1

Metoda prądów obwodowych

 Zamieniamy wszystkie rzeczywiste źródła prądowe na napięciowe,



Tworzymy układ równań liniowych opisujących poszczególne obwody.

2

Dowolną sieć liniową składającą się z elementów skupionych można opisać

za pomocą układu i równań liniowych

1







w

g

i

gdzie: g – liczba gałęzi sieci, w – liczba niezależnych węzłów.







































6

7

3

4

6

5

5

3

2

2

4

6

3

3

2

3

3

5

5

1

1

1

R

i

E

)

d

R

i

R

i

E

)

c

R

i

R

i

R

i

E

)

b

R

i

R

i

R

i

E

)

a

3

Prądy gałęziowe można zastąpić prądami obwodowymi: i

a

, i

b

, i

c

oraz i

d











































































6

3

4

5

3

2

4

3

2

3

5

1

1

R

i

E

)

d

R

i

i

R

i

i

E

)

c

R

i

R

i

i

R

i

i

E

)

b

R

i

i

R

i

i

R

i

E

)

a

d

b

c

a

c

b

b

c

a

b

a

b

a

c

a

6

3

7

R

E

d

i

i







4

Pozostaje do rozwiązania układ trzech równań, który można przekształcić do

postaci

























































c

b

a

c

b

a

c

b

a

i

R

R

i

R

i

R

E

)

c

i

R

i

R

R

R

i

R

E

)

b

i

R

i

R

i

R

R

R

E

)

a

5

4

4

5

3

4

4

3

2

3

2

5

3

5

3

1

1

































c

cc

b

cb

a

ca

c

c

bc

b

bb

a

ba

b

c

ac

b

ab

a

aa

a

i

R

i

R

i

R

E

i

R

i

R

i

R

E

i

R

i

R

i

R

E

i - równań

5

Zależność tę można zapisać w postaci równania macierzowego

 

   

1

1

,

i

c

i,

i

c

,

i

c

i

R

E



gdzie: [E

c

] – wektor obwodowych sił elektromotorycznych,

[R

c

] – macierz rezystancji obwodowych,

[i

c

] – wektor prądów obwodowych.

Metoda Cramera:

Liczymy wyznacznik główny W

cc

macierzy rezystancji obwodowych, z zależności

cc

cb

ca

bc

bb

ba

ac

ab

aa

cc

R

R

R

R

R

R

R

R

R

W















6

 Liczymy wyznaczniki pomocnicze:

cc

cb

c

bc

bb

b

ac

ab

a

a

R

R

E

R

R

E

R

R

E

W











cc

c

ca

bc

b

ba

ac

a

aa

b

R

E

R

R

E

R

R

E

R

W











c

cb

ca

b

bb

ba

a

ab

aa

c

E

R

R

E

R

R

E

R

R

W











7

 Liczymy prądy obwodowe z zależności:

cc

c

c

cc

b

b

cc

a

a

W

W

i

,

W

W

i

,

W

W

i







 Liczymy prądy gałęziowe z zależności:

i

1

= i

a

,

i

2

= i

b

,

i

3

= i

b

- i

a

,

i

4

= i

c

- i

d

,

i

5

= i

c

- i

a

,

i

6

= i

c

- i

b

,

i

7

= i

d.

8

Metoda potencjałów węzłowych

W metodzie tej:

 zamieniamy wszystkie rzeczywiste źródła napięciowe na źródła prądowe,
 wybieramy węzeł odniesienia,

zapisujemy w = w’ – 1 liniowych równań węzłowych dla pozostałych węzłów.

9

10

Prądy gałęziowe dla pierwszego węzła A można wyrazić w postaci:

1

1

1

R

V

J

i

A

'





4

4

4

R

V

V

J

i

A

B

'







5

5

5

R

V

V

J

i

A

C

'







0

5

4

1







'

'

'

i

i

i

0

5

5

4

4

1

1

















R

V

V

J

R

V

V

J

R

V

J

A

C

A

B

A

C

B

A

V

R

V

R

V

R

R

R

J

J

J

5

4

5

4

1

5

4

1

1

1

1

1

1



























11

Pełny opis obwodu przyjmie zatem postać

C

B

A

C

B

A

C

B

A

V

R

R

R

V

R

V

R

J

J

C

V

R

V

R

R

R

V

R

J

J

B

V

R

V

R

V

R

R

R

J

J

J

A















































































6

5

3

6

5

5

3

6

6

4

2

4

2

4

5

4

5

4

1

5

4

1

1

1

1

1

1

)

1

1

1

1

1

)

