Modelowanie systemów - 

wiedza eksperymentalna 

(identyfikacja systemów)

Marcin 
Bogusiak
Paweł 
Pilewski

Plan wykładu

• Co to jest identyfikacja systemu?
• Wiedza eksperymentalna.
• Określenie klasy modelu.
• Określenie parametrów modelu.
• Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę 

eksperymentalną.

• Wskaźnik jakości.
• Przykład praktyczny.
• Przykład wyznaczenia modelu obiektu.
• Algorytm identyfikacji - przykład.
• Główne problemy, które możemy napotkać.

2

Co to jest identyfikacja 
systemu?

•  Identyfikacja  systemu  -  to  wyznaczanie 
modelu 

matematycznego  systemu  na 

podstawie 

wiedzy  o  jego  zachowaniu 

(wiedza 

eksperta, 

wiedza 

eksperymentalna)

3

Wiedza eksperymentalna

•  Wiedza  eksperymentalna  -  wiedza  o 
obiekcie  (systemie) uzyskana na podstawie 
szeregu 

przeprowadzonych  obserwacji  i 

pomiarów.

4

Określenie klasy modelu

• Wyniki szeregu przeprowadzonych 

eksperymentów
 dają możliwość określenia klasy modelu.           
 Na poniższych wykresach prezentowane są 
 przykładowe klasy wielomianowe.

5

Określenie parametru modelu

• Załóżmy, że wybraliśy klasę modeli 

liniowych,        zatem szukamy parametru "α"

• Parametr ten wyznaczamy w oparciu o 

wiedzę        eksperymentalną

6

Określenie parametru modelu - 
cd

• 

Typowy    oparty jest o metodę najmniejszych

 kwadratów.

• Jest to jedna z metod pozwalających wyznaczyć  

          parametry modelu, gwarantująca wynik o 
najmniejszej  sumie kwadratów błędów.

• Przyjmijmy wskaźnik modelu: suma różnic 

kwadratów    odległości prognozowanych i 
obserwowanych wielkości   wyjścia dla 
ustalonych wejść.

7

Określenie parametru modelu - 
cd

• Zatem z rodziny prostych wybieramy tę 

prostą        o parametrze α*, która ma 
najlepszy wskaźnik.

• Który wskaźnik jest najlepszy? 

 - ten o najmniejszej wartości Q

8

Modelowanie systemu w opaciu
o wiedzę eksperymentalną - 
SZUKANE

• Wybór najlepszego modelu w klasie

• Dobór parametru modelu w taki sposób, 

aby
 wskaźnik jakości identyfikacji był najlepszy.

9

Modelowanie systemu w opaciu
o wiedzę eksperymentalną - 
DANE

• Wiedza eksperymentalna

• Klasa modelu, np.

• Wskaźnik jakości identyfikacji

10

Wskaźnik jakości

• Porównywanie wartości rzeczywistych (y

rz

) 

 z prognozowalnymi wartościami z modelu 
(y

m

).

11

Przykład praktyczny - model 
czasowy

• Wyznaczenie modelu czasowego dla układu 

równoległych realizatorów wykonujących 
określone zadania

12

Przykład praktyczny - model 
kosztowy

• Wyznaczenie modelu kosztowego dla układu 

równoległych realizatorów wykonujących 
określone zadania

13

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Dane: wyniki z przeprowadzonego 

eksperymentu,       klasa modelu i wskaźnik 
jakości (kryterium).

14

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Na początku rozważmy trzy możliwe 

parametry.

15

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Otrzymane dla modelu y=1u wyniki 

zapisujemy           w tabeli.

16

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Dla modelu y=2u

17

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Dla modelu y=1,5u

18

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Wniosek jest taki, że z trzech modeli

  

 najlepszy okazał się model

• Jednak jest on najlepszy tylko z trzech

  rozpatrywanych, a jak wyznaczyć najlepszy 
model   dla całej dziedziny  ?

• Idea:

 - Za pomocą algorytmu identyfikacji.

19

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Dla klasy modeli SISO, liniowych względem

 parametrów.

• Dane:

20

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm 

identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm 

identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm 

identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm 

identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm 

identyfikacji.

22

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm 

identyfikacji.

22

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Algorytm identyfikacji /SISO, L.w.P/ dla klasy 

modeli liniowych względem parametrów.

• Szczególny przypadek dla           , czyli modeli 

liniowych względem parametru i względem 
wejścia.

23

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Zastosujemy Algorytm Identyfikacji (2) w 

naszym     przykładzie:

• Zatem najlepszy model dla badanego 

przykładu to:

24

Przykład wyznaczenia modelu 
obiektu

• Sprawdzamy jaki jest wskaźnik jakości dla

 najlepszego modelu y=1,35u, aby upewnić 
się, że     jest on lepszy od tych wyliczanych 
poprzednio.

