1

Metoda Elementów

Metoda Elementów

Sko czonych

Sko czonych

Podstawy teorii

Podstawy teorii

nieliniowej

nieliniowej

Leonard Ziemia ski

Leonard Ziemia ski

Katedra Mechaniki Konstrukcji

Katedra Mechaniki Konstrukcji

2

2

Mechanika

Mechanika

Mechanika

Mechanika

Teoretyczna

Teoretyczna

Stosowana

Stosowana

Obliczeniowa

Obliczeniowa

3

3

Zale no ci w mechanice cia







Zale no ci w mechanice cia







spr ystych



spr ystych



Zadane

Zadane

Przemieszczenia

Przemieszczenia

Przemieszczenia

Przemieszczenia

Odkszta cenia



Odkszta cenia



Napr enia



Napr enia



Obci enia



Obci enia



Zadane

Zadane

Reakcje

Reakcje

Równania

Równania

kinematyczne

kinematyczne

Równania

Równania

konstytutywe

konstytutywe

Równania

Równania

równowagi

równowagi

Warunki

Warunki

brzegowe

brzegowe

Warunki

Warunki

brzegowe

brzegowe

Teoria

Teoria

spr ysto ci





spr ysto ci





Teoria

Teoria

spr ysto ci





spr ysto ci





4

4

Równania w mechanice cia



Równania w mechanice cia



spr ystych



spr ystych



q

q

u

u

ε

ε

σ

σ

f

f

r

r

=

=

∂

∂

u

u

D

D

T

T





+ f = 0

+ f = 0





n

n

= 0

= 0

u = q

u = q





= D

= D

e

e

5

5

ród a nieliniowo ci







ród a nieliniowo ci







q

q

u

u

ε

ε

σ

σ

f

f

r

r

nieliniowo



nieliniowo



materia owa



materia owa



nieliniowo



nieliniowo



geometryczna

geometryczna

nieliniowe

nieliniowe

przemieszczeniowe

przemieszczeniowe

warunki brzegowe

warunki brzegowe

nieliniowe obci eniowe



nieliniowe obci eniowe



warunki brzegowe

warunki brzegowe

6

6

Cechy nieliniowej analizy

Cechy nieliniowej analizy

Zasada superpozycji nie obowi zuje



Zasada superpozycji nie obowi zuje



Historia obci enia wp ywa na odpowied





Historia obci enia wp ywa na odpowied





Wp yw stanu pocz tkowego konstrukcji





Wp yw stanu pocz tkowego konstrukcji





Analiza dla poszczególnych kroków czasowych

Analiza dla poszczególnych kroków czasowych

7

7

Typy nieliniowo ci



Typy nieliniowo ci



G adkie



G adkie



Ostre

Ostre

Nieliniowo geometryczna



Nieliniowo geometryczna



Nieliniowo materia owa





Nieliniowo materia owa





Obci enie ledz ce







Obci enie ledz ce







Wi zy jednostronne



Wi zy jednostronne



8

8

Zale no ci mi dzy wielko ciami









Zale no ci mi dzy wielko ciami









statycznymi i geometrycznymi

statycznymi i geometrycznymi

q

Q

k

Q = k q

1



E



= E

1

Q

q

9

9

Nieliniowe zale no ci





Nieliniowe zale no ci





q

Q

k

t

Q = k q

1

ε

σ

E

t

σ = E ε

1

10

10

Zele no





Zele no





σ−ε

σ−ε

Liniowa

Liniowa

Nieliniowa

Nieliniowa

Teoria

Teoria

spr ysto ci





spr ysto ci





σ

σ

= D

= D

ε

ε

11

11

Klasyfikacja

Klasyfikacja

problemów

problemów

nieliniowych

nieliniowych

12

12

Grupa 1

Grupa 1

Nieliniowo w



Nieliniowo w



równaniach konstytutywnych

równaniach konstytutywnych

Przemieszczenie

Przemieszczenie

Odkszta cenie



Odkszta cenie



ma e

ł

ma e

ł

13

13

Przemieszczenia ma e,



Przemieszczenia ma e,



odkszta cenia ma e





odkszta cenia ma e





x

1

x

2

u

1

u

2

σ,ε

E

t

σ = E ε

1

14

14

Grupa 2

Grupa 2

Nieliniowo w równaniach kinematycznych,



Nieliniowo w równaniach kinematycznych,



równania konstytutywne mog by ;





równania konstytutywne mog by ;





liniowe lub nieliniowe

liniowe lub nieliniowe

Przemieszczenie

Przemieszczenie

Odkszta cenie



Odkszta cenie



du e

ż

ma e

ł

15

15

x’

1

x’

2

u

1

u

2

σ,ε

ε

σ

E

σ = E ε

1



E

t

σ = E ε

1

16

16

Zwiazki fizyczne z uwzgl dnieniem



Zwiazki fizyczne z uwzgl dnieniem



cz ci nieliniowej



cz ci nieliniowej



Teoria

Teoria

spr ysto ci





spr ysto ci





21

21

Grupa 3

Grupa 3

Nieliniowo w równaniach kinematycznych,



Nieliniowo w równaniach kinematycznych,



równania konstytutywne mog by liniowe,





równania konstytutywne mog by liniowe,





ale zwykle s nieliniowe



ale zwykle s nieliniowe



Przemieszczenie

Przemieszczenie

Odkszta cenie



Odkszta cenie



du e

ż

du e

ż

22

22

x’

1

x’

2

u

1

u

2

σ,ε

ε

σ

E

t

σ = E ε

1

23

23

Zagadnienia tej grupy pojawiaj si np.