1

1

1

1

1

)

Powyższy układ równań można zapisać w postaci ogólnej

































C

CC

B

CB

A

CA

C

C

BC

B

BB

A

BA

B

C

AC

B

AB

A

AA

A

V

G

V

G

V

G

J

V

G

V

G

V

G

J

V

G

V

G

V

G

J

w – równań

     

1

1

,

w

p

w

,

w

p

,

w

p

V

G

J



12

W kolejnym etapie obliczamy potencjały węzłowe stosując metodę Cramera:



Liczymy wyznacznik główny

CC

CB

CA

BC

BB

BA

AC

AB

AA

pp

G

G

G

G

G

G

G

G

G

W















 Liczymy wyznaczniki pomocnicze

CC

CB

C

BC

BB

B

AC

AB

A

A

G

G

J

G

G

J

G

G

J

W











CC

C

CA

BC

B

BA

AC

A

AA

B

G

J

G

G

J

G

G

J

G

W











C

CB

CA

B

BB

BA

C

AB

AA

C

J

G

G

J

G

G

J

G

G

W











13

 Obliczamy potencjały węzłowe

pp

C

C

pp

B

B

pp

A

A

W

W

V

,

W

W

V

,

W

W

V







1

1

R

V

i

A





,

2

2

R

V

i

B





,

3

3

R

V

i

C





,

4

4

R

V

V

i

B

A





,

5

5

R

V

V

i

C

A





,

6

6

R

V

V

i

C

B





.

 Obliczamy prądy gałęziowe

14

Zastosowanie grafów w rozwiązywaniu obwodów

Odwzorowanie w wyniku którego poprzez incydencję I, każdej krawędzi x

i

odpowiada para wierzchołków (y

j

, y

k

) nazywamy grafem. Grafem skierowanym jest

graf, w którym wierzchołki określają początek i koniec krawędzi.







I

,

Y

,

X

G

15

 Określenie macierzy strukturalnej []















































0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

6

5

4

3

2

1

3

6

5

4

3

2

1

2

6

5

4

3

2

1

1

u

u

u

u

u

u

)

c

u

u

u

u

u

u

)

c

u

u

u

u

u

u

)

c

z tego układu równań otrzymujemy drugie prawo Kirchhoffa w postaci
uogólnionej

 

 

 

k

,

i

,

k

g

k

,

i

u

0

1





gdzie : [u

g

] – wektor napięć gałęziowych,

[] – macierz gałęziowo obwodowa (obwodowa).

16

Macierz [] dla rozpatrywanego obwodu ma postać

 











































3

2

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

c

c

c

Wszystkie prądy gałęziowe można wyrazić za pomocą sumy algebraicznej

wszystkich prądów obwodowych

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

6

5

4

3

2

1

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i





































17

 Obliczenie wektora prądów gałęziowych [i

g

]

 

   

1

1

,

i

c

T

i,

k

,

k

g

i

i





 

   

1

1

1

,

i

c

i,

i

c

,

i

c

E

R

i





 

     

1

1

1

,

i

c

i,

i

c

T

i,

k

,

k

g

E

R

i







Powyższa zależność przedstawia związek pomiędzy pobudzeniem w postaci wektora
obwodowych sił elektromotorycznych a odpowiedzią w postaci wektora prądów
gałęziowych

.

18

 Określenie macierzy strukturalnej []





















































0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

3

2

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

)

A

)

A

)

A

 

 

 

1

1

0

,

w

,

k

g

k

,

w

i





19



































































3

2

1

6

3

2

1

5

3

2

1

4

3

2

1

3

3

2

1

2

3

2

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

V

V

V

u

V

V

V

u

V

V

V

u

V

V

V

u

V

V

V

u

V

V

V

u

 

 

 

1

1

,

w

p

T

w

,

k

,

k

g

V

u





     

1

1

1

,

w

p

w

,

w

p

,

w

p

J

G

V





20

 Obliczenie wektora napięć gałęziowych [u

g

]

 

 

   

1

1

1

,

w

p

w

,

w

p

T

w

,

k

,

k

g

J

G

u







Powyższa zależność przedstawia związek pomiędzy pobudzeniem przedstawionym
w postaci wektora źródłowych prądów węzłowych a odpowiedzią przedstawioną
w postaci wektora napięć gałęziowych.

21

Twierdzenia o włączaniu źródeł idealnych



źródła napięciowe

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie
zmianie, jeżeli do wszystkich gałęzi należących do tego
samego węzła włączymy po jednym idealnym źródle
napięciowym o tej samej wartości siły elektromotorycznej i
o tym samym zwrocie w stosunku do węzła.

