Wykład nr 2b

Metody komputerowe w 

inżynierii materiałowej

Dr inż. Maciej Sułowski

A2, pok. 54H

Tel.:26-27

sulek@agh.edu.pl

Wykład nr 2b

Metody rozwiązywania układów 
równań nieliniowych

• Metody rozwiązywania układów równań 

linowych można podzielić na:

– kolejnych przybliżeń 
– bisekcji (połowienia przedziału)
– metodę stycznych (Newtona)
– cięciw

Wykład nr 2b

Metody kolejnych przybliżeń

Twierdzenie 1 (Bolzano-Cauchy’ego)
• Jeżeli funkcja F(x) jest ciągła w przedziale 

domkniętym [a,b] i F(a)⋅F(b) < 0, to między 
punktami a i b znajduje się co najmniej jeden 
pierwiastek równania F(x) = 0.

Twierdzenie 2
• Jeżeli w przedziale [a, b] spełnione są założenia 

twierdzenia 1 i dodatkowo sgn F ′(x) = const dla 
x



[a,b], to przedział ten jest przedziałem izolacji 

pierwiastka równania F(x) = 0.

Wykład nr 2b

Metody kolejnych przybliżeń

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Metody kolejnych przybliżeń

Wykład nr 2b

• Niech [a,b] będzie przedziałem izolacji pierwiastka 

równania F(x) = 0.

• Jako pierwsze dwa wyrazy ciągu przybliżeń 

przyjmuje się: x

1

=a x

2

 =b

• Kolejne przybliżenia wynikają ze wzoru:

• k dobierane, aby:

Metoda bisekcji









2

2

,

1

2

1













i

i

k

x

x

x

k

i

i

   

0

*

1

1













i

i

k

i

i

i

x

f

x

f

x

x

x

x

Wykład nr 2b

Metoda bisekcji

Ponieważ kolejne 
przybliżenia znajdują 
się każdorazowo w
przedziałach izolacji, 
oraz

1

1











i

i

i

i

x

x

x

x

metoda jest zbieżna

Algorytm































)

(

)

(

2

...,

,

2

,

1

1

1

2

1

2

1

x

f

y

x

f

y

x

x

x

m

i

b

x

a

x

Jeżeli y*y

1

>0 to x

1

 = x, 

W przeciwnym wypadku x

2

 = x

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Metoda bisekcji 

Wykład nr 2b

Metoda stycznych (Newtona)

•Jedna z najczęściej stosowanych metod 

rozwiązywania równań nieliniowych

•Pozwala obliczyć przybliżoną wartość pierwiastka 

równania nieliniowego (f(x)=0), przy założeniu, że 
w przedziale [a,b], w którym leży pierwiastek, 
funkcja f(x) ma na krańcach różne znaki oraz że 
pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały 
znak  

Wykład nr 2b



W  metodzie  Newtona  z  końca  przedziału,  w  którym 
funkcja  f(x)  ma  ten  sam  znak  co  f’’(x)  prowadzimy 
styczną  do  wykresu  funkcji  y=f(x).  Punkt  przecięcia 
osi  odciętych,  x

1

  jest  pierwszym  przybliżeniem 

szukanego pierwiastka równania. 

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

• Nietrudno zauważyć, że: 

 

0

)

(

'

1







b

f

b

f

b

x

•

Gdy otrzymane przybliżenie 
jest za mało dokładne 
(f(x

1

)>) z punktu o 

współrzędnych (x

1

, f(x

1

)) 

operację powtarzamy n razy, 
dopóki wartość funkcji w 
punkcie x

n

 nie będzie 

mniejsza od założonej 
dokładności . 

 

 

n

n

n

n

x

f

x

f

x

x

'

1







Metoda stycznych (Newtona)

• Wzór rekurencyjny opisujący kolejne 

wyrazy ciągu przybliżeń ma postać

)

(

*

)

(

'

)

(

1

1

1













n

n

n

x

x

x

f

x

f

y

Wykład nr 2b

Metoda stycznych (Newtona)

f’(x)>0

f’’(x)<0

f’(x)<0

f’’(x)>0

f’(x)>0

f’’(x)>0

f’(x)<0

f’’(x)<0

Wykład nr 2b

• Ciąg przybliżeń jest ciągiem malejącym i zbieżnym.
• Operację  obliczania  rozwiązania  równania  f(x)=0 

można  stosować  dla  dowolnego  punktu  startowego 
x

o

[a,b], 

jeśli 

styczne 

do 

krzywej 

y=f(x) 

poprowadzone  z  punktów  granicznych  przecinają  oś 
odciętych wewnątrz przedziału [a,b]. 





