1

Metoda Elementów

Metoda Elementów

Sko czonych

Sko czonych

SFORMU OWANIE RESIDUÓW



SFORMU OWANIE RESIDUÓW



WA ONYCH PROBLEMU



WA ONYCH PROBLEMU



2

A

A

proksymacj

proksymacj

a

a

w elemencie

w elemencie

•

metod

metod

a

a

residuów wa

residuów wa





onych

onych

-

-

metod

metod

a

a

Galerkina,

Galerkina,

•

funkcjona

funkcjona





wariacyjny

wariacyjny

problemu

problemu

-

-

metod

metod

a

a

Rayleigha-Ritza

Rayleigha-Ritza

Dwa sformu owania:



Dwa sformu owania:



3

Metoda residuów wa onych



Metoda residuów wa onych



•

Metoda residuów wa onych startuje od



Metoda residuów wa onych startuje od



równania ró niczkowego problemu



równania ró niczkowego problemu



•

Najcz ciej wykorzystujemy gdy nie



Najcz ciej wykorzystujemy gdy nie



mo na poda zasady wariacyjnej (np.





mo na poda zasady wariacyjnej (np.





gdy równanie ró niczkowe jest rz du





gdy równanie ró niczkowe jest rz du





nieparzystego)

nieparzystego)

4

Z

Z

adanie formu

adanie formu





owane jest nast

owane jest nast





puj

puj

co:

co:

szukamy nieznanych funkcji

szukamy nieznanych funkcji

u

u

spe

spe





niaj

niaj

cych opisuj

cych opisuj

cy uk

cy uk





ad równa

ad równa

ró

ró





niczkowych, lub w szczególno

niczkowych, lub w szczególno





ci jedno

ci jedno

równanie

równanie

5

•

w zadanym obszarze

w zadanym obszarze

W

W

wraz z

wraz z

warunkami brzegowymi

warunkami brzegowymi

( )

( )

( )

0

u

u

u

L

=

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

L

L

( )

( )

( )

0

u

u

u

B

=

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

=

2

1

B

B

6

6

•

Metoda elementów sko

Metoda elementów sko

czonych dostarcza

czonych dostarcza

ogólnego schematu post

ogólnego schematu post





powania w celu

powania w celu

konstruowania szukanych funkcji poprzez

konstruowania szukanych funkcji poprzez

przyj

przyj





cie postaci aproksymacyjnej

cie postaci aproksymacyjnej

gdzie N

i

s tzw. funkcjami ksztatu które

okrelone s w ukadzie lokalnym elementu lub
podobszaru, a

i

s natomiast parametrami

wzowymi, w wikszoci nieznanymi.

u

 u=



i

=1

n

N

i

a

i

= N a

7

•

na granicach tego obszaru

na granicach tego obszaru

G

G

element

B ( u ) = 0

G

G

e

W

e

x

y

L ( u ) = 0

W

Rozpatrywany obszar

W i granica G

Szukane funkcje mog by funkcjami skalarnymi,
wektorowymi lub przedstawia kilka funkcji.

8

Funkcja wymuszaj ca

Funkcja wymuszaj ca

Funkcja zmiennych stanu

Funkcja zmiennych stanu

W a ciwo ci operatora ró niczkowego

 





W a ciwo ci operatora ró niczkowego

 





Symetryczno


Symetryczno


Dodatnia

Dodatnia

okre lono



okre lono



9

Zastosowanie: pr t 1-D



Zastosowanie: pr t 1-D



Równanie ró niczkowe



Równanie ró niczkowe



Geometryczne w.b.

Geometryczne w.b.

Fizyczne w.b.

Fizyczne w.b.

