1

Metoda Elementów

Metoda Elementów

Sko czonych

Sko czonych

Podstawy teorii

Podstawy teorii

nieliniowej

nieliniowej

Leonard Ziemia ski

Leonard Ziemia ski

Katedra Mechaniki Konstrukcji

Katedra Mechaniki Konstrukcji

2

2

Mechanika

Mechanika

Mechanika

Mechanika

Teoretyczna

Teoretyczna

Stosowana

Stosowana

Obliczeniowa

Obliczeniowa

3

3

Zale no ci w mechanice cia

Zale no ci w mechanice cia

spr ystych

spr ystych

Zadane

Zadane

Przemieszczenia

Przemieszczenia

Przemieszczenia

Przemieszczenia

Odkszta cenia

Odkszta cenia

Napr enia

Napr enia

Obci enia

Obci enia

Zadane

Zadane

Reakcje

Reakcje

Równania

Równania

kinematyczne

kinematyczne

Równania

Równania

konstytutywe

konstytutywe

Równania

Równania

równowagi

równowagi

Warunki

Warunki

brzegowe

brzegowe

Warunki

Warunki

brzegowe

brzegowe

Teoria

Teoria

spr ysto ci

spr ysto ci

Teoria

Teoria

spr ysto ci

spr ysto ci

4

4

Równania w mechanice cia

Równania w mechanice cia

spr ystych

spr ystych

q

q

u

u

ε

ε

σ

σ

f

f

r

r

=

=

∂

∂

u

u

D

D

T

T

+ f = 0

+ f = 0

n

n

= 0

= 0

u = q

u = q

= D

= D

e

e

5

5

ród a nieliniowo ci

ród a nieliniowo ci

q

q

u

u

ε

ε

σ

σ

f

f

r

r

nieliniowo

nieliniowo

materia owa

materia owa

nieliniowo

nieliniowo

geometryczna

geometryczna

nieliniowe

nieliniowe

przemieszczeniowe

przemieszczeniowe

warunki brzegowe

warunki brzegowe

nieliniowe obci eniowe

nieliniowe obci eniowe

warunki brzegowe

warunki brzegowe

6

6

Cechy nieliniowej analizy

Cechy nieliniowej analizy

Zasada superpozycji nie obowi zuje

Zasada superpozycji nie obowi zuje

Historia obci enia wp ywa na odpowied

Historia obci enia wp ywa na odpowied

Wp yw stanu pocz tkowego konstrukcji

Wp yw stanu pocz tkowego konstrukcji

Analiza dla poszczególnych kroków czasowych

Analiza dla poszczególnych kroków czasowych

7

7

Typy nieliniowo ci

Typy nieliniowo ci

G adkie

G adkie

Ostre

Ostre

Nieliniowo geometryczna

Nieliniowo geometryczna

Nieliniowo materia owa

Nieliniowo materia owa

Obci enie ledz ce

Obci enie ledz ce

Wi zy jednostronne

Wi zy jednostronne

8

8

Zale no ci mi dzy wielko ciami

Zale no ci mi dzy wielko ciami

statycznymi i geometrycznymi

statycznymi i geometrycznymi

q

Q

k

Q = k q

1

E

= E

1

Q

q

9

9

Nieliniowe zale no ci

Nieliniowe zale no ci

q

Q

k

t

Q = k q

1

ε

σ

E

t

σ = E ε

1

10

10

Zele no

Zele no

σ−ε

σ−ε

Liniowa

Liniowa

Nieliniowa

Nieliniowa

Teoria

Teoria

spr ysto ci

spr ysto ci

σ

σ

= D

= D

ε

ε

11

11

Klasyfikacja

Klasyfikacja

problemów

problemów

nieliniowych

nieliniowych

12

12

Grupa 1

Grupa 1

Nieliniowo w

Nieliniowo w

równaniach konstytutywnych

równaniach konstytutywnych

Przemieszczenie

Przemieszczenie

Odkszta cenie

Odkszta cenie

ma e

ł

ma e

ł

13

13

Przemieszczenia ma e,

Przemieszczenia ma e,

odkszta cenia ma e

odkszta cenia ma e

x

1

x

2

u

1

u

2

σ,ε

E

t

σ = E ε

1

14

14

Grupa 2

Grupa 2

Nieliniowo w równaniach kinematycznych,

Nieliniowo w równaniach kinematycznych,

równania konstytutywne mog by ;

równania konstytutywne mog by ;

liniowe lub nieliniowe

liniowe lub nieliniowe

Przemieszczenie

Przemieszczenie

Odkszta cenie

Odkszta cenie

du e

ż

ma e

ł

15

15

x’

1

x’

2

u

1

u

2

σ,ε

ε

σ

E

σ = E ε

1

E

t

σ = E ε

1

16

16

Zwiazki fizyczne z uwzgl dnieniem

Zwiazki fizyczne z uwzgl dnieniem

cz ci nieliniowej

cz ci nieliniowej

Teoria

Teoria

spr ysto ci

spr ysto ci

21

21

Grupa 3

Grupa 3

Nieliniowo w równaniach kinematycznych,

Nieliniowo w równaniach kinematycznych,

równania konstytutywne mog by liniowe,

równania konstytutywne mog by liniowe,

ale zwykle s nieliniowe

ale zwykle s nieliniowe

Przemieszczenie

Przemieszczenie

Odkszta cenie

Odkszta cenie

du e

ż

du e

ż

22

22

x’

1

x’

2

u

1

u

2

σ,ε

ε

σ

E

t

σ = E ε

1

23

23

Zagadnienia tej grupy pojawiaj si np.

