Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

ORBITALE

I LICZBY KWANTOWE

Orbitale i liczby kwantowe. Orbital jako funkcja falowa
opisująca stan elektronu w atomie. Liczby kwantowe n, l,
m, s - ich sens fizyczny i możliwe wartości. Rozkłady
gęstości elektronowej dla orbitali typu s, p i d. Zakaz
Pauliego.

Energie

orbitali

atomowych.

Struktury

elektronowe atomów i jonów.

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

.

Dalton (1803)

atom

Thomson (1904)

ładunki „+” i „–”

Rutherford (1911)

jądro atomu

Bohr (1913)

model stacjonarny

Schrödinger (1926)

falowy opis

elektronu w atomie

Przypomnienie:

Louis de Broglie:

Z ruchem każdej

cząstki
o masie

m

i prędkości

v

(pędzie

p

)

związana

jest fala o długości



p

h

mv

h







Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

FALA I JEJ OPIS MATEMATYCZNY

Jak wygląda i jaką funkcją jest opisana fala elektronu w atomie?



y





FALA

ELEKTROMAGNETYCZNA

 = v·T

T

T









v

T

1

T

- okres



- długość fali

v

– prędkość fali

ν

– częstość fali

Przykład:

y = sinα

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

MECHANIKA KWANTOWA (1925-1926)

Erwin Schrödinger (1887-1961)

Opis obiektów o bardzo małych masach i
rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne dla
których nie stosuje się mechanika klasyczna.

POSTULATY

(podstawy)

mechaniki

kwantowej

Mechanika kwantowa to matematyczny model rzeczywistości

RZECZYWISTOŚĆ

MECHANIKA KWANTOWA

Cząstka – np. elektron

Funkcja falowa

Ψ

Wielkość mierzalna – np.

energia,

Operator energii

Ĥ

Pomiar wielkości mierzalnej
– np. pomiar energii

E

cząstki

Równanie

Ĥ Ψ =

E Ψ

Schrödingera

liczba,
np. 3,4 eV

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

Funkcja falowa

Ψ

zawiera informacje o elektronie,

FALOWY OPIS ELEKTRONU W ATOMIE







2

ρ – gęstość prawdopodobieństwa

P = ρ·dV

dV – nieskończenie mała objętość

wokół danego punktu

x

y

z

(x

o

, y

o

,z

o

)

dV

dV

P

2

z

,

y

,

x

z

,

y

,

x

0

0

0

0

0

0





w tym informację o prawdopodobieństwie

P

znalezienia elektronu w danym punkcie

Prawdopodobieństwo znalezienia

elektronu w punkcie

(x

o

, y

o

, z

o

)

0

0

0

0

0

0

z

,

y

,

x

2

z

,

y

,

x







dV

P

0

0

0

0

0

0

z

,

y

,

x

z

,

y

,

x





Funkcja falowa

Ψ

opisuje realny układ (np. elektron) a więc

funkcja

Ψ

musi być porządna

SKOŃCZONA

Ψ

powinna być:

|Ψ|

2

≠ +∞, –∞

Uzasadnienie

Prawdopodobieństwo
znalezienia elektronu nie
może być nieskończenie
wielkie; może co najwyżej być
równe 1 (100%)

CIĄGŁA

|Ψ|

2

–

bez "uskoków"

Prawdopodobieństwo
znalezienia elektronu w
dwóch sąsiednich punktach
nie może się znacznie różnić

JEDNOZNACZNA

|Ψ|

2

–

w każdym

punkcie tylko
jedna wartość

Prawdopodobieństwo
znalezienia elektronu w
dowolnym punkcie nie
może mieć dwóch
różnych wartości

▲

▲

▲

Przykłady

negatywne

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE











2

h

1

l

l

M

Dalsze warunki dla funkcji falowej

Ψ

Funkcja falowa

Ψ

musi spełniać równanie

Schrödingera

Ĥ Ψ = E Ψ

,

wobec tego:

▲

Energia elektronu w atomie wodoru

▲

Moment pędu elektronu (orbitalny)

▲

Składowa

M

z

momentu pędu

elektronu

n

– główna liczba kwantowa

W modelu Bohra:

n

– numer orbity

n

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...

l

= 0, 1, 2, 3,...

n – 1

s, p, d, f

– l

≤

m

≤

+ l

(co 1)

l

– poboczna (orbitalna) liczba kwantowa

m

– magnetyczna liczba kwantowa

r

v

→

M = r

x

mv

→

→

z

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

M

M

z





2

h

m

M

z

2

2

2

2

0

4

e

n

1

n

h

8

e

m

E









m

Funkcja falowa

Ψ

n,l,m

–

ORBITAL

Jakie ORBITALE
(funkcje

Ψ

n,l,m

),

o jakich
konkretnych
liczbach

n, l, m

są możliwe?

n

= 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7,...