10

Funkcje wagi

Funkcje wagi

Funkcje

Funkcje

próbne

próbne

¹

¹

0

0

11

Funkcje wagi

Funkcje wagi

12

Macierz sztywno ci



Macierz sztywno ci



Wektor wymusze

Wektor wymusze

13

Dobór funkcji wagowych

Dobór funkcji wagowych

•

Metoda kolokacji

Metoda kolokacji

•

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów

•

Metoda Galerkina

Metoda Galerkina

14

15

15

Zale no ci podstawowe





Zale no ci podstawowe





T

=

[

XX

YY

ZZ



XY



YZ



ZX

]



T

=

[



XX



YY



ZZ



XY



YZ



ZX

]

U

T

= [ U V W ]

e = C U

s = D (e - e

o

) +

s

o

16

16

Energia, praca

Energia, praca

Energia

Energia

kinetyczna

kinetyczna

Energia

Energia

potencjalna

potencjalna

Praca si



Praca si



zewn trznych



zewn trznych



Ciep o



Ciep o



Dla statycznego stanu

Dla statycznego stanu

adiabatycznego

adiabatycznego

17

17

Liniowa

Liniowa

Nieliniowa

Nieliniowa

18

18

Energia odkszta cenia



Energia odkszta cenia



19

19

Energia odkszta cenia i praca



Energia odkszta cenia i praca



si zewn trznych





si zewn trznych





20

20

Funkcjona energii



Funkcjona energii



potencjalnej

potencjalnej

21

21

22

22

Równanie równowagi

Równanie równowagi

23

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D

: 1-D

Przyk ad

Przyk ad

d

d

( )

( )

2

2

2

1

0

4

9

u

x

u

u

=

=

=

solution

u x

x

( )

(

)

=

- 1

2

1

2

3

4

U

1

=0

2

4

6

8

x

u

U

4

=9

U

3

=?

U

2

=?

24

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D

: 1-D

Przyk ad c.d.

Przyk ad c.d.

1.

1.

Metoda residuów wa onych

Metoda residuów wa onych

(

(

sformu owanie „s abe”





sformu owanie „s abe”





)

)

0

x

d

)

(

=

ò

×

-

R

w

f

Lu

2.

2.

Ca kowanie przez cz

ci





Ca kowanie przez cz

ci





(Green-Gauss

(Green-Gauss

wzór

wzór

)

)

0

x

d

2

4

1

2

2

=

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

- w

w

dx

u

d

0

x

d

2

4

1

4

1

=

úû

ù

êë

é

+

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

w

dx

du

w

dx

dw

dx

du

25

3. Dyskretyzacja

•

4 globalne parametry w z owe U



1

, U

2

, U

3

, U

4

•

3 liniowe elementy ka dy o 2 parametrach u



1

, u

2

.

•

S siaduj ce elementy wspó dziel globalne







parametry, e.g., globalny parametr U

2

jest

parametrem u

2

elementu 1 i u

1

elementu 2.

•

Dwie (liniowe) funkcje kszta tu dla ka dego elementu,



N

i

(x), i = 1, 2

•

Aproksymacja u w elemencie w postaci:

u(x) = u

1

N

1

+ u

2

N

2

= u

i

N

i

i=1,2

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D

: 1-D

Przyk ad c.d.

Przyk ad c.d.

26

0

0.5

1

0

0.5

1

x

f

2

f

1

Funkcje kszta tu

ł

27

Globalne funkcje kszta tu



Globalne funkcje kszta tu



28

4. Równania Galerkina dla ka dego elementu

[ ]

0

x

d

2

x

d

2

x

d

2

4

1

4

3

3

2

2

1

=

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

ò

ò

ò

w

dx

du

w

dx

dw

dx

du

w

dx

dw

dx

du

w

dx

dw

dx

du

Dla ka dego elementu



u(x)

º u

1

N

1

+ u

2

N

2

= u

i

N

i

(x)

i

w(x)

º N

i

(x)

29

(

)

i

j

j

ij

2

1

2

1

2

2

1

1

f

u

k

d

2

d

d

d

d

d

d

d

=

å

Þ

ò

=

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

x

x

x

x

u

x

u

i

i

j

j

j

j

4. Równania Galerkina dla ka dego elementu

(… c.d.)

