Właściwości
energetyczne
sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
•Definicja energii i mocy sygnału
•Energia sygnału w dziedzinie
częstotliwości
•Moc sygnału w dziedzinie
częstotliwości
•Zmienna losowa, proces losowy
•Analiza widmowa procesów losowych
•Podsumowanie, przykłady
Definicja energii
sygnału
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
R
t
x
dt
t
x
dt
t
i
t
u
E
,
2
i(t) = x(t)
u(t) = x(t)
E
R = 1
C
t
x
dt
t
x
t
x
dt
t
x
E
,
*
2
Sygnał nazywamy energetycznym,
jeżeli E < .
Definicja mocy sygnału
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
i(t) = x(t)
u(t) = x(t)
P = E/T
R = 1
C
t
x
dt
t
x
T
dt
t
x
T
T
E
P
T
T
T
,
1
1
2
2
2
2
C
t
x
t
x
dt
t
x
T
P
T
T
,
1
lim
2
2
Sygnał nazywamy sygnałem mocy,
jeżeli P < .
Uśrednianie po czasie
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T
T
dt
t
v
T
t
v
v
1
lim
~
Uśrednianie po czasie zastępuje wielkość fluktuującą
wielkością stałą równoważną w sensie całki oznaczonej.
v(t)
v~
T
t
0
t
0
+ T
Moc sygnału okresowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław
Papir
0
2
0
2
0
1
1
lim
T
T
T
dt
t
x
T
dt
t
x
T
P
T
t
x
t
x
Moc sygnału okresowego jest równa
jego mocy za jeden okres.
Moc sygnału okresowego -
sygnał harmoniczny
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
2
2
1
sin
a
a
P
t
a
t
x
2
a
a
Energia sygnału
w dziedzinie
częstotliwości
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
0
2
2
2
1
2
1
d
X
d
X
dt
t
x
E
t
x
R
2
X
S
Twierdzenie Parsevala
Widmowa gęstość energii (widmo gęstości energii):
Funkcja korelacji dla sygnału
energetycznego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
X
S
dt
t
x
t
x
dt
d
e
X
t
x
d
e
dt
e
t
x
X
d
e
X
X
d
e
X
X
t
j
j
t
j
j
j
*
*
*
*
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
F
dt
t
x
t
x
R
X
S
*
2
Funkcja korelacji dla sygnału
energetycznego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
dt
t
x
t
x
R
X
S
t
x
2
R
Funkcja korelacji jest parzysta:
R
R
Funkcja korelacji jest ograniczona z maksimum R(0):
E
R
R
0
Widmowa gęstość energii dla sygnałów rzeczywistych
jest funkcją parzystą:
S
S
Funkcja korelacji jako miara
podobieństwa sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
dt
t
dt
t
t
x
c
dt
t
c
t
x
e
c
2
opt
2
2
min
dt
t
dt
t
t
x
dt
t
x
e
dt
t
dt
t
t
x
c
2
2
2
2
min
2
opt
Funkcja korelacji jako miara
podobieństwa sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Nierówność
Schwarza
dt
t
dt
t
x
dt
t
t
x
2
2
2
0
dt
t
x
e
2
2
min
0
dt
t
dt
t
t
x
dt
t
x
e
2
2
2
2
min
t
t
x
dt
t
t
x
0
t
t
x
t
t
x
Funkcja korelacji jako miara
podobieństwa sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Z nierówności
Schwarza:
dt
t
dt
t
x
dt
t
t
x
2
2
2
dt
t
dt
t
x
dt
t
t
x
2
2
wynika:
1
Współczynnik
jest określany jako współczynnik korelacji
czyli podobieństwa sygnałów x(t) oraz
(t).
dt
t
dt
t
t
x
c
2
opt
Funkcja korelacji jako miara
podobieństwa sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
dt
t
dt
t
x
dt
t
t
x
2
2
Analiza korelacji (podobieństwa) może uwzględniać
przesunięcie sygnałów względem siebie.
dt
t
t
x
R
Funkcja
interkorelacji
sygnałów x(t) oraz
(t):
Funkcja
autokorelacji
sygnału x(t):
dt
t
x
t
x
R
Funkcja korelacji i widmowa
gęstość energii - filtracja
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
)
(
H
)
(t
x
t
y
x
x
S
R
y
y
S
R
x
y
S
H
S
X
H
Y
X
H
Y
2
2
2
Widmowa gęstość energii jest modyfikowana przez kwadrat
ch-aki a-cz.
