1

Metoda Elementów

Metoda Elementów

Sko czonych

Sko czonych

ZAGADNIENIA DYNAMIKI

ZAGADNIENIA DYNAMIKI

3

Równanie ruchu dla

Równanie ruchu dla

zagadnienia dynamicznego

zagadnienia dynamicznego

M ¨q+C
q+K q=0

gdzie:

M

macierz bezw adno ci



o wymiarze n

×n ,

C

macierz t umienia

o wymiarze n

×n ,

K

macierz sztywno ci



o wymiarze n

×n ,

q

wektor uogólnionych przemieszczen×1,

Q

wektor uogólnionych si
wymuszaj cych



n×1,

n

liczba stopni swobody dynamicznej.

4

Podzia zagadnie dynamicznych



Podzia zagadnie dynamicznych



5

6

7

8

Zagadnienie w asne -



Zagadnienie w asne -



problem matematyczny

problem matematyczny

9

jest to rozwi zanie liniowego



jest to rozwi zanie liniowego



jednorodnego uk adu równa



jednorodnego uk adu równa



postaci:

postaci:

10

Mamy nietrywialne rozwi zanie,



Mamy nietrywialne rozwi zanie,



je eli



je eli



co prowadzi do wielomianowego

co prowadzi do wielomianowego

równania N-tego stopnia

równania N-tego stopnia

11

Je eli macierz A jest dodatnio



Je eli macierz A jest dodatnio



okre lona (tzn.:



okre lona (tzn.:



x

x

T

T

Ax

Ax

>

>

0

0

dla

dla

dowolnego

dowolnego

x

x

) to wszystkie

) to wszystkie

pierwiastki s rzeczywiste i



pierwiastki s rzeczywiste i



dodatnie:

dodatnie:

12

Zagadnienie w asne liniowego uk adu





Zagadnienie w asne liniowego uk adu





dynamicznego bez t umienia



dynamicznego bez t umienia



Rozwa amy drgania swobodne uk adu





Rozwa amy drgania swobodne uk adu





liniowego bez t umienia:



liniowego bez t umienia:



C

C

0

0

,

,

b

b

0

0

13

Uogólniony problem w asny



Uogólniony problem w asny



14

15

Po rozwi zaniu równania



Po rozwi zaniu równania



otrzymujemy

otrzymujemy

16

Normowanie wektora w asnego



Normowanie wektora w asnego



Wektory w asne otrzymuje si z dok adno ci







 

Wektory w asne otrzymuje si z dok adno ci







 

do sta ego mno nika. Cz sto dokonuje si









do sta ego mno nika. Cz sto dokonuje si









odpowiedniego skalowania:

odpowiedniego skalowania:

17

18

19

Metoda Rayleigha-Ritza

Metoda Rayleigha-Ritza

20

21

22

Do czego s u y analiza

 

Do czego s u y analiza

 

zagadnienia w asnego?



zagadnienia w asnego?



1.

Opisuje drgania swobodne konstrukcji.

2.

Problem rezonansu.

3.

Znajomo form i cz sto ci w asnych pozwala







na wykonanie analizy modalnej, tzn.
rozseparowanie zagadnienia wzgl dem tzw.



wspó rz dnych modalnych.

 

4.

Z widma cz sto ci drga w asnym mo emy









wyci gn szereg wniosków co do zachowania si







konstrukcji pod wp ywem obci e o charakterze



 

harmonicznym.

23

Zagadnienia dynamiczne

Zagadnienia dynamiczne

nieustalone

nieustalone

24

Ca kowanie numeryczne



Ca kowanie numeryczne



„krok po kroku”

„krok po kroku”

25

Ca kowanie metod ró nic







Ca kowanie metod ró nic







sko czonych

sko czonych

26

Metoda Newmarka

Metoda Newmarka

Równanie ruchu w chwili: t + t



27

28

Metoda modalna

Metoda modalna

29

30

Macierzowe równanie separuje

Macierzowe równanie separuje

si na N zwyczajnych równa



si na N zwyczajnych równa



ró niczkowych



ró niczkowych