Metoda Elementów
Metoda Elementów
Sko czonych
Sko czonych
P yty i pow oki
P yty i pow oki
2
2
M
M
odel przemieszczeniowy dla
odel przemieszczeniowy dla
zagadnie
zagadnie
statyki
statyki
X, U
Y, V
Z, W
V
S
i
F
Y
i
F
X
i
F
Z
i
f
Y
B
f
X
B
f
Z
B
3
3
4
4
Zagadnienie
Sk adowe
przemie-
szcze
Wektor
odkszta ce
Wektor
napr e
Pr t kratowy
u
[e
xx
]
[s
xx
]
Belka
w
[k
xx
]
[M
xx
]
P aski
stan
napr en
ia
u, v
[e
xx
e
yy
g
xy
]
[s
xx
s
yy
t
xy
]
P aski stan
odksztacenia
u, v
[e
xx
e
yy
g
xy
]
[s
xx
s
yy
t
xy
]
Osiowo-
symetryczne
u, v
[e
xx
e
yy
g
xy
e
zz
]
[s
xx
s
yy
t
xy
s
zz
]
Trójwymiarowe
u, v, w
[e
xx
e
yy
e
zz
g
xy
g
yz
g
zx
]
[s
xx
s
yy
s
zz
t
xy
t
yz
t
zx
]
Zginanie p yty
w
[k
xx
k
yy
k
xy
]
[M
xx
M
yy
M
xy
]
5
5
Za o enia modelu p yty
Za o enia modelu p yty
P aska p aszczyzna
P aska p aszczyzna
Obci enie prostopad e do powierzchni p yty
Obci enie prostopad e do powierzchni p yty
Dominuj cy wp yw zginania
Dominuj cy wp yw zginania
Ugi cie p yty jest ma e w porównaniu z
Ugi cie p yty jest ma e w porównaniu z
grubo ci
grubo ci
p aszczyzna rodkowa zamienia si w
p aszczyzna rodkowa zamienia si w
powierzchni rodkow bez zmiany d ugo ci
powierzchni rodkow bez zmiany d ugo ci
elementów i k tów mi dzy nimi
elementów i k tów mi dzy nimi
6
6
P yta stan tarczowy i zgi ciowy
P yta stan tarczowy i zgi ciowy
7
7
Idealizacja p yty model 2D
Idealizacja p yty model 2D
Powierzchnia rodkowa
Model
matematyczny
Grubo
h
Model
fizyczny
8
8
Proste, prostopad e do p aszczyzny rodkowej
Proste, prostopad e do p aszczyzny rodkowej
w nieodkszta conej p ycie, zostaj po jej
w nieodkszta conej p ycie, zostaj po jej
odkszta ceniu proste i prostopad e do
odkszta ceniu proste i prostopad e do
powierzchni rodkowej.
powierzchni rodkowej.
Odkszta cenia warstw równoleg ych do
Odkszta cenia warstw równoleg ych do
powierzchni rodkowej w kierunku
powierzchni rodkowej w kierunku
prostopad ym do tej powierzchni s pomijalne.
prostopad ym do tej powierzchni s pomijalne.
Teoria p yt cienkich
Teoria p yt cienkich
(Kirchhoffa)
(Kirchhoffa)
Hipotezy:
Hipotezy:
9
9
Kinematyka p yty Kirchhoffa
Kinematyka p yty Kirchhoffa
Powierzchnia
rodkowa
Odkszta cona
powierzchnia
10
10
Napr enia
Napr enia
11
11
Napr enia uogólnione
Napr enia uogólnione
Powierzchnia górna
Powierzchnia dolna
Napr enia normalne
Napr enia styczne
Momenty zginaj ce
12
12
Si y wewn trzne w p ycie
Si y wewn trzne w p ycie
Powierzchnia rodkowa
17
17
18
18
Równanie równowagi
Równanie równowagi
gdzie
gdzie
sztywno
sztywno
p yty
p yty
porównaj
porównaj
belka
belka
p yta
p yta
19
19
Si y poprzeczne i momenty
Si y poprzeczne i momenty
20
20
Warunki brzegowe
Warunki brzegowe
25
25
Funkcje kszta tu dla elementu
Funkcje kszta tu dla elementu
26
26
Element 8-w z owy
Element 8-w z owy
27
27
Teoria p yt redniej grubo ci
Teoria p yt redniej grubo ci
(Mindlina)
(Mindlina)
4
4
t/L>1/10
t/L>1/10
Proste, prostopad e do p aszczyzny rodkowej
Proste, prostopad e do p aszczyzny rodkowej
w nieodkszta conej p ycie, zostaj po jej
w nieodkszta conej p ycie, zostaj po jej
odkszta ceniu proste i prostopad e do
odkszta ceniu proste i prostopad e do
powierzchni rodkowej.
powierzchni rodkowej.
Odrzucona zostaje hipoteza:
Odrzucona zostaje hipoteza:
Wyst pi wi c odkszta cenie postaciowe:
Wyst pi wi c odkszta cenie postaciowe:
28
28
Przemieszczenia
Przemieszczenia
Nowe zmienne:
Nowe zmienne:
x
x
,
,
y
y
37
37
Element krzywoliniowy
Element krzywoliniowy
38
38
Przyk ady testowe
Przyk ady testowe
39
39
Siatka elementy trójk tne
Siatka elementy trójk tne
40
40
Moment zginaj cy M
Moment zginaj cy M
xx
xx
45
45
46
46
P yta trójk tna
P yta trójk tna
47
47
Elementy pow okowe
Elementy pow okowe
48
48
P yta trójk tna siatka elementów
P yta trójk tna siatka elementów
49
49
Wyniki
Wyniki
50
50
P yta naro na
P yta naro na
51
51
Siatka elementów sko czonych
Siatka elementów sko czonych
52
52
Napr enia zredukowane
Napr enia zredukowane