Cha-ka f-cz nie zmienia widmowej gęstości energii.
Moc sygnału
w dziedzinie
częstotliwości
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
d
S
T
X
P
d
X
T
dt
t
x
T
P
t
x
T
dt
t
x
T
P
T
t
t
t
T
t
t
t
t
x
t
x
T
T
T
T
T
T
T
T
2
2
2
2
2
0
0
0
0
lim
2
1
2
1
lim
1
lim
1
lim
,
,
0
,
,
Twierdzenie Parsevala
widmo gęstości mocy
t
x
T
t
x
0
t
T
t
0
Moc sygnału
w dziedzinie
częstotliwości
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
d
S
T
X
P
T
T
2
lim
2
1
Widmowa gęstość mocy (widmo gęstości mocy):
T
X
S
T
T
2
lim
Funkcja autokorelacji sygnału mocy:
t
x
t
x
dt
t
x
t
x
T
R
T
T
*
*
1
lim
posiada identyczne właściwości jak funkcja autokorelacji
sygnału energetycznego, w szczególności:
S
R
Zmienna losowa
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Zmienna losowa
x
jest w istocie rzeczy
funkcją (losową)
przyporządkowującą
zdarzeniom elementarnym
liczby (rzeczywiste).
W zastosowaniach telekomunikacyjnych mamy do czynienia
ze zmiennymi losowymi w takich sytuacjach jak: napięcie w
układzie elektronicznym (z uwzględnieniem szumów), liczba
rozmów telefonicznych w ustalonym przedziale czasu czy
liczba przekłamanych bitów w słowie kodowym.
Zmiena losowa jest wygodnym modelem, gdy nie jesteśmy
w stanie uchwycić w modelu wszystkich mechanizmów.
R
x(
)
Dystrybuanta zmiennej losowej
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
i
i
x
x
F
Pr
Pr
Pr
A
x
i
R
Pr{x(
) x}x
A
Dystrybuanta zmiennej losowej
x
x
F
x
Pr
Gęstość prawdopodobieństwa
zmiennej losowej
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Dystrybuanta zmiennej losowej
x
x
F
x
Pr
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
F
x
x
Pr
Pr
dx
x
dF
x
x
F
x
x
F
x
f
x
0
Kształt funkcji gęstości prawdopodobieństwa wskazuje
na „preferowany” zakres wartości zmiennej losowej x.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Momenty zmiennej losowej
Wartość średnia zmiennej losowej
dx
x
xf
x
x
x
E
Wartość średniokwadratowa zmiennej losowej
dx
x
f
x
2
2
2
E
x
x
Wariancja zmiennej losowej
dx
x
f
x
2
2
2
2
E
x
x
x
x
x
x
Odchylenie standardowe zmiennej losowej
2
x
x
x
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Momenty zmiennej losowej
Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu wartości
zmiennej losowej wokół jej wartości średniej.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Im mniejsza jest wartość
współczynnika
rozproszenia zmiennej
losowej c
x
,
tym
bardziej zmienna losowa
„przypomina”
stałą deterministyczną (c
x
=
0).
x
x
x
c
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Zmienna losowa normalna
2
2
2
exp
2
1
:
,
x
x
f
N
2
exp
2
1
:
1
,
0
2
x
x
f
N
0
+
+2
-
+3
-2
-3
9999
,
0
4
1
,
0
Pr
997
,
0
3
1
,
0
Pr
95
,
0
2
1
,
0
Pr
68
,
0
1
,
0
Pr
N
N
N
N
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
x(t,
)
x(t=const,
=var) – zmienna losowa
x(t=var,
=const) – realizacja procesu losowego
x(t=var,
=var)
– zbiór realizacji procesu losowego
x(t=const,
=const)
– liczba
Realizacja procesu losowego
x(t,
)
jest zwykłym, deterministycznym
przebiegiem czasowym; losowość procesu nie jest nieodłączną właściwością
tej funkcji, a przejawia się wyłącznie w losowym jej wyborze.
