Modelowanie systemów -

wiedza eksperymentalna

(identyfikacja systemów)

Marcin
Bogusiak
Paweł
Pilewski

Plan wykładu

• Co to jest identyfikacja systemu?
• Wiedza eksperymentalna.
• Określenie klasy modelu.
• Określenie parametrów modelu.
• Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę

eksperymentalną.

• Wskaźnik jakości.
• Przykład praktyczny.
• Przykład wyznaczenia modelu obiektu.
• Algorytm identyfikacji - przykład.
• Główne problemy, które możemy napotkać.

2

Co to jest identyfikacja
systemu?

• Identyfikacja systemu - to wyznaczanie
modelu

matematycznego systemu na

podstawie

wiedzy o jego zachowaniu

(wiedza

eksperta,

wiedza

eksperymentalna)

3

Wiedza eksperymentalna

• Wiedza eksperymentalna - wiedza o
obiekcie (systemie) uzyskana na podstawie
szeregu

przeprowadzonych obserwacji i

pomiarów.

4

Określenie klasy modelu

• Wyniki szeregu przeprowadzonych

eksperymentów
dają możliwość określenia klasy modelu.
Na poniższych wykresach prezentowane są
przykładowe klasy wielomianowe.

5

Określenie parametru modelu

• Załóżmy, że wybraliśy klasę modeli

liniowych, zatem szukamy parametru "α"

• Parametr ten wyznaczamy w oparciu o

wiedzę eksperymentalną

6

Określenie parametru modelu -
cd

•

Typowy oparty jest o metodę najmniejszych

kwadratów.

• Jest to jedna z metod pozwalających wyznaczyć

parametry modelu, gwarantująca wynik o
najmniejszej sumie kwadratów błędów.

• Przyjmijmy wskaźnik modelu: suma różnic

kwadratów odległości prognozowanych i
obserwowanych wielkości wyjścia dla
ustalonych wejść.

7

Określenie parametru modelu -
cd

• Zatem z rodziny prostych wybieramy tę

prostą o parametrze α*, która ma
najlepszy wskaźnik.

• Który wskaźnik jest najlepszy?

- ten o najmniejszej wartości Q

8

Modelowanie systemu w opaciu
o wiedzę eksperymentalną -
SZUKANE

• Wybór najlepszego modelu w klasie

• Dobór parametru modelu w taki sposób,

aby
wskaźnik jakości identyfikacji był najlepszy.

9

Modelowanie systemu w opaciu
o wiedzę eksperymentalną -
DANE

• Wiedza eksperymentalna

• Klasa modelu, np.

• Wskaźnik jakości identyfikacji

10

Wskaźnik jakości

• Porównywanie wartości rzeczywistych (y

rz

)

z prognozowalnymi wartościami z modelu
(y

m

).

11

Przykład praktyczny - model
czasowy

• Wyznaczenie modelu czasowego dla układu

równoległych realizatorów wykonujących
określone zadania

12

Przykład praktyczny - model
kosztowy

• Wyznaczenie modelu kosztowego dla układu

równoległych realizatorów wykonujących
określone zadania

13

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Dane: wyniki z przeprowadzonego

eksperymentu, klasa modelu i wskaźnik
jakości (kryterium).

14

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Na początku rozważmy trzy możliwe

parametry.

15

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Otrzymane dla modelu y=1u wyniki

zapisujemy w tabeli.

16

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Dla modelu y=2u

17

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Dla modelu y=1,5u

18

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Wniosek jest taki, że z trzech modeli

najlepszy okazał się model

• Jednak jest on najlepszy tylko z trzech

rozpatrywanych, a jak wyznaczyć najlepszy
model dla całej dziedziny ?

• Idea:

- Za pomocą algorytmu identyfikacji.

19

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Dla klasy modeli SISO, liniowych względem

parametrów.

• Dane:

20

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm

identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm

identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm

identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm

identyfikacji.

21

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm

identyfikacji.

22

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Wyprowadzamy wzór na algorytm

identyfikacji.

22

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Algorytm identyfikacji /SISO, L.w.P/ dla klasy

modeli liniowych względem parametrów.

• Szczególny przypadek dla , czyli modeli

liniowych względem parametru i względem
wejścia.

23

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Zastosujemy Algorytm Identyfikacji (2) w

naszym przykładzie:

• Zatem najlepszy model dla badanego

przykładu to:

24

Przykład wyznaczenia modelu
obiektu

• Sprawdzamy jaki jest wskaźnik jakości dla

najlepszego modelu y=1,35u, aby upewnić
się, że jest on lepszy od tych wyliczanych
poprzednio.