 - założona dokładność rozwiązania

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

Układ n równań nieliniowych































0

,...,

,

.

..........

..........

..........

0

,...,

,

0

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

   

*

*

1

*

*

1

n

n

n

n

x

f

x

J

x

x









Metoda stycznych (Newtona)

gdzie: x

n

* i x

n+1

* stanowią n i 

n+1 przybliżenie zmiennej x*, 
J(x

n

*) jest jakobianem funkcji 

f(x*) a wyrazy macierzy 
jakobianowej, J(x*) są 
określone równaniem:

 

 





 

k

j

jk

x

x

f

x

J







*

*

Rozwiązanie ogólne

Wykład nr 2b

• Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z 

pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) 
funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste

• Jakobian – wyznacznik macierzy Jakobiego 

Metoda stycznych (Newtona)

2

2

2

1

:

)

,

(









f

f

f

1

)

,

(

)

,

(

2

3

2

1









xy

y

x

f

xy

x

y

x

f

Przykład: Niech dane 
będzie przekształcenie

Jego jakobian wynosi



 











3

2

3

3

2

2

3

3

2

3

2

2

2

1

1

2

2

3

2

3

2

1

1

det

xy

x

xy

xy

x

x

y

xy

y

x

y

xy

x

xy

y

xy

x

x

xy

x

y

f

x

f

y

f

x

f

J

f





























































Wykład nr 2b

Rozwiązanie układu równań

i

n

n

a

x

x





1

Metoda stycznych (Newtona)































0

,...,

,

.

..........

..........

..........

0

,...,

,

0

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

polega na obliczaniu kolejnych 
przybliżeń rozwiązania układu 
zgodnie ze wzorem:

Wykład nr 2b

• wartość kolejnej poprawki a

i

 dowolnej zmiennej jest 

obliczana przez rozwiązanie układu dwu równań 
liniowych, w których występują wartości funkcji f

1

, f

2

 i 

ich pochodnych w punkcie o współrzędnych x

n

, y

n

.:

Metoda stycznych (Newtona)



































































































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

f

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

x

x

x

x

f

a

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

..

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

,...,

,

,...,

,

...

,...,

,

,...,

,

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

1

Wykład nr 2b

•W każdej iteracji musimy więc obliczyć n

2

 elementów 

f/x i rozwiązać układ liniowy rzędu n definiujący 

wartości poprawek a. 

•Obliczanie rozwiązania układu równań nieliniowych jest 

prowadzone dopóki wartości poprawek a

i

 nie osiągną 

wartości mniejszych od założonej dokładności. 

•Metoda Newtona jest lokalnie zbieżna, to znaczy ciąg 

wyrazów jest dostatecznie bliski rozwiązaniu układu 

równań. 

•Jak widać, rozwiązanie układu równań nieliniowych 

sprowadza się do rozwiązywania układów równań 

liniowych.

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

•W modelowaniu procesów występujących w inżynierii 

materiałowej rozwiązywanie układów równań liniowych 
i nieliniowych jest często stosowane

•Programowanie rozwiązań układów równań nieliniowych 

jest trudne

•Do rozwiązywania układów równań liniowych można 

wykorzystać MS Excel i wbudowane narzędzie Solver 

•Narzędzie to można ponadto używać podczas:

– Rozwiązywania równania nieliniowego
– Rozwiązywania układu równań nieliniowych

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

•Przykład obliczeniowy

Metoda stycznych (Newtona)

Wykład nr 2b

•Rozwiązanie równania F(x)=0 jest przybliżone ciągiem 

miejsc zerowych poprowadzonych między punktami 

stanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

Metoda cięciw

• Równanie cięciw można zapisać w postaci:

x

k 

– drugi kraniec izolacji [x

i-1

, x

k

]

• Pierwszą cięciwę prowadzimy pomiędzy punktami 

(a, F(a)) (b, F(b))

•  Dla y=0 mamy:

1

1

1

1

)

(

)

(

)

(



















i

k

i

i

k

i

x

x

x

x

x

F

x

F

x

F

y

)

(

)

(

)

(

1

1

1















i

i

k

i

i

i

x

F

x

F

x

x

x

F

x

x

Wykład nr 2b

Metoda cięciw

Założenie:
W przedziale [a, b] lub w kolejnym przedziale 
izolacji znak drugiej pochodnej funkcji F(x) nie 
zmienia się

wyrażenie 

(*)

daje przybliżenie pierwiastka z nadmiarem lub 

niedomiarem

)

(

)

(

)

(

1

1

1















i

i

k

i

i

i

x

F

x

F

x

x

x

F

x

x

Wykład nr 2b

• Przybliżenie z niedomiarem:

F’(x) >0

F’’(x)>0  lub

F’(x)<0

F’’(x)<0

x

i 

< x

i+1

< x

i 

< x

i+2

<…< x

*

• Przybliżenie z nadmiarem:

F’(x) >0

F’’(x)<0  lub

F’(x)<0

F’’(x)>0

x

i 

> x

i+1

 > x

i 

> x

i+2

>…> x

*

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

• Oszacowanie pierwiastka równania z niedomiarem 

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

• Oszacowanie pierwiastka równania z nadmiarem 

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

Metoda cięciw

• Ciąg {x

i

} jest monotoniczny i ograniczony, posiada 

więc granicę równą

co dowodzi zbieżności metody

• Zakładając, że x

k 

– punkt stały pęku cięciw, to lewy 

lub prawy kraniec przedziału [a, b], czyli x

k 

=a lub 

x

k 

=b 

 

*

0

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

x

g

g

F

g

g

F

x

F

g

x

g

F

g

x

k

k

i

i























 

 

a

x

x

F

x

F

b

a

x

b

x

x

F

x

F

b

a

x

k

k













0

)

(

''

*

)

(

'

,

0

)

(

''

*

)

(

'

,

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy

Metoda cięciw

Wykład nr 2b

Aproksymacja

Szukane

F(x, p

1

, p

2

, …p

k

), x[a, b]  

funkcja ta możliwie 

najdokładniej odtwarza 

przebieg funkcji F(x)

Dane

y=F(x), x[a, b]

Wykład nr 2b

• Funkcja F(x) może być zadana w postaci:

– zbioru punktów (aproksymacja punktowa):

F(x

1

)=y

1

, F(x

2

)=y

2

, …, F(x

n

)=y

n

– wzoru analitycznego (aproksymacja integralna) - 

rzadziej

• Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej 

zmiennej tworzy się w ten sposób, aby 

zminimalizować różnice między wartościami funkcji 

F(x) a wartościami funkcji F(x, p

1

, p

2

, …p

k

) w 

punktach (x

i

, y

i

), i=1, 2, …, n

• Odchyłka 

Aproksymacja

i

k

i

y

p

p

x

F





)

,...,

,

(

1



Wykład nr 2b

• Postać funkcji aproksymacyjnej jest założona z góry, 

optymalizacja 

dotyczy 

jedynie 

nieznanych 

parametrów p

1

, …, p

k

• Dobór parametrów p

1

, …, p

k 

musi odbywać się w taki 

sposób,  aby  spełnione  było  założone  kryterium 
dotyczące minimalizacji odchyłek

• Kryteria aproksymacji

– metoda najmniejszych kwadratów

 

– metoda wybranych punktów
– metoda średnich
– metoda sumowania bezwzględnych wartości

Aproksymacja - kryteria

Wykład nr 2b

• Współczynniki funkcji F muszą spełniać równanie

czyli:

• Zalety metody

– kryterium  jest  „mocne”  –  zawiera  kwadraty  odchyłek, 

czyli liczby nieujemne

– prostota obliczeń minimum funkcji, pod warunkiem, że 

rozpatruje  się  aproksymację  w  klasie  wielomianów 
uogólnionych

Aproksymacja – metoda 
najmniejszych kwadratów







n

i

i

1

2

min















n

i

i

k

i

y

p

p

x

F

1

2

1

min

)

,...,

,

(

)

(

...