Procesy
losowe
x(t,
)
x(t,
)
x(t,
)
Gęstości prawdopodobieństwa
procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
x
t
x
f
x
x
t
x
;
,
Pr
x
Gęstość prawdopodobieństwa I rzędu
Gęstość prawdopodobieństwa II rzędu
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
,
;
,
,
,
Pr
x
x
t
x
x
f
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
2
x
2
2
x
x
t
1
1
x
x
1
x
t
t
x
f
t
x
x
f
,
0
,
;
,
2
1
Wartości średnie procesu
losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Wartość średnia procesu losowego
dx
t
x
xf
t
t
;
x
x
Wartość średniokwadratowa procesu losowego
dx
t
x
f
x
t
;
2
2
x
t
t
R
t
R
dx
dx
t
x
x
f
x
x
t
R
2
2
1
2
1
2
1
0
,
,
;
,
,
x
x
x
x
Funkcja autokorelacji procesu losowego
2
1
2
1
2
1
,
;
,
,
dx
dx
t
x
x
f
t
x
t
x
t
C
x
x
x
Funkcja autokowariancji procesu losowego
Wartości średnie procesu
losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Wartości średnie procesu są
średnimi „po zbiorze”
(ensamble averages), gdyż są wyliczane
Wartości średnie „po czasie”
(time averages) są wyliczane
z
pojedynczych realizacji
procesu losowego
.
dla
ustalonych chwil
czasu ze zbioru
wszystkich realizacji
procesu losowego
na
podstawie
rozkładu
wartości procesu
reprezentowanych przez
gęstości
prawdopodobieństwa
.
Wartości średnie „po czasie”
procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
1
lim
~
T
T
T
dt
t
T
t
x
x
x
Wartość średnia „po czasie” procesu losowego
Autokorelacja „po czasie” procesu losowego
2
2
1
lim
~
T
T
T
dt
t
t
T
R
t
t
x
x
x
x
x
Symbol
~
podkreśla, że operacja uśredniania po czasie
została wykonana dla pojedynczej realizacji procesu losowego.
Wartość średnia po czasie jest zmienną losową,
a
autokorelacja po czasie jest procesem losowym.
Wartości średnie „po czasie”
procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
1
lim
~
T
T
T
dt
t
T
t
x
x
x
Wartość średnia „po czasie” procesu losowego
Autokorelacja „po czasie” procesu losowego
2
2
2
2
2
2
1
lim
0
~
1
lim
~
T
T
T
T
T
T
dt
t
T
t
dt
t
t
T
t
t
x
x
x
x
x
x
x
x
R
R
Istnienie
granic wartości średniej po czasie
oraz
autokorelacji po czasie
gwarantują
twierdzenia ergodyczne.
Konsekwencja:
realizacje procesu losowego są sygnałami mocy.
Stacjonarny proces losowy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
dx
x
xf
x
x
Proces losowy jest stacjonarny (w szerszym sensie), jeżeli
jego
wartość średnia nie zależy od czasu:
a
funkcja korelacji zależy wyłącznie od długości
horyzontu obserwacji
, a nie od jego położenia na osi czasu
czasu (t, t +
):
dx
x
f
x
R
dx
dx
x
x
f
x
x
R
2
2
2
1
2
1
2
1
0
;
,
x
x
x
Ergodyczny proces losowy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Losowy proces stacjonarny jest ergodyczny, jeżeli
jego
wartości średnie po zbiorze są równe
wartościom średnim po czasie.