25

Czy to już jest rozwiązanie
optymalne?

• Uzyskany model y=1,35u jest najlepszy, ale dla

danej serii pomiarowej i danej klasy modeli.

• Zazwyczaj uwzględnienie dodatkowych

pomiarów poprzez dostarczenie dodatkowych
informacji o obiekcie umożliwi uzyskanie modelu
"lepszego".

•A co z innymi klasami modeli, może dla nich

uzyskamy "lepszy" model?

26

Czy to już jest rozwiązanie
optymalne?

• Badamy zatem klasę y=αu

2

dla tych samych

danych i stosując Algorytm Identyfikacji (1)
wyznaczmy optymalny parametr.

27

Wyznaczenie wskaźnika dla
drugiej badanej klasy modeli

• Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego

modelu w tej klasie (y=0,35u

2

).

• Porównjąc wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego

modelu "liniowego" oraz wartość Q(α*)=11 dla
najlepszego modelu "kwadratowego"
stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy.

28

Rozważamy kolejną klasę modeli

• Badamy klasę

i wyznaczmy

optymalny
parametr

• Następnym krokiem tak, jak w przypadku

poprzednich klas jest sprawdzenie wskaźnika
jakości.

29

Wyznaczenie wskaźnika dla
trzeciej badanej klasy modeli

•

Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego

modelu w tej klasie ( ).

• Porównując otrzymaną warość Q(α*)=6 oraz

wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu
"liniowego" stwierdzamy, że model liniowy jest
lepszy.

30

Prognozowanie liczby ludności -
Matlab

• Środowisko Matlab oferuje wiele gotowych

pakietów służących do modelowania obiektów
rzeczywistych

• Na podstawie danych z lat 1990-2000,

dotyczących liczby ludności, Matlab tworzy
model i prognozuje wskaźnik demograficzny w
kolejnych latach

31

Prognozowanie liczby ludności -
Matlab

• W tym celu Matlab dokonuje aproksymacji

danych wejściowych wielomianem

• Stopień wielomianu można zmieniać, aby

aproksymacja najlepiej odzwierciedlała dane
wejściowe

• Przykładowo chcemy, otrzymać przewidywaną

liczbę ludności w 2010r.

32

Prognozowanie liczby ludności -
Matlab

• Wynik można zilustrować na wykresie. Model

podaje 312691400 jako przewidywaną liczbę
ludności USA w roku 2010

33

Dekompozycja modelu MIMO na
MISO

• Układ wielowyjściowy można potraktować jako

równoległe połączenia n obiektów
jednowyjściowych

34

Dekompozycja modelu MIMO na
MISO

• Dzięki takiej dekompozycji możemy kolejno

identyfikować poszczególne obiekty
jednowyjściowe

• W każdym pojedynczym zadaniu identyfikacji

może być wykorzystana ta sama seria
pomiarowa (jeśli tylko spełnia ona wspólny dla
wszystkich zadań warunek identyfikalności)

35

Główne problemy, które możemy
napotkać

•

Ważne jest prawidłowe określenie klasy modelu,

poprzez wykorzystanie dostępnej wiedzy
eksperta
i empirycznej.

• Trudne wyznaczenie parametru dla

"skomplikowanych" (np. niewielomianowych)
klas modeli.

• Właściwy dobór wskaźnika jakości, który służy

głównie do interpretacji uzyskanego wyniku.

• Dobór odpowiedniej liczby pomiarów oraz

odpowiedni plan eksperymentu (miernictwo).

36

Trudniejsze zagadnienia dla
bardziej dociekliwych

•

Modele liniowe względem parametrów

(m parametrów).

• Modele - ważony wskaźnik jakości, a w

konsekwencji algorytm identyfikacji z
uwzględnieniem wag.

• Planowanie aktywnych eksperymentów

spełniających warunek identyfikowalności.

37

Podsumowanie

• Pojęcia identyfikacja systemów i wiedza

eksperymentalna.

• Określenie klasy modelu.

• Określenie parametru modelu.

• Algorytm identyfikacji.

• Przykład przebiegu procesu identyfikacji.

38

Literatura

•

Leszek Koszałka, Marek Kurzyński "Zbiór zadań i

problemów z teorii identyfikacji, eksperymentu i
rozpoznawania"
Wrocław, Politechnika Wrocławska, 1991

•

Pod red. Ewy Bylińskiej

"

Identyfikacja procesów"

Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 1997

•

Torsten Soderstrom, Petre Stoica "Identyfikacja

systemów"
Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN,1997

39

Koniec

Dziękujemy za uwagę