– l ≤

m

≤ + l

(co 1)

l

= 0, 1, 2, 3..

n – 1

s, p, d, f

Powłoka

Podpowłoka

n

l

m

ORBITA

L

Liczba

orbitali

s, p, d, f

1

0

0

1s

1 (s)

2

0

0

2s

1 (s)

2

1

±1

2p

x

2p

y

2

1

0

2p

z

3

0

0

3s

1 (s)

3

1

±1

3p

x

3p

y

3

1

0

3p

z

3

2

±1

3d

xz

3d

yz

3

2

±2

3d

xy

3d

x2-y2

3

2

0

3d

z2

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

3 (p)

3 (p)

5 (d)

Funkcja falowa

Ψ

n,l,m

–

ORBITAL

– Jakie "wyglądają" ORBITALE ?
– Gdzie najczęściej przebywają elektrony przypisane do danego orbitalu ?
– Jaki jest rozkład gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu ?





90

)

,

(

)

(

,

,

,

,





m

l

l

n

m

l

n

Y

r

R







Funkcja RADIALNA

Funkcja KĄTOWA

Funkcja falowa

Ψ

n,l,m

we współrzędnych sferycznych



2







Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

z

x

y

r

2

1

2

)

r

(

R

,





r

)

,

(

)

(

,

,

,

,





m

l

l

n

m

l

n

Y

r

R







Funkcja RADIALNA

Funkcja KĄTOWA

r

2

1

3

)

r

(

R

,





r

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

Przekrój atomu

2

m

,

l

)

,

(

Y





)

,

(

)

(

,

,

,

,





m

l

l

n

m

l

n

Y

r

R







Funkcja RADIALNA

Funkcja KĄTOWA

Y

0,m

Y

1,m

Y

2,m

d

p

s

z

x

y

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

Orbitale Y

3,m

→

f

l=3

m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

7 orbitali

f

)

,

(

)

(

,

,

,

,





m

l

l

n

m

l

n

Y

r

R







Funkcja RADIALNA

Funkcja KĄTOWA

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

To tylko

ilustracja;

orbitali f nie

trzeba znać!

y

3
p

y

2
p

y

z

z

y

Złożenie funkcji

R

n,l

i

Y

l,m

3
p

y

R

3,1

)

,

(

)

(

,

,

,

,





m

l

l

n

m

l

n

Y

r

R







Funkcja RADIALNA

Funkcja KĄTOWA

p

y

Y

1,m

PROSTY

SPOSÓB

RYSOWANIA

ORBITALI

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

Nałożenie funkcji

Y

na funkcję

R

Orbital

s

Informację o położeniu różnych orbitali względem siebie
podaje

funkcja KĄTOWA.

Z tego powodu, orbitale często rysuje

się

jako

płaskie przekroje wzdłuż odpowiednich osi lub
płaszczyzn.

Orbitale

p

Orbitale

d

Uwaga, na właściwe

oznaczenie

osi współrzędnych!

x

z

s

+

p

x

x

+

–

y

p

y

+

–

z

p

z

+

–

2

2

y

x

d



x

y

+

+

–

–

xy

d

x

y

+

+

–

–

xz

d

x

z

+

+

–

–

yz

d

z

y

+

+

–

–

2

z

d

z

+

+

–

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

Orbitale (jako funkcje) mają fragmenty dodatnie (

+

) i ujemne (

–

)

lub

s

+

Przykłady funkcji falowych

Ψ

dla konkretnych liczb kwantowych

n,l,m

n=1, l=0 orbital

1s

n=2, l=1 orbital

2p

y

n=3, l=1 orbital

3p

y

Konkretną funkcję

Ψ

n,l,m

można wstawić do równania Schrödingera

Ĥ Ψ

n,l,m

= E

n,l,m

Ψ

n,l,m

i obliczyć jaką energię

E

n,l,m

będzie miał elektron opisany funkcją

Ψ

n,l,m

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE







cos

sin

e

a

r

a

r

a

a

r

p

y

0

3

0

0

3

0

3

3

2

4

2

27

1





















0

3

0

1

1

a

r

s

e

a















cos

sin

e

a

r

a

a

r

p

y

0

2

0

3

0

2

2

4

1







To tylko ilustracja;

wzorów nie trzeba znać!

ENERGIE ORBITALI ATOMOWYCH

Ψ

n,l,m

Diagram

poziomów

energetycznych

- orbital

Ψ

n,l,m

n

l m

ORB

4 0 0

4s

2 0 0

2s

2 1 ±

1

2p

x

2p

y

2 1 0

2p

z

3 0 0

3s

3 1 ±

1

3p

x

3p

y

3 1 0

3p

z

3 2 ±

1

3d

xz

3d

yz

3 2 ±

2

3d

xy

3d

x2-

y2

3 2 0

3d

z2

E

1s

2s

2p

3s

4s

5s

6s

3p

4p

5p

4d

4f

7s

6p

5d

5f

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

Przypomnienie:

1 0 0

1s

3d

NIE!