Zagadnienia tej grupy pojawiaj si np.

w konstrukcjach z mi kkich materia ów

w konstrukcjach z mi kkich materia ów

gumopochodnych lub w mechanice gruntów

gumopochodnych lub w mechanice gruntów

organicznych (torf).

organicznych (torf).

24

24

Dworzec kolejowy

Dworzec kolejowy

25

25

26

26

27

27

28

28

Sposoby opisu problemów

Sposoby opisu problemów

nieliniowych

nieliniowych

W problemach nieliniowych zmiany po o enia i

W problemach nieliniowych zmiany po o enia i

kszta tu deformowanego cia a w kolejnych,

kszta tu deformowanego cia a w kolejnych,

dyskretnych chwilach czasowych, wymuszaj

dyskretnych chwilach czasowych, wymuszaj

przyj cie odpowiednich uk adów wspó rz dnych,

przyj cie odpowiednich uk adów wspó rz dnych,

w których opis ten jest dokonywany.

w których opis ten jest dokonywany.

Stosuje si dwa rodzaje uk adów wspó rz dnych

Stosuje si dwa rodzaje uk adów wspó rz dnych

-

uk ad nieruchomy; tzw. opis Lagrange’a

uk ad nieruchomy; tzw. opis Lagrange’a

-

uk ad ruchomy; tzw. opis Eulera

uk ad ruchomy; tzw. opis Eulera

37

37

Napr enie-odkszta cenie

Napr enie-odkszta cenie

σ

e

x

=lnλ

ε

P

38

38

Odkszta cenia (miary)

Odkszta cenia (miary)

Tensor odkszta ce “in ynierskich”

P

Tensor odkszta ce Greena (Greena-Lagrangea)

E

Tensor odkszta ce Almansiego

A

Tensor pr dko ci odkszta cenia,

D

Tensor odkszta ce logarytmicznych

e

0

=

l

l

0

l

0

=

1

2

l

2

l

0

2

l

0

2

e

x

=

l

0

l

dl

l

0

= ln

l

l

0

=ln

x

al

=

1

2

l

2

l

0

2

l

2

39

39

Wymagania przy budowie

Wymagania przy budowie

elementu

elementu

•

Warunek zgodno ci:

Warunek zgodno ci:

a) ci g o pola przemieszcze

a) ci g o pola przemieszcze

•

Warunki zupe no ci:

Warunki zupe no ci:

a) opis w elemencie pola sta ych

a) opis w elemencie pola sta ych

przemieszcze

przemieszcze

b) brak odkszta ce przy sztywnych

b) brak odkszta ce przy sztywnych

ruchach elementu

ruchach elementu

40

40

MODELE KONSTYTUTYWNE

MODELE KONSTYTUTYWNE

45

45

P tla histerezy

P tla histerezy

46

46

O rodki spr ysto-plastyczne

O rodki spr ysto-plastyczne

p

p

p

p

pl

pl

E

B

C

A

D

F

47

47

Materia spr ysto-idealnie

Materia spr ysto-idealnie

plastyczny

plastyczny

p

p

p

p

pl

pl

E

B

C

A

D

F

48

48

Efekty w o rodkach spr ysto-

Efekty w o rodkach spr ysto-

plastycznych

plastycznych

1.

1.

O rodek idealnie spr

ysty poni ej granicy plastyczno ci

O rodek idealnie spr

ysty poni ej granicy plastyczno ci

2.

2.

Granica plastyczno ci jest funkcj stanu napr

enia oraz

Granica plastyczno ci jest funkcj stanu napr

enia oraz

innych parametrów termodynamicznych

innych parametrów termodynamicznych

3.

3.

W modelach S-P nie wyst puj efekty reologiczne

W modelach S-P nie wyst puj efekty reologiczne

4.

4.

Inne s PK dla obszaru spr

ystego i plastycznego

Inne s PK dla obszaru spr

ystego i plastycznego

5.

5.

Wyst puje

Wyst puje

wzmocnienie

wzmocnienie

– wzrost granicy plastyczno ci

– wzrost granicy plastyczno ci

6.

6.

Nale y uwzgl dnia efekty termiczne

Nale y uwzgl dnia efekty termiczne

7.

7.

Materia y S-P s

Materia y S-P s

nie ci liwe

nie ci liwe

8.

8.

Odkszta cenia ca kowite = suma odkszta ce spr

ystych

Odkszta cenia ca kowite = suma odkszta ce spr

ystych

i plastycznych

i plastycznych

53

53

Powierzchnie plastyczno ci

Powierzchnie plastyczno ci

54

54

cie ki równowagi

cie ki równowagi

55

55

56

56

57

57

58

58

59

59

60

60

61

61

Metody rozwi zywania

Metody rozwi zywania

równa nieliniowych

równa nieliniowych

Dla nieliniowych

Dla nieliniowych

62

62

Obliczenia przyrostowe

Obliczenia przyrostowe

63

63

Metoda Newtona-Raphsona

Metoda Newtona-Raphsona

64

64

65

65

Zmodyfikowana metoda

Zmodyfikowana metoda

Newtona-Raphsona

Newtona-Raphsona

66

66

67

67

68

68

69

69

Metoda Quasi-Newton

Metoda Quasi-Newton

70

70

71

71

72

72