1

Metoda Elementów

Metoda Elementów

Sko czonych

Sko czonych

SFORMU OWANIE RESIDUÓW

SFORMU OWANIE RESIDUÓW

WA ONYCH PROBLEMU

WA ONYCH PROBLEMU

2

A

A

proksymacj

proksymacj

a

a

w elemencie

w elemencie

•

metod

metod

a

a

residuów wa

residuów wa

onych

onych

-

-

metod

metod

a

a

Galerkina,

Galerkina,

•

funkcjona

funkcjona

wariacyjny

wariacyjny

problemu

problemu

-

-

metod

metod

a

a

Rayleigha-Ritza

Rayleigha-Ritza

Dwa sformu owania:

Dwa sformu owania:

3

Metoda residuów wa onych

Metoda residuów wa onych

•

Metoda residuów wa onych startuje od

Metoda residuów wa onych startuje od

równania ró niczkowego problemu

równania ró niczkowego problemu

•

Najcz ciej wykorzystujemy gdy nie

Najcz ciej wykorzystujemy gdy nie

mo na poda zasady wariacyjnej (np.

mo na poda zasady wariacyjnej (np.

gdy równanie ró niczkowe jest rz du

gdy równanie ró niczkowe jest rz du

nieparzystego)

nieparzystego)

4

Z

Z

adanie formu

adanie formu

owane jest nast

owane jest nast

puj

puj

co:

co:

szukamy nieznanych funkcji

szukamy nieznanych funkcji

u

u

spe

spe

niaj

niaj

cych opisuj

cych opisuj

cy uk

cy uk

ad równa

ad równa

ró

ró

niczkowych, lub w szczególno

niczkowych, lub w szczególno

ci jedno

ci jedno

równanie

równanie

5

•

w zadanym obszarze

w zadanym obszarze

W

W

wraz z

wraz z

warunkami brzegowymi

warunkami brzegowymi

( )

( )

( )

0

u

u

u

L

=

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

2

1

L

L

( )

( )

( )

0

u

u

u

B

=

ï

þ

ï

ý

ü

ï

î

ï

í

ì

=

2

1

B

B

6

6

•

Metoda elementów sko

Metoda elementów sko

czonych dostarcza

czonych dostarcza

ogólnego schematu post

ogólnego schematu post

powania w celu

powania w celu

konstruowania szukanych funkcji poprzez

konstruowania szukanych funkcji poprzez

przyj

przyj

cie postaci aproksymacyjnej

cie postaci aproksymacyjnej

gdzie N

i

s tzw. funkcjami ksztatu które

okrelone s w ukadzie lokalnym elementu lub
podobszaru, a

i

s natomiast parametrami

wzowymi, w wikszoci nieznanymi.

u

u=

i

=1

n

N

i

a

i

= N a

7

•

na granicach tego obszaru

na granicach tego obszaru

G

G

element

B ( u ) = 0

G

G

e

W

e

x

y

L ( u ) = 0

W

Rozpatrywany obszar

W i granica G

Szukane funkcje mog by funkcjami skalarnymi,
wektorowymi lub przedstawia kilka funkcji.

8

Funkcja wymuszaj ca

Funkcja wymuszaj ca

Funkcja zmiennych stanu

Funkcja zmiennych stanu

W a ciwo ci operatora ró niczkowego

W a ciwo ci operatora ró niczkowego

Symetryczno

Symetryczno

Dodatnia

Dodatnia

okre lono

okre lono

9

Zastosowanie: pr t 1-D

Zastosowanie: pr t 1-D

Równanie ró niczkowe

Równanie ró niczkowe

Geometryczne w.b.

Geometryczne w.b.

Fizyczne w.b.

Fizyczne w.b.

