3

y

n-3

...

…

…

…



2

y

n-2

…

…

…

y

n-1

n

x

n

y

n

Wykład nr 2b

Różnice skończone

• Przykład obliczeniowy

Wykład nr 2b

Różnice skończone

• Własności różnic skończonych

• Z ostatniej własności wynika twierdzenie:
Jeżeli F(x) jest wielomianem stopnia n, to różnica

skończona rzędu n tej funkcji jest stała, a

kolejne zerami.

 

 

 

 





1

1

1

0

1

0

1

...

...

...

0











































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

k

k

k

x

b

x

b

b

y

x

a

x

a

a

y

h

nhx

x

h

x

y

x

y

x

f

C

y

x

f

y

x

f

C

y

x

Cf

y

y

C

y

Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla
argumentów równoodległych

Dla zbioru węzłów:

dane są wartości funkcji

Wielomian interpolacyjny ma postać

nh

x

x

h

x

x

h

x

x

x

n













0

0

2

0

1

0

2

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

0

n

x

f

x

f

x

f

x

f

 















 



n

q

x

x

q

x

x

q

x

x

q

x

x

h

x

x

q

n

q

q

q

q

a

q

q

q

a

q

q

a

q

a

a

x

W

n

n























































...

2

1

0

1

...

2

1

...

2

1

1

2

1

0

0

3

2

1

0

Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla
argumentów równoodległych

Funkcje bazowe:

 

 

  



  





  





 



1

...

3

2

1

...

2

1

1

1

3

2

1

0



























n

q

q

q

q

q

x

q

q

q

x

q

q

x

q

x

x

n











Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla
argumentów równoodległych

Układ równań, z którego wyznacza się współczynniki:



 





































































































































n

n

y

y

y

y

y

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n

n

n

...

...

*

!

...

2

1

1

1

...

...

...

...

...

...

0

...

6

6

3

1

0

...

0

2

2

1

0

...

0

0

1

1

0

...

0

0

0

1

3

2

1

0

3

2

1

0

Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla
argumentów równoodległych





n

n

y

a

n

a

n

n

na

a

y

a

a

a

a

y

a

a

a

y

a

a

y

a

































!

...

1

......

6

6

3

2

2

2

1

0

3

3

2

1

0

2

2

1

0

1

1

0

0

0

!

......

!

3

!

2

0

0

3

3

0

2

2

0

1

0

0

n

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

n

n



















Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla
argumentów równoodległych

I wzór interpolacyjny Newtona

II wzór interpolacyjny Newtona

 











o

n

o

y

n

n

q

q

q

y

q

q

y

q

y

x

W

























!

1

...

1

...

!

2

1

2

0

0

 







 



o

n

n

n

n

y

n

n

q

q

q

y

q

q

y

q

y

x

W





























!

1

...

1

...

!

2

1

2

2

1

Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla
argumentów równoodległych

Przykłady obliczeniowe - wykorzystanie I oraz II

wzoru interpolacyjnego Newtona