NIE!

4f ?

6d

pierw. sztuczne

Ustalanie

kolejności

energetycznej

orbitali

ENERGIE ORBITALI ATOMOWYCH

Ψ

n,l,m

E

1s

2s

2p

3s

4s

5s

6s

7s

3p

4p

5p

6p

3d

4d

5d

4f

5f

1s

2s 2p

3s 3p 3d

4s 4p 4d 4f

5s 5p 5d 5f

6s 6p 6d 6f

7s 7p 7d 7f

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

6d

ENERGIE ORBITALI ATOMOWYCH I ICH POŁOŻENIE WZGLĘDEM JĄDRA

r

1

2

3

4

5

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

6

7

E

N

E

R

G

IA

Elektrony w atomie wykorzystują orbitale o możliwie najniższej
energii.

Ile elektronów może: – wykorzystać ten sam orbital?

– obsadzić ten sam poziom

energetyczny?

Układ o niższej energii jest bardziej trwały.

• Zakaz Pauliego:

W atomie nie może być elektronów, dla których

wszystkie liczby kwantowe byłyby takie same.

Elektrony muszą różnić się przynajmniej jedną

liczbą kwantową.

Tylko 1 elektron na danym orbitalu

Ψ

n,l,m

?

NIE
!

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

SPIN ELEKTRONU

m

s

= +1/2

m

s

= –1/2

Otto Stern

(1888-1969)

Walter Gerlach

(1889-1979)

Elektron posiada własny moment pędu S zwany spinem











2

h

1

s

s

S

2

1

s

Składowa

S

z

spinowego momentu pędu

elektronu

– s

≤

m

s

≤

+ s

(co 1)

m

s

– magnetyczna liczba spinowa





2

h

m

S

s

z

m

s

= +1/2

lub

m

s

= –1/2

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

SPIN

„dodatni”

„ujemny”

ELEKTRON w atomie opisany jest 4 liczbami kwantowymi:

n l m m

s

Zakaz Pauliego:

Elektrony w atomie muszą różnić się

przynajmniej jedną z czterech liczb kwantowych.

WNIOSEK

Każdy orbital o konkretnych liczbach

n, l, m

może

pomieścić dwa elektrony różniące się liczbą spinową

m

s

(+1/2 i –1/2)

- orbital

Ψ

n,l,m

m

s

=

2

1



2

1



Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

Elektrony

SPAROWANE

główna

poboczna

(orbitalna)

magnetyczna

spinowa

STRUKTURY ELEKTRONOWE ATOMÓW

1s

2s

3s

3p

x

2p

x

2p

y

2p

z

3p

y

3p

z

H

He

Li

Be

E

B

C

?

Umieszczenie drugiego elektronu na orbitalu 2p

x

wymaga dodatkowej energii (trzeba pokonać
odpychanie się elektronów). Bardziej korzystne jest
umieszczenie ostatniego elektronu na orbitalu 2p

y

.

Daje to całkowity spin = 1.

N

O

F

Ne

Na

Mg

Al

Si

P

S

Cl

Ar

Reguła HUNDA ("maksymalnego spinu")
Elektrony obsadzają orbitale o jednakowej
energii najpierw pojedynczo, ze spinami
ustawionymi równolegle

(elektrony mają tą samą

liczbę spinową

m

s

).

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

1s

2

2s

2

2p

6

liczba elektronów

1s

2

2s

2

2p

2

Skrócony zapis

STRUKTURY (konfiguracji) ELEKTRONOWEJ ATOMU

1s

2s

2p

x

2p

y

2p

z

H

He

Li

Be

B

C

N

O

F

Ne

E

C:

Ne:

1s

2s 2p

3s 3p 3d

4s 4p 4d 4f

5s 5p 5d 5f

6s 6p 6d 6f

7s 7p 7d 7f

Dowolny atom, np: Fe

– numer w układzie okresowym = liczba elektronów =

26

– szereg energetyczny orbitali aż do 26 elektronów

1s

2

Fe:

Suma el.

2

4

10 12

18 20 26

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

3d

6

2s

2

2p

6

3s

2

3p

6

4s

2

1s

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

6

4s

2

3d

6

STRUKTURA (konfiguracja) ELEKTRONOWA JONU

Fe:

Fe

2+

─2e

─

które 2 elektrony należy oderwać?

?

Atom traci elektrony ZEWNĘTRZNE !

1s

2s

2p

3s

4s

5s

3p

4p

5p

3d

4d

1

2

3

4

n =

1s

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

6

3d

6

─1e

─

Fe

3+

1s

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

6

3d

5

Wykład 6 – ORBITALE I LICZBY KWANTOWE

─1e

─

1s

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

6

4s

2

3d

6