)

(

)

(

)

,...,

,

(

2

2

1

1

1

x

p

x

p

x

p

p

p

x

F

k

k

k

i















Wykład nr 2b

• Dany jest zbiór punktów 

(x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), …, (x

n

, y

n

)

• Funkcja aproksymująca

• Kryterium najmniejszych kwadratów:

Aproksymacja liniowa funkcji 
jednej zmiennej

x

p

p

y

2

1









min

)

,

(

2

1

2

1

2

1













n

i

i

i

y

x

p

p

p

p

S

Wykład nr 2b

• Warunek  konieczny  istnienia  esktremum  funkcji 

dwóch zmiennych można zapisać jako:

a dalej jako:

Aproksymacja liniowa funkcji 
jednej zmiennej









0

,

0

,

2

2

1

1

2

1













p

p

p

S

p

p

p

S

















0

*

2

,

0

2

,

1

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2

1

































i

n

i

i

i

n

i

i

i

x

y

x

p

p

p

p

p

S

y

x

p

p

p

p

p

S









0

0

1

2

2

1

1

2

1





















n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

x

y

x

p

x

p

y

x

p

p

Wykład nr 2b

• Po przekształceniu uzyskujemy:

lub w postaci macierzowej:

Aproksymacja liniowa funkcji 
jednej zmiennej

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

y

x

p

x

p

y

x

p

n

p





























1

1

2

2

1

1

1

1

2

1



















































































n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

y

y

p

p

x

x

x

n

1

1

2

1

1

2

1

1

*

Y

P

X



*

Y

X

P

*

1





Wykład nr 2b

• Dany jest zbiór punktów 

(x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), …, (x

n

, y

n

)

• Funkcja aproksymująca

• Kryterium najmniejszych kwadratów:

Aproksymacja liniowa funkcji 
jednej zmiennej – inna funkcja

x

p

x

p

p

y

1

3

2

1







min

1

)

,

,

(

2

1

3

2

1

3

2

1



























n

i

i

i

i

y

x

p

x

p

p

p

p

p

S

Wykład nr 2b

• Warunek  konieczny  istnienia  esktremum  funkcji 

dwóch zmiennych można zapisać jako:

Aproksymacja liniowa funkcji 
jednej zmiennej – inna funkcja













0

1

*

1

2

,

,

0

*

1

2

,

,

0

1

2

,

,

1

3

2

1

3

3

2

1

1

3

2

1

2

3

2

1

1

3

2

1

1

3

2

1



























































































i

n

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

n

i

i

i

i

x

y

x

p

x

p

p

p

p

p

p

S

x

y

x

p

x

p

p

p

p

p

p

S

y

x

p

x

p

p

p

p

p

p

S

Wykład nr 2b

• Po  przekształceniu  i  zapisaniu  w  postaci  macierzy 

uzyskujemy:

Aproksymacja liniowa funkcji 
jednej zmiennej – inna funkcja



































































































































n

i

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

y

x

y

x

y

p

p

p

x

n

x

n

x

x

x

x

n

1

1

1

3

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

*

1

1

1

Y

P

X



*

Y

X

P

*

1





Wykład nr 2b

Interpolacja

Szukane

W(x) takie, aby: 

W(x

0

)=y

0

, W(x

1

)=y

1

,…,

W(x

i

)=y

i

, …, W(x

n

)=y

n

 

Dane

y=F(x), x[x

0

,x

n

]

F(x

0

)=y

0

, F(x

1

)=y

1

,…,

F(x

i

)=y

i

, …, F(x

n

)=y

n

Wykład nr 2b

• Wyznaczenie  funkcji  W(x)  opiera  się  na  doborze 

kombinacji liniowej n+1 funkcji bazowych postaci:

• Wprowadzając  macierz  bazową    oraz  macierz 

współczynników A

T

 , wielomian W(x) można zapisać:

Interpolacja

     

 

 

 

 







n

i

i

i

n

i

x

a

x

W

x

x

x

x

x

0

2

1

0

,...,

,...,

,

,













     

 

 









 

 

A

x

x

W

a

a

a

a

A

x

x

x

x

x

n

T

n

i

*

,...,

,

,

,...,

,...,

,

,

2

1

0

2

1

0





















Wykład nr 2b

• Warunek,  jaki  musi  spełniać  wielomian  interpolacyjny 

można zapisać w postaci macierzowej:

• gdzie: 

