Materiały pochodzą z Platformy

Edukacyjnej Portalu

www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego
Użytkowników

wyłącznie

w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian,
przesyłanie,

publiczne

odtwarzanie

i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby
własne

oraz

do

wykorzystania

w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Potęga matematyki polega

na pomijaniu wszystkich

myśli zbędnych i cudownej

oszczędności operacji

myślowych”

Ernest Mach

POLE KOŁA.

Umiesz obliczyć pole kwadratu, prostokąta,
trójkąta, trapezu itp. Koło jest figurą o
regularnym kształcie posiadającą
powierzchnie. W tej lekcji dowiesz się jak
obliczyć pole powierzchni koła.

OZNACZENIA.

Przyjmujemy
następujące
oznaczenia:
r – długość
promienia
d – długość
średnicy
P – pole koła

Ważne:

d = 2r

LICZBA π.

Przypomnijmy (dokładne informacje
znajdziesz w lekcji „Koło. Okrąg. Liczba π”):

l – długość okręgu
Najczęściej stosowane przybliżenia:

π ≈ 3,14

POLE KOŁA.

Pole koła o danej długości promienia – r,
obliczamy korzystając ze wzoru:

P = πr

2

DLACZEGO P = πr

2

?

Koło można podzielić w taki sposób, że
powstałe fragmenty po ułożeniu obok siebie
utworzę prostokąt:

Krótszy bok tego
prostokąta ma
długość r, a dłuższy
πr (połowy długości
okręgu). Im więcej
części tym powstała
figura bardziej
przypomina
prostokąt. Po
wymnożeniu
otrzymujemy

P = πr

2

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Oblicz pole koła o promieniu długości 6.
r = 6
P = πr

2

P = π ∙ 6

2

= 36π

PRZYKŁAD 2.
Oblicz pole koła o promieniu długości π.
r = π
P = πr

2

P = π ∙ π

2

= π

3

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3.
Oblicz pole koła o średnicy długości 10.
d = 10
d = 2r
r = 10 : 2 = 5
P = π ∙ 5

2

= 25π

Przykład 4.
Podaj przybliżoną wartość pola koła z
przykładu 3.
π ≈ 3,14
P = 25π
P ≈ 25 ∙ 3,14 = 78,5

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 5.
Jaki jest promień koła o polu 100π m

2

?

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 6.
Jaka jest średnica koła o polu .

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 7.
Oblicz pole koła o obwodzie 2π.
Wzór na długość okręgu (obwód koła):
l = 2πr
Z treści zadania wiadomo, że:
l = 2π – bez żadnych obliczeń możemy
znaleźć r, widać że r = 1
A więc:
P = πr

2

P = π ∙ 1

2

= π

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 1.
Majtkowie na statku zaczęli krzyczeć, że w
mesie jest zbyt ciemno. Zdenerwowany
bosman zapiął pas i krzyknął:
-Hej do czorta! Nie buntować mi się! Przez te
cztery bulaje wpada tyle samo światła co
przez dwa okna o wymiarach 0,5 m x 0,75
m.
- Bosman jak zwykle nas buja – westchnął
najstarszy z majtków.
Każdy bulaj ma średnicę 50 cm. Czy bosman
bujał czy nie?

Bulaj – okno na statku – ma kształt koła dla zachowania większej wytrzymałości.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
d = 50 cm = 0,5 m
r = 0,5 ∙ d – połowa śrenicy
r = 0,25 m
π ≈ 3,14
P

b

= πr

2

P

b

= π ∙ (0,25 m)

2

= 0,0625π m

2

P

b

≈ 0,0625 ∙ 3,14 m

2

= 0,19625 m

2

Dla 4 bulajów mamy:
4 ∙ 0,19625 m

2

= 0,785 m

2

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Wymiary okna: 0,5 m x 0,75 m, więc jego
pole to:
P

o

= 0,5 m ∙ 0,75 m = 0,375 m

2

Dla dwóch okien mamy:
2 ∙ 0,375 m

2

= 0,75 m

2

Wynika z tego, że bosman nie bujał.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Prostokątny trawnik o wymiarach 6 m x 3 m

podlewają dwa spryskiwacze (rysunek). Jaki
obszar trawnika pozostaje niepodlany? W
obliczeniach przyjmij π ≈ 3,14

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
Obliczamy najpierw pole trawnika:
P

t

= 6 m ∙ 3 m = 18 m

2

Następnie pole obszaru podlewanego – są to

2 koła o średnicy 3 m czyli ich promień to
1,5 m.

P = 2 ∙ π ∙ (1,5 m)

2

= 4,5π

m

2

P ≈ 4,5 ∙ 3,14 m

2

= 14,13 m

2

Obszar niepodlany to
P

t

– P

= 18 m

2

- 14,13 m

2

= 3,87 m

2

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 3.

Oblicz pole narysowanego pierścienia.

Aby obliczyć pole pierścienia wystarczy

od pola dużego koła odjąć pole

mniejszego (pole otworu).

PRZYKŁADOWE

ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Dla dużego koła mamy:
r

1

= 6 + 4 = 10

P

1

= π ∙ 10

2

= 100π

Dla mniejszego koła mamy:
r

2

= 6

P

2

= π ∙ 6

2

= 36π

Pole pierścienia:
P = P

1

– P

2

= 100π - 36π = 64π