-
x
x
x
x
dx
x
xf
dt
t
T
t
T
T
T
1
Pr
1
Pr
2
2
1
lim
~
Ergodyczność
wartości
średniej
2
1
2
1
2
1
1
Pr
1
Pr
;
,
dx
dx
x
x
f
x
x
R
R
t
t
x
x
x
x
Ergodyczność
funkcji
korelacji
Analiza widmowa
procesów losowych
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Realizacje procesu losowego są sygnałami mocy, więc
każdej realizacji można przyporządkować
funkcję korelacji własnej,
2
2
1
lim
~
T
T
T
dt
t
t
T
t
t
t
x
x
x
x
x
x
R
a przez przekształcenie Fouriera widmo gęstości mocy:
d
e
t
j
x
x
x
x
R
S
R
~
~
~
F
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego
otrzymujemy w wyniku uśredniania (w zbiorze realizacji)
widm gęstości mocy poszczególnych realizacji.
d
e
t
R
d
e
t
t
S
d
e
t
t
S
d
e
S
d
e
t
j
j
j
j
j
,
E
E
~
~
~
~
~
E
E
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
R
S
R
S
R
F
Uśrednione widmo gęstości
mocy procesu losowego
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Uśrednione widmo gęstości
mocy procesu losowego
Twierdzenie Wienera – Chinczyna
Widmo gęstości mocy
stacjonarnego
procesu losowego
jest transformatą Fouriera funkcji korelacji.
x
x
S
t
R
F
,
x
x
S
R
F
Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jest trans-
formatą Fouriera funkcji korelacji uśrednionej po czasie.
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Uśrednione widmo gęstości
mocy procesu losowego –
metoda alternatywna
T
X
S
T
T
x
2
lim
Widmo gęstości mocy deterministycznego sygnału mocy:
Widmo gęstości mocy procesu losowego:
2
2
~
E
1
lim
~
lim
E
T
T
T
T
T
T
S
X
X
x
można otrzymać w wyniku uśredniania (po zbiorze)
widm gęstości mocy poszczególnych realizacji, a te są
deterministycznymi sygnałami mocy.
Podsumowanie
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
•
Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć energię/moc
sygnału w dziedzinie częstotliwości.
•
Widmowa gęstość energii/mocy określa energię/moc sygnału
przypadającą na poszczególne częstotliwości sygnału.
• Widmowa gęstość energii/mocy jest transformatą Fouriera
funkcji autokorelacji.
•
Funkcja autokorelacji opisuje podobieństwo sygnału do
jego opóźnionej w czasie repliki.
• Funkcja autokorelacji sygnału mocy jest określona podobnie
do funkcji autokorelacji sygnału energii; definicja uwzględnia
dodatkowo uśrednianie po czasie.
• Filtracja sygnału powoduje przekształcenie widmowej
gęstości energii/mocy przez kwadrat cha-ki a-cz.
• Realizacje procesu losowego są deterministycznymi
sygnałami mocy.
• Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jest
transformatą Fouriera funkcji autokorelacji (uśrednionej – w
przypadku procesów losowych niestacjonarnych).
Właściwości widma gęstości
energii/mocy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
•Widmo gęstości energii/mocy jest zawsze transformatą
Fouriera funkcji autokorelacji:
x
x
S
R
F
•Widmo gęstości energii/mocy pozwala określić energię/moc
sygnału w wybranym pasmie częstotliwości oraz energię/moc
całkowitą:
d
S
P
d
S
d
S
P
x
x
x
2
1
2
1
2
1
,
d
g
d
g
g
d
•Widmo gęstości energii/mocy jest funkcją parzystą dla
sygnałów rzeczywistych:
x
x
S
S
)
(
j
H
x
S
2
j
H
S
x
Podsumowanie –
właściwości
funkcji autokorelacji
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Niezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy)
funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmienny
sposób posiadają identyczne właściwości.
•Deterministyczny
sygnał energii:
dt
t
x
t
x
R
x
*
•Deterministyczny
sygnał mocy:
t
x
t
x
dt
t
x
t
x
T
R
T
T
x
*
*
1
lim
Podsumowanie –
właściwości
funkcji autokorelacji
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Niezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy)
funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmienny
sposób posiadają identyczne właściwości.