A  –  macierz  kolumnowa  współczynników  o  (n+1) 

wierszach

Y - macierz kolumnowa wartości funkcji o (n+1) wierszach
X – macierz o wymiarach (n+1)

(n

+1)

Interpolacja

 

Y

A

X

n

i

y

x

W

i

i







*

,...,

2

,

1

,

0

Wykład nr 2b

• Postacie macierzy X i Y

• Jeżeli:
• oraz 
• to:

gdzie: (x) – macierz bazowa, X

-1

 – macierz interpolacyjna, 

Y – wektor wartości funkcji w węzłach

Interpolacja

 

 

 

 

 

 

 

 

 





















































n

n

n

n

n

n

n

y

y

y

Y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

X

...

...

...

...

...

...

...

...

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0



















Y

X

A

X

*

0

det

1









 

 

A

x

x

W

*





 

 

Y

X

x

x

W

*

*

1







Wykład nr 2b

• Bazę stanowią funkcje

• Przy  spełnionym  warunku  (układ  równań),  wielomian 

interpolacyjny ma postać

Interpolacja wielomianowa

 

 

 

 

n

n

x

x

x

x

x

x

x

















...,

,

,

,

1

2

2

1

0

 

n

n

x

a

x

a

x

a

a

x

W











...

2

2

1

0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

y

x

a

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

x

a

a

y

x

a

x

a

x

a

a































...

.....

...

...

2

2

1

0

1

1

2

1

2

1

1

0

0

0

2

0

2

0

1

0

Wykład nr 2b

• Jeśli

to układ posiada jedno rozwiązanie względem a

i

• Wyznacznik macierzy X ma postać

Interpolacja wielomianowa

n

x

x

x

x









...

2

1

0

















j

i

j

i

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

X

0

...

1

...

...

...

...

...

1

...

1

det

1

1

0

0

Wykład nr 2b

• Wady interpolacji liniowej:

– interpolacja  wielomianowa  nie  jest  zbyt  efektywna, 

ponieważ  macierz  X  jest  macierzą  pełną  –  błędy  przy 
odwracaniu

– macierz X nie jest zawsze dobrze uwarunkowana – może 

być osobliwa (tzn. det X = 0)

Interpolacja wielomianowa

Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy 

Interpolacja wielomianowa

Wykład nr 2b

• Bazą w tej metodzie są funkcje:

Dla każdej funkcji

brakuje składnika

Interpolacja Lagrange’a

  





 



  





 



  



 



 



  





 



1

3

2

1

1

1

2

1

3

2

0

1

3

2

1

0

...

.

..........

..........

..........

..........

..........

...

...

..........

..........

..........

..........

..........

...

...

















































n

n

n

i

i

i

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x









 

n

i

x

i

...,

,

1

,

0

, 







i

x

x

Wykład nr 2b

• Wielomian interpolacyjny przyjmuje postać:

• a macierz X

Interpolacja Lagrange’a

 

 

 

 





 







 







 



1

1

0

2

0

1

2

1

0

1

1

0

0

...

...

...

...

...









































n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

x

a

x

a

x

a

x

a

x

W







 

 

 

 

n

n

x

x

x

x

X









...

0

0

0

0

...

...

...

...

0

...

0

0

...

0

0

0

...

0

0

2

2

1

1

0

0



w punkcie x=x

i 

wszystkie funkcje 
oprócz 

i

(x) 

zerują się, bo 
występuje w nich 
składnik (x-x

i

)

Wykład nr 2b

• Współczynniki wielomianu Lagrange’a wyznacza się ze 

wzoru:

• Ponieważ  macierz  X  ma  tylko  główną  przekątną 

niezerową, to:

Interpolacja Lagrange’a





 



 





 



 





 



 

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

y

x

x

x

x

x

x

y

a

x

y

x

x

x

x

x

x

y

a

x

y

x

x

x

x

x

x

y

a





































 1

2

1

1

1

1

1

2

1

0

1

1

1

0

0

0

0

2

0

1

0

0

0

...

....

...

...

Y

A

X



*

Wykład nr 2b

• Wielomian interpolacyjny możemy zapisać:

Interpolacja Lagrange’a

 





 



 







 



 



 









n

j

x

x

x

x

y

x

W

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

W

i

j

j

i

i

j

j

n

i

i

n

i

i

i

i

i

i

i

n

i

i

n

i

i

...,

,

1

,

0

,

...