Zagadnienia tej grupy pojawiaj si np.





w konstrukcjach z mi kkich materia ów





w konstrukcjach z mi kkich materia ów





gumopochodnych lub w mechanice gruntów

gumopochodnych lub w mechanice gruntów

organicznych (torf).

organicznych (torf).

24

24

Dworzec kolejowy

Dworzec kolejowy

25

25

26

26

27

27

28

28

Sposoby opisu problemów

Sposoby opisu problemów

nieliniowych

nieliniowych

W problemach nieliniowych zmiany po o enia i

 

W problemach nieliniowych zmiany po o enia i

 

kszta tu deformowanego cia a w kolejnych,





kszta tu deformowanego cia a w kolejnych,





dyskretnych chwilach czasowych, wymuszaj



dyskretnych chwilach czasowych, wymuszaj



przyj cie odpowiednich uk adów wspó rz dnych,





 

przyj cie odpowiednich uk adów wspó rz dnych,





 

w których opis ten jest dokonywany.

w których opis ten jest dokonywany.

Stosuje si dwa rodzaje uk adów wspó rz dnych





 

Stosuje si dwa rodzaje uk adów wspó rz dnych





 

-

uk ad nieruchomy; tzw. opis Lagrange’a



uk ad nieruchomy; tzw. opis Lagrange’a



-

uk ad ruchomy; tzw. opis Eulera



uk ad ruchomy; tzw. opis Eulera



37

37

Napr enie-odkszta cenie





Napr enie-odkszta cenie





σ

e

x

=lnλ

ε

P

38

38

Odkszta cenia (miary)



Odkszta cenia (miary)



Tensor odkszta ce “in ynierskich”







P

Tensor odkszta ce Greena (Greena-Lagrangea)





E

Tensor odkszta ce Almansiego





A

Tensor pr dko ci odkszta cenia,







D

Tensor odkszta ce logarytmicznych





e

0

=

l

l

0

l

0

=

1

2

l

2

l

0

2

l

0

2

e

x

=



l

0

l

dl

l

0

= ln



l

l

0



=ln 

x





al

=

1

2

l

2

l

0

2

l

2

39

39

Wymagania przy budowie

Wymagania przy budowie

elementu

elementu

•

Warunek zgodno ci:



Warunek zgodno ci:



a) ci g o pola przemieszcze

  

a) ci g o pola przemieszcze

  

•

Warunki zupe no ci:





Warunki zupe no ci:





a) opis w elemencie pola sta ych



a) opis w elemencie pola sta ych



przemieszcze

przemieszcze

b) brak odkszta ce przy sztywnych



b) brak odkszta ce przy sztywnych



ruchach elementu

ruchach elementu

40

40

MODELE KONSTYTUTYWNE

MODELE KONSTYTUTYWNE

45

45

P tla histerezy



P tla histerezy



46

46

O rodki spr ysto-plastyczne





O rodki spr ysto-plastyczne





p

p

p

p

pl

pl

E

B

C

A

D

F

47

47

Materia spr ysto-idealnie





Materia spr ysto-idealnie





plastyczny

plastyczny

p

p

p

p

pl

pl

E

B

C

A

D

F

48

48

Efekty w o rodkach spr ysto-





Efekty w o rodkach spr ysto-





plastycznych

plastycznych

1.

1.

O rodek idealnie spr

ysty poni ej granicy plastyczno ci





O rodek idealnie spr

ysty poni ej granicy plastyczno ci





2.

2.

Granica plastyczno ci jest funkcj stanu napr

enia oraz





Granica plastyczno ci jest funkcj stanu napr

enia oraz





innych parametrów termodynamicznych

innych parametrów termodynamicznych

3.

3.

W modelach S-P nie wyst puj efekty reologiczne





W modelach S-P nie wyst puj efekty reologiczne





4.

4.

Inne s PK dla obszaru spr

ystego i plastycznego





Inne s PK dla obszaru spr

ystego i plastycznego





5.

5.

Wyst puje



Wyst puje



wzmocnienie

wzmocnienie

– wzrost granicy plastyczno ci

– wzrost granicy plastyczno ci

6.

6.

Nale y uwzgl dnia efekty termiczne







Nale y uwzgl dnia efekty termiczne







7.

7.

Materia y S-P s





Materia y S-P s





nie ci liwe

nie ci liwe

8.

8.

Odkszta cenia ca kowite = suma odkszta ce spr

ystych











Odkszta cenia ca kowite = suma odkszta ce spr

ystych











i plastycznych

i plastycznych

53

53

Powierzchnie plastyczno ci



Powierzchnie plastyczno ci



54

54

cie ki równowagi



cie ki równowagi



55

55

56

56

57

57

58

58

59

59

60

60

61

61

Metody rozwi zywania



Metody rozwi zywania



równa nieliniowych

równa nieliniowych

Dla nieliniowych

Dla nieliniowych

62

62

Obliczenia przyrostowe

Obliczenia przyrostowe

63

63

Metoda Newtona-Raphsona

Metoda Newtona-Raphsona

64

64

65

65

Zmodyfikowana metoda

Zmodyfikowana metoda

Newtona-Raphsona

Newtona-Raphsona

66

66

67

67

68

68

69

69

Metoda Quasi-Newton

Metoda Quasi-Newton

70

70

71

71

72

72