t
t
R
t
t
t
R
dx
dx
t
x
x
f
x
x
t
R
x
x
x
x
x
x
x
E
E
,
,
;
,
,
2
1
2
1
2
1
• Niestacjonarny
proces losowy:
t
t
E
R
dx
dx
x
x
f
x
x
R
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
;
,
• Stacjonarny
proces losowy:
Przykład – modulacja
amplitudy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
amplitudy
modulacja
cos
0
~
losowy,
proces
y
stacjonarn
0
t
t
t
t
x
x
x
t
R
R
t
R
t
t
R
t
R
t
t
t
t
t
R
t
t
t
t
t
R
0
0
0
0
0
0
0
0
2
cos
2
1
cos
2
1
,
cos
cos
,
cos
cos
E
,
cos
cos
E
,
x
x
x
x
x
x
x
0
0
2
0
4
1
2
1
0
2
1
0
cos
2
1
,
x
x
x
x
x
S
S
S
R
R
P
R
t
R
R
Przykład – kod
transmisyjny
bipolarny NRZ
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
n
k
q
p
a
E
a
E
n
k
a
E
a
a
E
p
q
a
p
a
n
k
n
n
k
n
n
,
,
1
1
1
Pr
1
Pr
2
2
2
Symbole a
n
są
niezależne.
T
2
T
4
T
6
T
+1
-1
t
x(t)
nT
(n+1)T
a
n
Kod transmisyjny bipolarny NRZ -
funkcja korelacji
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T
2
T
3
T
4
T
t
+1
(p –
q)
2
-T
,
t
R
x
T-
2T-
3T-
T
0
T
T
T
q
p
T
t
R
R
2
2
1
1
1
,
x
x
Kod transmisyjny bipolarny NRZ -
funkcja korelacji
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T
q
p
t
R
R
2
2
,
x
x
T
2
T
3
T
4
T
t
+1
(p –
q)
2
-T
,
t
R
x
T-
2T-
3T-
T
Kod transmisyjny bipolarny NRZ -
uśredniona funkcja korelacji
& widmowa gęstość mocy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T
2
T
3
T
4
T
t
+1
-T
x
R
T-
2T-
3T-
2
Sa
1
2
1
2
2
2
2
2
2
T
T
R
S
R
T
x
x
x
F
2
Kod transmisyjny bipolarny NRZ -
widmowa gęstość mocy
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
f
[Hz]
T
2
T
1
T
3
Widmo gęstości mocy sygnału cyfrowego jest skupione w
pasmie 0 < f < 1/T; twierdzenie Nyquista orzeka, że pasmo
dwukrotnie węższe 0 < f < 1/2T jest wystarczające.
2
1
Sa
2
Sa
2
2
2
q
p
fT
T
T
T
R
S
R
T
x
x
x
F
Kody transmisyjne - kod Millera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
„0”
• zachowanie polaryzacji przy przejściu
„1” „0”
• zmiana polaryzacji przy przejściu
„0” „0”
„1”
• zachowanie polaryzacji przy przejściu
„1” „1”
• zachowanie polaryzacji przy przejściu
„0” „1”
1 0
0
0
1 1
0
0
0
0 1 1
1
Kody transmisyjne - kod Millera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
„1”
„0”
„1”
„1”
„0”
„0”
Właściwości kodu Millera:
• eliminacja składowych n-cz widma
• istotny poziom timing content
• koncentracja widma w wąskim pasmie
• sekwencje „0...” lub „1...” – rozproszenie widma
• sekwencja „0 1 1...” – istotny poziom składowej dc
Kody transmisyjne - kod Millera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
fT
T
f
fT
fT
fT
fT
fT
T
f
fT
fT
fT
fT
S
8
cos
8
17
2
8
cos
2
7
cos
8
6
cos
2
5
cos
12
8
cos
8
17
2
4
cos
5
3
cos
12
2
cos
22
cos
2
23
2
2
2
2
x
kod bipolarny NRZ
kod Millera
Przykład – szum
gaussowski
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
~THz
S
R
F
R
Szum biały ma płaskie widmo gęstości mocy w bardzo
szerokim zakresie częstotliwości.
Funkcja korelacji szumu białego ma charakter impulsowy;
wartości szumu białego w dowolnie bliskich chwilach czasu
nie są skorelowane ze sobą.
Przykład – szum
gaussowski
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
~THz
W
Idealny filtr pasmowo-
przepustowy
Szum gaussowski po filtracji jest
nadal szumem gaussowskim.
W
W
d
N
1
2
2
2
2
1
x
e
x
f
W
W
R
Sa