...

...

...

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0



























































Wykład nr 2b

• Przykład obliczeniowy 

Interpolacja Lagrange’a

 Wykład nr 2b

Różnice skończone

• Dla funkcji stabelaryzowanej przy stałym kroku 

• wprowadza się pojęcie różnicy skończonej rzędu k

1

1

x

x

h

i







 





 

1

0

1

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

....

2





















































































k

i

k

j

j

k

i

i

k

i

k

i

k

i

i

i

i

i

i

i

y

j

k

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

 Wykład nr 2b

Różnice skończone

• Na podstawie zbioru wartości funkcji 

• buduje się tablicę różnic skończonych

 

const

h

x

x

x

f

y

i

i

i

i









1

Nr

x

y

y



2

y



3

y

0

X

0

y

0

y

0



2

y

0



3

y

0

1

X

1

y

1

y

1



2

y

1

…

2

X

2

y

2

y

2

…

…

3

X

3

Y

3

…

…

…

...

…

…

…

…



3

y

n-3

...

…

…

…



2

y

n-2

…

…

…

y

n-1

n

x

n

y

n

 Wykład nr 2b

Różnice skończone

• Przykład obliczeniowy 

 Wykład nr 2b

Różnice skończone

• Własności różnic skończonych

 

• Z ostatniej własności wynika twierdzenie:
Jeżeli F(x) jest wielomianem stopnia n, to różnica 

skończona rzędu n tej funkcji jest stała, a 

kolejne zerami.

 

 

 

 





1

1

1

0

1

0

1

...

...

...

0











































































n

n

n

n

n

n

n

n

n

k

k

k

x

b

x

b

b

y

x

a

x

a

a

y

h

nhx

x

h

x

y

x

y

x

f

C

y

x

f

y

x

f

C

y

x

Cf

y

y

C

y

 Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla 
argumentów równoodległych

Dla zbioru węzłów: 

 dane są wartości funkcji

Wielomian interpolacyjny ma postać

nh

x

x

h

x

x

h

x

x

x

n













0

0

2

0

1

0

2

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

0

n

x

f

x

f

x

f

x

f

 















 



n

q

x

x

q

x

x

q

x

x

q

x

x

h

x

x

q

n

q

q

q

q

a

q

q

q

a

q

q

a

q

a

a

x

W

n

n























































...

2

1

0

1

...

2

1

...

2

1

1

2

1

0

0

3

2

1

0

 Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla 
argumentów równoodległych

Funkcje bazowe: 

 

 

 

  



  





  





 



1

...

3

2

1

...

2

1

1

1

3

2

1

0



























n

q

q

q

q

q

x

q

q

q

x

q

q

x

q

x

x

n











 Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla 
argumentów równoodległych

Układ równań, z którego wyznacza się współczynniki: 

 



 





































































































































n

n

y

y

y

y

y

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n

n

n

...

...

*

!

...

2

1

1

1

...

...

...

...

...

...

0

...

6

6

3

1

0

...

0

2

2

1

0

...

0

0

1

1

0

...

0

0

0

1

3

2

1

0

3

2

1

0

 Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla 
argumentów równoodległych

 

 





n

n

y

a

n

a

n

n

na

a

y

a

a

a

a

y

a

a

a

y

a

a

y

a

































!

...

1

......

6

6

3

2

2

2

1

0

3

3

2

1

0

2

2

1

0

1

1

0

0

0

!

......

!

3

!

2

0

0

3

3

0

2

2

0

1

0

0

n

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

n

n



















 Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla 
argumentów równoodległych

 

 

I wzór interpolacyjny Newtona 

 II wzór interpolacyjny Newtona 

 











o

n

o

y

n

n

q

q

q

y

q

q

y

q

y

x

W

























!

1

...

1

...

!

2

1

2

0

0

 







 



o

n

n

n

n

y

n

n

q

q

q

y

q

q

y

q

y

x

W





























!

1

...

1

...

!

2

1

2

2

1

 Wykład nr 2b

Wzory interpolacyjne dla 
argumentów równoodległych

 

 

Przykłady obliczeniowe  - wykorzystanie I oraz  II 

wzoru interpolacyjnego Newtona