1

Metoda Elementów 

Metoda Elementów 

Sko czonych

Sko czonych

ZAGADNIENIA DYNAMIKI

ZAGADNIENIA DYNAMIKI

 

 

3

Równanie ruchu dla 

Równanie ruchu dla 

zagadnienia dynamicznego

zagadnienia dynamicznego

M ¨q+C 
q+K q=0

gdzie:

M

macierz bezw adno ci



o wymiarze n

×n ,

C

macierz t umienia

o wymiarze n

×n ,

K

macierz sztywno ci



o wymiarze n

×n ,

q

wektor uogólnionych przemieszczen×1,

Q

wektor uogólnionych si
 wymuszaj cych



n×1,

n

liczba stopni swobody dynamicznej.

 

 

4

Podzia  zagadnie  dynamicznych



Podzia  zagadnie  dynamicznych



 

 

5

 

 

6

 

 

7

 

 

8

Zagadnienie w asne -     



Zagadnienie w asne -     



problem matematyczny

problem matematyczny

 

 

9

jest to rozwi zanie liniowego 



jest to rozwi zanie liniowego 



jednorodnego uk adu równa



jednorodnego uk adu równa



postaci:

postaci:

 

 

10

Mamy nietrywialne rozwi zanie, 



Mamy nietrywialne rozwi zanie, 



je eli



je eli



co prowadzi do wielomianowego 

co prowadzi do wielomianowego 

równania N-tego stopnia

równania N-tego stopnia

 

 

11

Je eli macierz A jest dodatnio 



Je eli macierz A jest dodatnio 



okre lona (tzn.: 



okre lona (tzn.: 



x

x

T

T

Ax

Ax

 > 

 > 

0

0

 dla 

 dla 

dowolnego 

dowolnego 

x

x

) to wszystkie 

) to wszystkie 

pierwiastki s  rzeczywiste i 



pierwiastki s  rzeczywiste i 



dodatnie:

dodatnie:

 

 

12

Zagadnienie w asne liniowego uk adu 





Zagadnienie w asne liniowego uk adu 





dynamicznego bez t umienia



dynamicznego bez t umienia



Rozwa amy drgania swobodne uk adu 





Rozwa amy drgania swobodne uk adu 





liniowego bez t umienia: 



liniowego bez t umienia: 



C

C

   

   

0

0

, 

, 

b

b

 

 

 0

 0

 

 

13

Uogólniony problem w asny



Uogólniony problem w asny



 

 

14

 

 

15

Po rozwi zaniu równania



Po rozwi zaniu równania



otrzymujemy

otrzymujemy

 

 

16

Normowanie wektora w asnego



Normowanie wektora w asnego



Wektory w asne otrzymuje si  z dok adno ci  







 

Wektory w asne otrzymuje si  z dok adno ci  







 

do sta ego mno nika. Cz sto dokonuje si  









do sta ego mno nika. Cz sto dokonuje si  









odpowiedniego skalowania:

odpowiedniego skalowania:

 

 

17

 

 

18

 

 

19

Metoda Rayleigha-Ritza

Metoda Rayleigha-Ritza

 

 

20

 

 

21

 

 

22

Do czego s u y analiza 

 

Do czego s u y analiza 

 

zagadnienia w asnego?



zagadnienia w asnego?



1.

Opisuje drgania swobodne konstrukcji.

2.

Problem rezonansu.

3.

Znajomo  form i cz sto ci w asnych pozwala 







na wykonanie analizy modalnej, tzn. 
rozseparowanie zagadnienia wzgl dem tzw. 



wspó rz dnych modalnych.

 

4.

Z widma cz sto ci drga  w asnym mo emy 









wyci gn  szereg wniosków co do zachowania si  







konstrukcji pod wp ywem obci e  o charakterze 



 

harmonicznym.

 

 

23

Zagadnienia dynamiczne 

Zagadnienia dynamiczne 

nieustalone

nieustalone

 

 

24

Ca kowanie numeryczne 



Ca kowanie numeryczne 



„krok po kroku”

„krok po kroku”

 

 

25

Ca kowanie metod  ró nic 







Ca kowanie metod  ró nic 







sko czonych

sko czonych

 

 

26

Metoda Newmarka

Metoda Newmarka

Równanie ruchu w chwili: t +  t



 

 

27

 

 

28

Metoda modalna

Metoda modalna

 

 

29

 

 

30

Macierzowe równanie separuje 

Macierzowe równanie separuje 

si  na N zwyczajnych równa  



si  na N zwyczajnych równa  



ró niczkowych



ró niczkowych