Element 1 :

[k] = [(k

ij

)] macierz sztywno ci elementu



f = (f

i

) wektor obci

e w z owych

 



30

x

x

x

x

d

2

f

k

d

k

i

i

ji

ij

j

i

ò

=

=

ò

¶

¶

¶

¶

-

=

j

j

j

[k]u = f

gdzie [k] i wektor, f

5. Macierz sztywno ci elementu



1

2

:

1

Element

2

1

-

=

-

=

x

x

j

j

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

Þ

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

ò

1

1

1

1

d

1

1

1

1

)

1

ele

(

2

1

2

1

)

1

ele

(

[k]

[k]

x

x

x

x

x

31

x

d

2

f

i

i

ò

=

j

5. Obci

enia w z owe



 

1

2

:

1

Element

2

1

-

=

-

=

x

x

j

j

ú

û

ù

ê

ë

é

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

-

-

-

-

=

Þ

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

ò

1

1

)

2

1

(

)

4

4

(

)

1

4

(

)

4

8

(

2

4

d

2

2

2

4

)

1

ele

(

2

2

2

1

2

1

)

1

ele

(

f

f

x

x

x

x

x

x

x

W rozpatrywanym zadaniu :

[k]

(ele 1)

= [k]

(ele 2)

= [k]

(ele 3)

i:

f

(ele 1)

= f

(ele 2)

= f

(ele 3)

32

6. Agregacja globalnej macierzy sztywno ci i wektora



obci

e




ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

-

-

=

1

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

[K]

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

+

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

+

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

F

33

7. Uwzgl dnienie warunków brzegowych



ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

=

1

2

2

1

1

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

1

4

3

2

1

U

U

U

U

F

[K]U

u

U

u

U

( )

( )

1

0

4

9

1

4

=

=

=

=

Pozostaj równania



2 i 3

2

9

2

2

2

0

3

2

3

2

=

+

-

=

+

-

U

U

U

U

34

8. Rozwi zanie uk adu równa





 (po

uwzgl dnieniu warunków brzegowych



)

4

1

2

9

2

2

2

0

3

2

3

2

3

2

=

=

Þ

=

+

-

=

+

-

U

U

U

U

U

U

Dok adne



Dok adne



!

!

35

R

R

ównowag

ównowag

a

a

elementu

elementu

Dla opisu stanu równowagi elementu przyjmuje

Dla opisu stanu równowagi elementu przyjmuje

si

si





sko

sko

czon

czon

liczb

liczb





parametrów, mimo

parametrów, mimo





e w

e w

przypadku elementu wyci

przypadku elementu wyci





tego z kontinuum

tego z kontinuum

parametrów jest niesko

parametrów jest niesko

czenie wiele. Dlatego te

czenie wiele. Dlatego te





metoda elementów sko

metoda elementów sko

czonych jest metod

czonych jest metod

przybli

przybli





on

on

, aproksymacyjn

, aproksymacyjn

. Powstaje pytanie,

. Powstaje pytanie,

czy dok

czy dok





adno

adno





metody jest dostateczna, i od

metody jest dostateczna, i od

czego ona zale

czego ona zale





y?

y?

36

D

D

ok

ok





adno

adno





metody

metody

•

za

za





o

o





one funkcje dok

one funkcje dok





adniej opisuj

adniej opisuj

rzeczywisty rozk

rzeczywisty rozk





ad pola elementu

ad pola elementu

•

podzia

podzia





na elementy jest bardziej g

na elementy jest bardziej g





sty

sty

Ogólnie mo

Ogólnie mo





na powiedzie

na powiedzie





,

,





e dok

e dok





adno

adno





metody jest tym wi

metody jest tym wi





ksza im:

ksza im:

37

Spe

Spe





nienie tylko drugiego warunku nie jest

nienie tylko drugiego warunku nie jest

wystarczaj

wystarczaj

ce do uzyskania poprawnych

ce do uzyskania poprawnych

wyników. Kluczowy jest dobór funkcji

wyników. Kluczowy jest dobór funkcji

interpolacyjnych opisuj

interpolacyjnych opisuj

cych stan

cych stan

odkszta

odkszta





cenia elementu w zale

cenia elementu w zale





no

no





ci od

ci od

warto

warto





ci przemieszcze

ci przemieszcze

w

w





z

z





owych.

owych.

Funkcje te okre

Funkcje te okre





la si

la si





w MESie mianem

w MESie mianem

funkcji kszta

funkcji kszta

tu

tu

38

F

F

unkcje kszta

unkcje kszta





tu

tu

1.

