Metoda Elementów

Metoda Elementów

Sko czonych

Sko czonych

P yty i pow oki





P yty i pow oki





2

2

M

M

odel przemieszczeniowy dla

odel przemieszczeniowy dla

zagadnie

zagadnie

statyki

statyki

X, U

Y, V

Z, W

V

S

i

F

Y

i

F

X

i

F

Z

i

f

Y

B

f

X

B

f

Z

B

3

3

4

4

Zagadnienie

Sk adowe

przemie-

szcze

Wektor

odkszta ce



Wektor

napr e

 

Pr t kratowy

u

[e

xx

]

[s

xx

]

Belka

w

[k

xx

]

[M

xx

]

P aski



stan

napr en



ia

u, v

[e

xx

e

yy

g

xy

]

[s

xx

s

yy

t

xy

]

P aski stan



odksztacenia

u, v

[e

xx

e

yy

g

xy

]

[s

xx

s

yy

t

xy

]

Osiowo-
symetryczne

u, v

[e

xx

e

yy

g

xy

e

zz

]

[s

xx

s

yy

t

xy

s

zz

]

Trójwymiarowe

u, v, w

[e

xx

e

yy

e

zz

g

xy

g

yz

g

zx

]

[s

xx

s

yy

s

zz

t

xy

t

yz

t

zx

]

Zginanie p yty



w

[k

xx

k

yy

k

xy

]

[M

xx

M

yy

M

xy

]

5

5

Za o enia modelu p yty

 



Za o enia modelu p yty

 



•

P aska p aszczyzna





P aska p aszczyzna





•

Obci enie prostopad e do powierzchni p yty







Obci enie prostopad e do powierzchni p yty







•

Dominuj cy wp yw zginania





Dominuj cy wp yw zginania





•

Ugi cie p yty jest ma e w porównaniu z







Ugi cie p yty jest ma e w porównaniu z







grubo ci

 

grubo ci

 

•

p aszczyzna rodkowa zamienia si w







p aszczyzna rodkowa zamienia si w







powierzchni rodkow bez zmiany d ugo ci

 







powierzchni rodkow bez zmiany d ugo ci

 







elementów i k tów mi dzy nimi





elementów i k tów mi dzy nimi





6

6

P yta – stan tarczowy i zgi ciowy





P yta – stan tarczowy i zgi ciowy





7

7

Idealizacja p yty – model 2D



Idealizacja p yty – model 2D



Powierzchnia rodkowa



Model

matematyczny

Grubo

 h

Model

fizyczny

8

8

Proste, prostopad e do p aszczyzny rodkowej







Proste, prostopad e do p aszczyzny rodkowej







w nieodkszta conej p ycie, zostaj po jej







w nieodkszta conej p ycie, zostaj po jej







odkszta ceniu proste i prostopad e do





odkszta ceniu proste i prostopad e do





powierzchni rodkowej.



powierzchni rodkowej.



Odkszta cenia warstw równoleg ych do





Odkszta cenia warstw równoleg ych do





powierzchni rodkowej w kierunku



powierzchni rodkowej w kierunku



prostopad ym do tej powierzchni s pomijalne.





prostopad ym do tej powierzchni s pomijalne.





Teoria p yt cienkich



Teoria p yt cienkich



(Kirchhoffa)

(Kirchhoffa)

Hipotezy:

Hipotezy:

9

9

Kinematyka p yty Kirchhoffa



Kinematyka p yty Kirchhoffa



Powierzchnia

rodkowa



Odkszta cona



powierzchnia

10

10

Napr enia



Napr enia



11

11

Napr enia uogólnione



Napr enia uogólnione



Powierzchnia górna

Powierzchnia dolna

Napr enia normalne



Napr enia styczne



Momenty zginaj ce



12

12

Si y wewn trzne w p ycie







Si y wewn trzne w p ycie







Powierzchnia rodkowa

13

13

Si y i momenty



Si y i momenty



Momenty

Momenty

zginaj ce



zginaj ce



Moment

Moment

skr caj cy





skr caj cy





Si y



Si y



poprzeczne

poprzeczne

14

14

Przemieszczenia

Przemieszczenia

15

15

Odkszta cenia



Odkszta cenia



ε

z

= 0

Teoria

Teoria

spr ysto ci





spr ysto ci





16

16

Zwi zki fizyczne



Zwi zki fizyczne



17

17

18

18

Równanie równowagi

Równanie równowagi

gdzie

gdzie

sztywno



sztywno



p yty



p yty



porównaj

porównaj

belka

belka

p yta



p yta



19

19

Si y poprzeczne i momenty



Si y poprzeczne i momenty



20

20

Warunki brzegowe

Warunki brzegowe

21

21

Warunki brzegowe

Warunki brzegowe

brzeg

brzeg

utwierdzony

utwierdzony

brzeg

brzeg

przegubowy

przegubowy

brzeg

brzeg

swobodny

swobodny

22

22

Wp yw M



Wp yw M



xy

xy

na reakcj w rogu



na reakcj w rogu



23

23

Dyskretyzacja

Dyskretyzacja

24

24

Elementy sko czone

Elementy sko czone

Element 4-w z owy

 

Element 4-w z owy

 

Powierzchnia rodkowa



Stopnie swobody w w le



Stopnie swobody w w le



25

25

Funkcje kszta tu dla elementu



Funkcje kszta tu dla elementu



26

26

Element 8-w z owy

 

Element 8-w z owy

 

27

27

Teoria p yt redniej grubo ci







Teoria p yt redniej grubo ci







(Mindlina)

(Mindlina)

4

4

t/L>1/10

t/L>1/10

Proste, prostopad e do p aszczyzny rodkowej







Proste, prostopad e do p aszczyzny rodkowej







w nieodkszta conej p ycie, zostaj po jej







w nieodkszta conej p ycie, zostaj po jej







odkszta ceniu proste i prostopad e do





odkszta ceniu proste i prostopad e do





powierzchni rodkowej.



powierzchni rodkowej.



Odrzucona zostaje hipoteza:

Odrzucona zostaje hipoteza:

Wyst pi wi c odkszta cenie postaciowe:







Wyst pi wi c odkszta cenie postaciowe:







28

28

Przemieszczenia

Przemieszczenia

Nowe zmienne:

Nowe zmienne:

x

x

,

,

y

y

29

29

Odkszta cenia



Odkszta cenia



30

30

gdzie

gdzie

oraz

31

31

Elementy sko czone

Elementy sko czone

Stopnie swobody w w le



Stopnie swobody w w le



32

32

Pow oki



Pow oki



Si y membranowe



Si y membranowe



+ momentowe

+ momentowe

33

33

Zbiornik

Zbiornik

34

34

Elementy pow okowe



Elementy pow okowe



Element p aski stan napr

enia





Element p ytowy



Element pow okowy



35

35

Element trójk tny



Element trójk tny



36

36

Element Q8

Element Q8

37

37

Element krzywoliniowy

Element krzywoliniowy

38

38

Przyk ady testowe



Przyk ady testowe



39

39

Siatka – elementy trójk tne



Siatka – elementy trójk tne



40

40

Moment zginaj cy M



Moment zginaj cy M



xx

xx

41

41

Moment zginaj cy M



Moment zginaj cy M



yy

yy

42

42

Momenty – g stsza siatka



Momenty – g stsza siatka



43

43

Pow oka



Pow oka



44

44

Pow oka



Pow oka



45

45

46

46

P yta trójk tna





P yta trójk tna





47

47

Elementy pow okowe



Elementy pow okowe



48

48

P yta trójk tna – siatka elementów





P yta trójk tna – siatka elementów





49

49

Wyniki

Wyniki

50

50

P yta naro na





P yta naro na





51

51

Siatka elementów sko czonych

Siatka elementów sko czonych

52

52

Napr enia zredukowane



Napr enia zredukowane



53

53

Napr enia w p aszczy nie







Napr enia w p aszczy nie







rodkowej



rodkowej



54

54

Po czenie pow okowe





Po czenie pow okowe





55

55

Model mes

Model mes

56

56

Moment - 1

Moment - 1

57

57

Moment - 2

Moment - 2

58

58

Si y membranowe - 1



Si y membranowe - 1



59

59

Si y membranowe - 2



Si y membranowe - 2



60

60

P yta z ebrami





P yta z ebrami





61

61

Napr enia zredukowane



Napr enia zredukowane



62

62

Napr enia normalne



Napr enia normalne



s

s

yy

yy

63

63

Moment zginaj cy M



Moment zginaj cy M



xx

xx

64

64

Moment zginaj cy M



Moment zginaj cy M



yy

yy