25

Czy to już jest rozwiązanie 
optymalne?

• Uzyskany model y=1,35u jest najlepszy, ale dla 

danej serii pomiarowej i danej klasy modeli.

• Zazwyczaj uwzględnienie dodatkowych 

pomiarów poprzez dostarczenie dodatkowych 
informacji o obiekcie umożliwi uzyskanie modelu 
"lepszego".

•A co z innymi klasami modeli, może dla nich 

uzyskamy "lepszy" model?
 

26

Czy to już jest rozwiązanie 
optymalne?

• Badamy zatem klasę y=αu

2

 dla tych samych 

danych        i stosując Algorytm Identyfikacji (1) 
wyznaczmy optymalny  parametr.

27

Wyznaczenie wskaźnika dla 
drugiej badanej klasy modeli

• Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego 

modelu       w tej klasie (y=0,35u

2

).

• Porównjąc wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego 

modelu "liniowego" oraz wartość Q(α*)=11 dla 
najlepszego modelu "kwadratowego" 
stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy.

28

Rozważamy kolejną klasę modeli

• Badamy klasę 

      i wyznaczmy 

optymalny
 parametr 

• Następnym krokiem tak, jak w przypadku

 poprzednich klas jest sprawdzenie wskaźnika
 jakości.

29

Wyznaczenie wskaźnika dla 
trzeciej badanej klasy modeli

• 

Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego

 modelu w tej klasie (          ).

• Porównując otrzymaną warość Q(α*)=6 oraz 

wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu 
"liniowego" stwierdzamy, że model liniowy jest 
lepszy.

30

Prognozowanie liczby ludności - 
Matlab

• Środowisko Matlab oferuje wiele gotowych 

pakietów służących do modelowania obiektów 
rzeczywistych

• Na podstawie danych z lat 1990-2000, 

dotyczących liczby ludności, Matlab tworzy 
model i prognozuje wskaźnik demograficzny w 
kolejnych latach

31

Prognozowanie liczby ludności - 
Matlab

• W tym celu Matlab dokonuje aproksymacji 

danych wejściowych wielomianem

• Stopień wielomianu można zmieniać, aby 

aproksymacja najlepiej odzwierciedlała dane 
wejściowe

• Przykładowo chcemy, otrzymać przewidywaną 

liczbę ludności w 2010r.

32

Prognozowanie liczby ludności - 
Matlab

• Wynik  można  zilustrować  na  wykresie.  Model 

podaje    312691400  jako  przewidywaną  liczbę 
ludności USA w roku 2010

33

Dekompozycja modelu MIMO na 
MISO

• Układ wielowyjściowy można potraktować jako 

równoległe połączenia n obiektów 
jednowyjściowych

34

Dekompozycja modelu MIMO na 
MISO

• Dzięki takiej dekompozycji możemy kolejno 

identyfikować poszczególne obiekty 
jednowyjściowe

• W każdym pojedynczym zadaniu identyfikacji 

może być wykorzystana ta sama seria 
pomiarowa (jeśli tylko spełnia ona wspólny dla 
wszystkich zadań warunek identyfikalności)

35

Główne problemy, które możemy 
napotkać

• 

Ważne jest prawidłowe określenie klasy modelu,  

            poprzez wykorzystanie dostępnej wiedzy 
eksperta 
 i empirycznej.

• Trudne wyznaczenie parametru dla 

"skomplikowanych"     (np. niewielomianowych) 
klas modeli.

• Właściwy dobór wskaźnika jakości, który służy 

głównie     do interpretacji uzyskanego wyniku.

• Dobór odpowiedniej liczby pomiarów oraz 

odpowiedni plan eksperymentu (miernictwo).

36

Trudniejsze zagadnienia dla 
bardziej dociekliwych

• 

Modele liniowe względem parametrów 

 (m parametrów).

• Modele - ważony wskaźnik jakości, a w 

konsekwencji     algorytm identyfikacji z 
uwzględnieniem wag.

• Planowanie aktywnych eksperymentów 

spełniających     warunek identyfikowalności.

37

Podsumowanie

• Pojęcia identyfikacja systemów i wiedza

 eksperymentalna.

• Określenie klasy modelu.

• Określenie parametru modelu.

• Algorytm identyfikacji.

• Przykład przebiegu procesu identyfikacji.

38

Literatura

• 

Leszek Koszałka, Marek Kurzyński "Zbiór zadań i 

problemów     z teorii identyfikacji, eksperymentu i 
rozpoznawania"  
Wrocław, Politechnika Wrocławska, 1991

• 

Pod red. Ewy Bylińskiej

 "

Identyfikacja procesów" 

Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 1997

• 

Torsten Soderstrom, Petre Stoica "Identyfikacja 

systemów"
Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN,1997

39

Koniec

Dziękujemy za uwagę