1.

funkcje opisuj

funkcje opisuj

ce pole funkcji

ce pole funkcji

rozwi

rozwi

zuj

zuj

cej powinny gwarantowa

cej powinny gwarantowa





ich

ich

ci

ci

g

g





o

o





wewn

wewn

trz elementu oraz

trz elementu oraz

zgodno

zgodno





(do rz

(do rz





du o jeden rz

du o jeden rz

d

d

mniejszy ni

mniejszy ni





rz

rz

d najwy

d najwy





szej pochodnej

szej pochodnej

wyst

wyst





puj

puj

cej w równaniu ca

cej w równaniu ca





kowym) na

kowym) na

granicy podzia

granicy podzia





u - w elementach

u - w elementach

s

s

siednich

siednich

Przyjmuj c funkcje ksztatu naley d y do
spenienia nastpuj cych warunków:

39

2.

2.

funkcje musz

funkcje musz

zapewnia

zapewnia





mo

mo





liwo

liwo





realizacji sta

realizacji sta





ej warto

ej warto





ci funkcji

ci funkcji

rozwi

rozwi

zuj

zuj

cej lub jej pochodnych (do

cej lub jej pochodnych (do

rz

rz





du o jeden rz

du o jeden rz

d mniejszy ni

d mniejszy ni





rz

rz

d

d

najwy

najwy





szej pochodnej wyst

szej pochodnej wyst





puj

puj

cej w

cej w

równaniu ca

równaniu ca





kowym) wewn

kowym) wewn

trz

trz

elementu, co uwzgl

elementu, co uwzgl





dnia oczywisty fakt,

dnia oczywisty fakt,





e wraz ze zmniejszaniem si

e wraz ze zmniejszaniem si





wymiarów

wymiarów

elementu, warto

elementu, warto





funkcji rozwi

funkcji rozwi

zuj

zuj

cej

cej

zmierza do pewnej sta

zmierza do pewnej sta





ej warto

ej warto





ci.

ci.

40

F

F

unkcje kszta

unkcje kszta





tu

tu

Spe

Spe





nienie powy

nienie powy





szych warunków zapewnia

szych warunków zapewnia

na ogó

na ogó





monotoniczn

monotoniczn

zbie

zbie





no

no





poszukiwanego rozwi

poszukiwanego rozwi

zania, do rozwi

zania, do rozwi

zania

zania

dok

dok





adnego, w miar

adnego, w miar





zwi

zwi





kszania liczby

kszania liczby

elementów przy jednoczesnym zmniejszaniu

elementów przy jednoczesnym zmniejszaniu

ich obj

ich obj





to

to





ci

ci

W

W





a

a





ciwy dobór funkcji kszta

ciwy dobór funkcji kszta





tu jest

tu jest

zagadnieniem o podstawowym znaczeniu w

zagadnieniem o podstawowym znaczeniu w

analizie elementu.

analizie elementu.

41

Liniowe funkcje kszta tu dla



Liniowe funkcje kszta tu dla



elementu trójk tnego

elementu trójk tnego

42

•

Metoda elementów sko

Metoda elementów sko

czonych dostarcza

czonych dostarcza

ogólnego schematu post

ogólnego schematu post





powania w celu

powania w celu

konstruowania szukanych funkcji poprzez

konstruowania szukanych funkcji poprzez

przyj

przyj





cie postaci aproksymacyjnej

cie postaci aproksymacyjnej

u

u

N a

Na

» =

=

å



i

i

n

1

gdzie N

i

s tzw. funkcjami ksztatu które

okrelone s w ukadzie lokalnym elementu lub
podobszaru, a

i

s natomiast parametrami

wzowymi, w wikszoci nieznanymi.

43

Macierz sztywno ci uk adu





Macierz sztywno ci uk adu





•

K

K

- macierz kwadratowa zwana macierz

- macierz kwadratowa zwana macierz

sztywno

sztywno





ci uk

ci uk





adu,

adu,

•

a

a

- wektor, którego sk

- wektor, którego sk





adowymi s

adowymi s

niewiadome

niewiadome

parametry w

parametry w





z

z





owe

owe

•

r

r

- wektor, którego sk

- wektor, którego sk





adowymi s

adowymi s

obci

obci





enia

enia

w

w





z

z





owe.

owe.

Wymiary

Wymiary

K

K

,

,

a

a

,

,

r

r

zale

zale





od liczby w

od liczby w





z

z





ów w uk

ów w uk





adzie i

adzie i

liczby sk

liczby sk





adowych parametrów w

adowych parametrów w





z

z





owych.

owych.

Ka

r

=