10

Funkcje wagi

Funkcje wagi

Funkcje

Funkcje

próbne

próbne

¹

¹

0

0

11

Funkcje wagi

Funkcje wagi

12

Macierz sztywno ci

Macierz sztywno ci

Wektor wymusze

Wektor wymusze

13

Dobór funkcji wagowych

Dobór funkcji wagowych

•

Metoda kolokacji

Metoda kolokacji

•

Metoda najmniejszych kwadratów

Metoda najmniejszych kwadratów

•

Metoda Galerkina

Metoda Galerkina

14

15

15

Zale no ci podstawowe

Zale no ci podstawowe

T

=

[

XX

YY

ZZ

XY

YZ

ZX

]

T

=

[

XX

YY

ZZ

XY

YZ

ZX

]

U

T

= [ U V W ]

e = C U

s = D (e - e

o

) +

s

o

16

16

Energia, praca

Energia, praca

Energia

Energia

kinetyczna

kinetyczna

Energia

Energia

potencjalna

potencjalna

Praca si

Praca si

zewn trznych

zewn trznych

Ciep o

Ciep o

Dla statycznego stanu

Dla statycznego stanu

adiabatycznego

adiabatycznego

17

17

Liniowa

Liniowa

Nieliniowa

Nieliniowa

18

18

Energia odkszta cenia

Energia odkszta cenia

19

19

Energia odkszta cenia i praca

Energia odkszta cenia i praca

si zewn trznych

si zewn trznych

20

20

Funkcjona energii

Funkcjona energii

potencjalnej

potencjalnej

21

21

22

22

Równanie równowagi

Równanie równowagi

23

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D

: 1-D

Przyk ad

Przyk ad

d

d

( )

( )

2

2

2

1

0

4

9

u

x

u

u

=

=

=

solution

u x

x

( )

(

)

=

- 1

2

1

2

3

4

U

1

=0

2

4

6

8

x

u

U

4

=9

U

3

=?

U

2

=?

24

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D

: 1-D

Przyk ad c.d.

Przyk ad c.d.

1.

1.

Metoda residuów wa onych

Metoda residuów wa onych

(

(

sformu owanie „s abe”

sformu owanie „s abe”

)

)

0

x

d

)

(

=

ò

×

-

R

w

f

Lu

2.

2.

Ca kowanie przez cz

ci

Ca kowanie przez cz

ci

(Green-Gauss

(Green-Gauss

wzór

wzór

)

)

0

x

d

2

4

1

2

2

=

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

- w

w

dx

u

d

0

x

d

2

4

1

4

1

=

úû

ù

êë

é

+

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

w

dx

du

w

dx

dw

dx

du

25

3. Dyskretyzacja

•

4 globalne parametry w z owe U

1

, U

2

, U

3

, U

4

•

3 liniowe elementy ka dy o 2 parametrach u

1

, u

2

.

•

S siaduj ce elementy wspó dziel globalne

parametry, e.g., globalny parametr U

2

jest

parametrem u

2

elementu 1 i u

1

elementu 2.

•

Dwie (liniowe) funkcje kszta tu dla ka dego elementu,

N

i

(x), i = 1, 2

•

Aproksymacja u w elemencie w postaci:

u(x) = u

1

N

1

+ u

2

N

2

= u

i

N

i

i=1,2

Galerkin M

Galerkin M

ES

ES

: 1-D

: 1-D

Przyk ad c.d.

Przyk ad c.d.

26

0

0.5

1

0

0.5

1

x

f

2

f

1

Funkcje kszta tu

ł

27

Globalne funkcje kszta tu

Globalne funkcje kszta tu

28

4. Równania Galerkina dla ka dego elementu

[ ]

0

x

d

2

x

d

2

x

d

2

4

1

4

3

3

2

2

1

=

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

ò

ò

ò

w

dx

du

w

dx

dw

dx

du

w

dx

dw

dx

du

w

dx

dw

dx

du

Dla ka dego elementu

u(x)

º u

1

N

1

+ u

2

N

2

= u

i

N

i

(x)

i

w(x)

º N

i

(x)

29

(

)

i

j

j

ij

2

1

2

1

2

2

1

1

f

u

k

d

2

d

d

d

d

d

d

d

=

å

Þ

ò

=

ò

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

x

x

x

x

u

x

u

i

i

j

j

j

j

4. Równania Galerkina dla ka dego elementu

(… c.d.)

