METODY

KOMPUTEROWE W

MECHANICE

Modele drgań:

Hooke

m

Newton

H

C

m

Voight-Kelvin

m

H

C

m

H

C

Maxwell

Wykres

T

p

a

p

a

-

maksymalna amplituda

wychylenia z punktu równowagi

0

P

-przesunięcie
fazowe

)

(

)

(

T

t

x

t

x





)

(

)

(

.

.

T

t

x

t

x





t

a

t

x

P



cos

)

( 

)

cos(

)

(

0









t

a

t

x

P











s

f

T

1

1

-częstotliwość drgań – ilość wahnięć na
sekundę

x(t) - wychylenie

x – współrzędna, która określa położenie
ruchomego punktu

T – czas

dt

dx

x 

.

- prędkość











s

rad

T





2

- częstość drgań

0

P

- przesunięcie fazowe

H – współczynnik proporcjonalności pomiędzy
siłą a wychyleniem

Klasyfikacja drgań

1. Ze względu na ilość stopni swobody

s – ilość niezależnych uogólnionych współrzędnych,

które określają chwilowe położenie układu

a) drgania o 1 stopniu swobody

b) drgania o 2 stopniach swobody
c) drgania o 3 stopniach swobody
d) drgania o 4 stopniach swobody

2. Ze względu na charakter odkształceń
sprężystych układu

3. Ze względu na przyczyny wywołujące drgania
4. Ze względu na możliwości występowania
oporu

5. Ze względu na opis matematyczny ruchu

Ad. 2

m

N

N

m

m

m

Drgania o skończonej ilości stopni swobody

2

H

1

H

3

H

1

m

2

m

3

m

drgania
podłużne

1

m

2

m

3

m

drgania
poprzeczne

drgania skrętne

złożone i dowolne

Drgania o nieskończonej liczbie stopni
swobody

Ad.2 Ze względu na charakter odkształceń
sprężystych

drgającego układu.

-drgania podłużne
- drgania
poprzeczne

- drgania
skrętne

- drgania złożone

- drgania
dowolne

Ad. 3 Ze względu na przyczyny wywołujące
drgania.

-drgania własne (swobodne). Są to drgania
wywołanej jednorazowym wytraceniem układu z
położenia równowagi sprężystej.

-drgania wymuszone. Są to takie drgania, które
są wzbudzane siłami zewnętrznymi
zmieniającymi się w czasie T.

t

P

t

P



sin

)

(

0



0

P

- stała siła



- częstość drgań

t

- czas

)

(t

P

- drgania
wymuszone

- drgania parametryczne. Są to takie drgania, które
są wywoływane okresową zmianą parametru
układu np. jego sztywnością.

t

P

t

P



sin

)

(

0



- drgania samowzbudne. Są to drgania, które
wzbudzane są przez siły spowodowane samym
ruchem np. siły tarcia.

Ad.4 Ze względu na możliwości występowania
oporów.

- drgania tłumione. Są to takie drgania, gdzie
wstępuje opór.

- drgania nietłumione.

Modele drgań tłumionych

H

m

Model
Maxwella

H

C

Model Voight – Kelvin

6. Stałe sprężystości układu o jednym stopniu
swobody.

s

S





S

s

- uogólniona siła

- uogólnione
przemieszczenie



- stała
sprężystości

Stałą sprężystości (H) układu o jednym stopniu
swobody nazywamy iloraz uogólnionej siły do
uogólnionego przemieszczenia w miejscu przyłożenia
siły w kierunku jej działania.

a) ruch postępowy













m

N

X

P

P

- siła

X

-
przemieszczeni
e

b) ruch obrotowy



M





M

- moment



- kąt

7. Stałe sprężystości układu o więzach
połączonych.

a) połączenie szeregowe

p

x

x

x

x

x











...

3

2

1





Q

x

i

i

Q

x





Q

S

S

S

i







...

2

1

i















1

...

1

1

1

2

1

...

1

2

1





















i

i

i

z

i

i

i

S

x





1



2



3



Q

Podstawowy warunek połączenia szeregowego to
inaczej warunek przemieszczeń. Pod zadanym
obciążeniem Q i całkowitym przemieszczeniem równe
jest:

b) połączenie
równoległe

P

1

l

2

l

1



2



Warunki równowagi





0

0

1

2

1

2

2

1

















l

P

l

l

S

P

S

S

{

2

1

1

1

l

l

l







2

1

2

2

l

l

l







1

l

2

l

1



2



2

S

1

S

1

2

1













P

x

2

1



P

S 

1

2



P

S 

2

2

2

1

2

1

2

1



















z

S

Zastępcza
stała
sprężystośc
i

2

1





i

- wydłużenie
sprężyn

2

1

1

2

x

x

x









-
przemieszczenie

Zadanie 1:

Określenie zastępczej
stałej sprężystości układu

d

l

s

M

0

GI

l

M

s

s





s



-kąt skręcania

s

M

-moment
skręcający

-moduł odkształcenia postaciowego
(moduł Kirchhoffa)

G

KĄT SKRĘCANIA

0

I

-moment
bezwładności

32

2

0

d

I





d

-średnica walka

Stała skręcania

l

GI

M

0









-stała skręcania
wyrażana w









rad

Nm

)

1

(

2







E

G



Zadanie 2:

Wałek o zmiennej

średnicy

1

d

2

d

1

l

2

l

W przypadku wałka o zmiennej średnicy należy
rozpatrywać każdy przekrój oddzielnie, czyli
jak dwa wałki.

1

01

1

l

GI





2

02

2

l

GI





32

4

1

01

d

I





32

4

2

02

d

I





Dla średnicy pierwszej
(górnej).

Dla średnicy drugiej (dolnej).

Obliczenia układu o dwóch średnicach

4

2

1

1

2

2

1



















d

d

l

l

2

1

1

2

1













dla
i=1

red

l

GI

d

d

l

l

l

GI

2

01

4

2

1

1

2

1

01

2

1



































Podstawiając wcześniejsze wzory otrzymujemy
wzór:

Dane do zadania
2:

mm

d

14

1



mm

d

10

2



l

l

3

1

1



l

l

3

2

2



E

E

E





2

1

Analiza wyników po podstawieniu danych.

]

[

32

,

1

1

2

2

1

1

2

1

2

m

l

d

d

l

l

l

l

red

































]

[

94

,

1

1

4

2

1

1

2

1

2

m

l

d

d

l

l

l

l

red

































Wnioski:

Sztywność układu

0

GI

przy skręcaniu jest większa niż przy
rozciąganiu

0

EI

0

0

EI

GI 

Zmiana średnicy pręta ma większy wpływ przy skręcaniu na
podatność w porównaniu z rozciąganiem.

.

Zadanie 3.

Sprężyna śrubowa obciążona na końcu siłą osiową p.

I

A

Q

f

Q





EI

Ql

f

3

3



II

l

A

B

Q

2

l

2

l

f

Q

H 

EI

Ql

H

48

3



III

H

P

f

P

H 

s

C

i

PR

f



3

2



gdzie:

i – ilość zwojów

s

C

-zastępcza
sztywność

układu przy
skręcaniu

R – promień zwojów