 źródła prądowe

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie
zmianie, jeżeli równolegle do wszystkich gałęzi należących
do tego samego obwodu włączymy po jednym idealnym
źródle prądowym o tej samej wartości prądu zwarciowego i
o tym samym zwrocie w stosunku do obwodu.

22

23











































1

2

2

1

3

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

E

E

E

E

i

R

R

i

R

E

E

E

E

i

R

i

R

R

)

a

c

c

c

c





























































0

1

1

1

1

1

1

2

2

3

2

2

1

2

2

1

2

2

1

J

J

V

R

R

V

R

J

J

J

J

V

R

V

R

R

)

b

B

A

B

A

Wektor odpowiedzi (prądów gałęziowych) nie zmieni się tak długo jak długo

wektor pobudzeń (obwodowych sił elektromotorycznych) będzie stały.

Wektor odpowiedzi (napięć gałęziowych) nie zmieni się tak długo jak długo

wektor pobudzeń (węzłowych prądów źródłowych) nie ulegnie zmianie.

24

Zasada superpozycji

Prąd w dowolnej gałęzi sieci liniowej stanowi sumę
prądów od każdego źródła z osobna, przy
wyłączonych źródłach pozostałych

 Wyłączenie źródła napięciowego oznacza zastąpienie zwarciem siły

elektromotorycznej,

 Wyłączenie źródła prądowego oznacza usunięcie gałęzi zawierającej źródło

(rozwarcie).

Metoda transformacji
źródeł

25

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

3

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

E

i























26

















































































3

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

3

3

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

3

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

3

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

i

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

E

i

"

'

 

   

1

1

,

i

c

i,

k

,

k

g

E

i







































2

2

3

1

1

3

3

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

E

E

i

E

E

i

E

E

i

,

,

,

,

,

,

 

 

 

1

1

,

w

p

w

,

k

,

k

g

J

u





27

Twierdzenie Thevenina

Każdą sieć liniową można zastąpić z punktu widzenia pary
dowolnych

wyprowadzeń

rzeczywistym

źródłem

napięciowym o sile elektromotorycznej E

T

, równej napięciu

na wyprowadzeniach w stanie rozwarcia oraz oporze
wewnętrznym

R

T

,

równym

oporowi

pomiędzy

wyprowadzeniami przy wyłączonych źródłach.

28

 Obliczamy napięcie Thevenina na rozwartych wyprowadzeniach obwodu,
 Obliczamy rezystancję Thevenina widzianą od strony wyróżnionych wyprowadzeń

przy wyłączonych źródłach,

 Obliczamy prąd płynący przez obciążenie, korzystając z zastępczego źródła Thevenina.

Zgodnie z algorytmem postępowania prąd i płynący przez obciążenie przyjmie postać

o

T

T

R

R

E

i





29

Każdą sieć liniową można zastąpić z punktu widzenia pary
dowolnych wyprowadzeń rzeczywistym źródłem prądowym
o prądzie zwarcia J

N

, równemu prądowi płynącemu

pomiędzy

zwartymi

wyprowadzeniami

oraz

oporze

wewnętrznym

R

N

,

równym

oporowi

pomiędzy

wyprowadzeniami przy wyłączonych źródłach.

30

o

N

N

N

R

R

R

J

i





31

Twierdzenia o przyrostach

1) Jeżeli w sieci liniowej zewrzemy dwa węzły,
między którymi panuje napięcie U, to przyrosty
(dodatnie lub ujemne) prądów w gałęziach tej
sieci możemy obliczyć włączając między te węzły
idealne

źródło

napięciowe

o

sile

elektromotorycznej równej co do wartości temu
napięciu

lecz

przeciwnym

kierunku,

przy

wyłączeniu wszystkich źródeł pozostałych.

32

2) Jeżeli w sieci liniowej rozewrzemy gałęź, w
której płynie prąd I, to przyrosty (dodatnie lub
ujemne) prądów w gałęziach tej sieci możemy
obliczyć włączając w tym miejscu idealne źródło
prądowe o prądzie zwarcia równym co do wartości
temu prądowi lecz przeciwnym kierunku, przy
wyłączeniu wszystkich źródeł pozostałych.

33

Zwarcie

1

1

1

R

E

U

i





1

1

1

1

1

R

U

i

R

E

i













1

1

R

U

i

'







1

1

i

i

'







34

Rozwarcie

3

1

1

i

J

i





3

1

1

1

i

i

J

i









3

1

i

i

'





1

1

i

i

'