Element 1 :

[k] = [(k

ij

)] macierz sztywno ci elementu

f = (f

i

) wektor obci

e w z owych

30

x

x

x

x

d

2

f

k

d

k

i

i

ji

ij

j

i

ò

=

=

ò

¶

¶

¶

¶

-

=

j

j

j

[k]u = f

gdzie [k] i wektor, f

5. Macierz sztywno ci elementu

1

2

:

1

Element

2

1

-

=

-

=

x

x

j

j

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

Þ

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

ò

1

1

1

1

d

1

1

1

1

)

1

ele

(

2

1

2

1

)

1

ele

(

[k]

[k]

x

x

x

x

x

31

x

d

2

f

i

i

ò

=

j

5. Obci

enia w z owe

1

2

:

1

Element

2

1

-

=

-

=

x

x

j

j

ú

û

ù

ê

ë

é

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

-

-

-

-

=

Þ

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

-

-

=

ú

û

ù

ê

ë

é

ò

1

1

)

2

1

(

)

4

4

(

)

1

4

(

)

4

8

(

2

4

d

2

2

2

4

)

1

ele

(

2

2

2

1

2

1

)

1

ele

(

f

f

x

x

x

x

x

x

x

W rozpatrywanym zadaniu :

[k]

(ele 1)

= [k]

(ele 2)

= [k]

(ele 3)

i:

f

(ele 1)

= f

(ele 2)

= f

(ele 3)

32

6. Agregacja globalnej macierzy sztywno ci i wektora

obci

e

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

-

-

=

1

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

[K]

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

+

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

+

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

F

33

7. Uwzgl dnienie warunków brzegowych

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

=

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ë

é

-

-

-

=

1

2

2

1

1

1

0

0

1

2

1

0

0

1

2

1

0

0

1

1

4

3

2

1

U

U

U

U

F

[K]U

u

U

u

U

( )

( )

1

0

4

9

1

4

=

=

=

=

Pozostaj równania

2 i 3

2

9

2

2

2

0

3

2

3

2

=

+

-

=

+

-

U

U

U

U

34

8. Rozwi zanie uk adu równa

(po

uwzgl dnieniu warunków brzegowych

)

4

1

2

9

2

2

2

0

3

2

3

2

3

2

=

=

Þ

=

+

-

=

+

-

U

U

U

U

U

U

Dok adne

Dok adne

!

!

35

R

R

ównowag

ównowag

a

a

elementu

elementu

Dla opisu stanu równowagi elementu przyjmuje

Dla opisu stanu równowagi elementu przyjmuje

si

si

sko

sko

czon

czon

liczb

liczb

parametrów, mimo

parametrów, mimo

e w

e w

przypadku elementu wyci

przypadku elementu wyci

tego z kontinuum

tego z kontinuum

parametrów jest niesko

parametrów jest niesko

czenie wiele. Dlatego te

czenie wiele. Dlatego te

metoda elementów sko

metoda elementów sko

czonych jest metod

czonych jest metod

przybli

przybli

on

on

, aproksymacyjn

, aproksymacyjn

. Powstaje pytanie,

. Powstaje pytanie,

czy dok

czy dok

adno

adno

metody jest dostateczna, i od

metody jest dostateczna, i od

czego ona zale

czego ona zale

y?

y?

36

D

D

ok

ok

adno

adno

metody

metody

•

za

za

o

o

one funkcje dok

one funkcje dok

adniej opisuj

adniej opisuj

rzeczywisty rozk

rzeczywisty rozk

ad pola elementu

ad pola elementu

•

podzia

podzia

na elementy jest bardziej g

na elementy jest bardziej g

sty

sty

Ogólnie mo

Ogólnie mo

na powiedzie

na powiedzie

,

,

e dok

e dok

adno

adno

metody jest tym wi

metody jest tym wi

ksza im:

ksza im:

37

Spe

Spe

nienie tylko drugiego warunku nie jest

nienie tylko drugiego warunku nie jest

wystarczaj

wystarczaj

ce do uzyskania poprawnych

ce do uzyskania poprawnych

wyników. Kluczowy jest dobór funkcji

wyników. Kluczowy jest dobór funkcji

interpolacyjnych opisuj

interpolacyjnych opisuj

cych stan

cych stan

odkszta

odkszta

cenia elementu w zale

cenia elementu w zale

no

no

ci od

ci od

warto

warto

ci przemieszcze

ci przemieszcze

w

w

z

z

owych.

owych.

Funkcje te okre

Funkcje te okre

la si

la si

w MESie mianem

w MESie mianem

funkcji kszta

funkcji kszta

tu

tu

38

F

F

unkcje kszta

unkcje kszta

tu

tu

1.

1.

funkcje opisuj

funkcje opisuj

ce pole funkcji

ce pole funkcji

rozwi

rozwi

zuj

zuj

cej powinny gwarantowa

cej powinny gwarantowa

ich

ich

ci

ci

g

g

o

o

wewn

wewn

trz elementu oraz

trz elementu oraz

zgodno

zgodno

(do rz

(do rz

du o jeden rz

du o jeden rz

d

d

mniejszy ni

mniejszy ni

rz

rz

d najwy

d najwy

szej pochodnej

szej pochodnej

wyst

wyst

puj

puj

cej w równaniu ca

cej w równaniu ca

kowym) na

kowym) na

granicy podzia

granicy podzia

u - w elementach

u - w elementach

s

s

siednich

siednich

Przyjmujc funkcje ksztatu naley dy do
spenienia nastpujcych warunków:

39

2.

2.

funkcje musz

funkcje musz

zapewnia

zapewnia

mo

mo

liwo

liwo

realizacji sta

realizacji sta

ej warto

ej warto

ci funkcji

ci funkcji

rozwi

rozwi

zuj

zuj

cej lub jej pochodnych (do

cej lub jej pochodnych (do

rz

rz

du o jeden rz

du o jeden rz

d mniejszy ni

d mniejszy ni

rz

rz

d

d

najwy

najwy

szej pochodnej wyst

szej pochodnej wyst

puj

puj

cej w

cej w

równaniu ca

równaniu ca

kowym) wewn

kowym) wewn

trz

trz

elementu, co uwzgl

elementu, co uwzgl

dnia oczywisty fakt,

dnia oczywisty fakt,

e wraz ze zmniejszaniem si

e wraz ze zmniejszaniem si

wymiarów

wymiarów

elementu, warto

elementu, warto

funkcji rozwi

funkcji rozwi

zuj

zuj

cej

cej

zmierza do pewnej sta

zmierza do pewnej sta

ej warto

ej warto

ci.

ci.

40

F

F

unkcje kszta

unkcje kszta

tu

tu

Spe

Spe

nienie powy

nienie powy

szych warunków zapewnia

szych warunków zapewnia

na ogó

na ogó

monotoniczn

monotoniczn

zbie

zbie

no

no

poszukiwanego rozwi

poszukiwanego rozwi

zania, do rozwi

zania, do rozwi

zania

zania

dok

dok

adnego, w miar

adnego, w miar

zwi

zwi

kszania liczby

kszania liczby

elementów przy jednoczesnym zmniejszaniu

elementów przy jednoczesnym zmniejszaniu

ich obj

ich obj

to

to

ci

ci

W

W

a

a

ciwy dobór funkcji kszta

ciwy dobór funkcji kszta

tu jest

tu jest

zagadnieniem o podstawowym znaczeniu w

zagadnieniem o podstawowym znaczeniu w

analizie elementu.

analizie elementu.

41

Liniowe funkcje kszta tu dla

Liniowe funkcje kszta tu dla

elementu trójk tnego

elementu trójk tnego

42

•

Metoda elementów sko

Metoda elementów sko

czonych dostarcza

czonych dostarcza

ogólnego schematu post

ogólnego schematu post

powania w celu

powania w celu

konstruowania szukanych funkcji poprzez

konstruowania szukanych funkcji poprzez

przyj

przyj

cie postaci aproksymacyjnej

cie postaci aproksymacyjnej

u

u

N a

Na

» =

=

å

i

i

n

1

gdzie N

i

s tzw. funkcjami ksztatu które

okrelone s w ukadzie lokalnym elementu lub
podobszaru, a

i

s natomiast parametrami

wzowymi, w wikszoci nieznanymi.

43

Macierz sztywno ci uk adu

Macierz sztywno ci uk adu

•

K

K

- macierz kwadratowa zwana macierz

- macierz kwadratowa zwana macierz

sztywno

sztywno

ci uk

ci uk

adu,

adu,

•

a

a

- wektor, którego sk

- wektor, którego sk

adowymi s

adowymi s

niewiadome

niewiadome

parametry w

parametry w

z

z

owe

owe

•

r

r

- wektor, którego sk

- wektor, którego sk

adowymi s

adowymi s

obci

obci

enia

enia

w

w

z

z

owe.

owe.

Wymiary

Wymiary

K

K

,

,

a

a

,

,

r

r

zale

zale

od liczby w

od liczby w

z

z

ów w uk

ów w uk

adzie i

adzie i

liczby sk

liczby sk

adowych parametrów w

adowych parametrów w

z

z

owych.

owych.

Ka

r

=