Seria: Informatyka
Elementy teorii
niezawodności
Wykład 2
Obiekty proste
nieodnawialne

dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof.

nadzw. WAT

e-mail:[e-mail], tel.

6-837118

Model niezawodnościowy

Jedynym istotnym zdarzeniem w eksploatacji
obiektu prostego nieodnawialnego jest chwila jego
uszkodzenia. Wtedy traci on własność realizacji
przewidzianych funkcji (zadań).

Zmienna T jest

ciągłą i

dodatnią

zmienną losową

oznaczającą

czas życia

obiektu, zatem czas do jego

uszkodzenia. Jest ona

modelem niezawodnościowym

obiektu prostego nieodnawialnego. Charakterystyki
tej

zmiennej

losowej

są

zatem

miarami

niezawodnościowymi

obiektu.

T

t

t

1

1

0

1- oznacza zdatność obiektu
do
wykonywania funkcji

0 – oznacza jego
niezdatność

Miary niezawodności

Miary funkcyjne (zależne od upływającego

czasu)

1.

Dystrybuanta F(t) zmiennej losowej T –
prawdopodobieństwo, że czas do
uszkodzenia obiektu jest mniejszy od zadanej
chwili t

2.

Funkcja niezawodności R(t) -
prawdopodobieństwo, że czas do
uszkodzenia obiektu jest większy od zadanej
chwili t

3.

Gęstość zmiennej losowej T – pokazuje
rozłożenie masy prawdopodobieństwa na
posczególnych wartościach zmiennej losowej





t

T

P

)

t

(

F









t

T

P

)

t

(

R





)

t

(

F

dt

d

)

t

(

f



Miary niezawodności

4.

Funkcja (t) intensywności uszkodzeń

zmiennej losowej T – warunkowa
gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
czasu powstania uszkodzenia w chwili t

5.

Funkcja wiodąca (t) – skumulowany

wskaźnik bazujący na chwilowej
charakterystyce (t)









t

0

du

)

u

(

)

t

(

)

t

(

R

)

t

(

f

)

t

(

F

1

)

t

(

f

)

t

(









Miary niezawodności

6.

Warunkowa funkcja niezawodności R

t

()

–prawdopodobieństwo warunkowe
zdarzenia polegającego na tym, że
obiekt zachowa stan zdatności jeszcze
przez odcinek czasu o długości co
najmniej  pod warunkiem, że do chwili

t nie uszkodził się.

7.

Bezwarunkowe prawdopodobieństwo
P(t,t+ ) braku uszkodzenia w

przedziale czasu (t,t+  )





)

t

(

R

)

t

(

R

1

du

)

u

(

f

)

t

,

t

(

P

t

t































)

t

(

R

)

t

(

R

t

T

P

t

T

P

)

(

R

t



















Miary niezawodności

Miary liczbowe (niezależne od

upływającego czasu)

8.

Wartość oczekiwana E{T} zmiennej
losowej T

Uwaga: całkujemy od 0 – dodatnie zmienne losowe

9.

Wariancja zmiennej losowej T – miara
rozrzutu wokół wartości oczekiwanej

10.

Odchylenie standardowe

 











0

2

dt

)

t

(

f

)

t

(

T

V

 































0

0

0

dt

)

t

(

R

dt

)

t

(

F

1

dt

)

t

(

f

t

T

E

 

 

T

V

dt

)

t

(

f

)

t

(

T

0

2















Miary niezawodności

11.

Kwantyl t

p

zmiennej losowej T – jest

chwilą, dla której dystrybuanta F(t)
osiąga wartość p, zatem jest
rozwiązaniem równania:

Interpretacja geometryczna kwantyla

 

p

t

F

p



t

F(T

)

t

P

p

Typowe rozkłady czasów
zdatności

W teorii i praktyce niezawodności obiektów technicznych
rozważa się szereg typowych rozkładów prawdopodo-
bieństw, jakie przyjmuje się dla czasów zdatności obiektów:

1.Rozkład wykładniczy

0

t

,

e

1

)

t

(

F

t











0

t

,

e

)

t

(

R

t









0

t

,

e

)

t

(

f

t











0

t

,

)

t

(









t

t

,

t

)

t

(









0

t

,

e

)

(

R

t











 





1

T

E

 

2

1

T

V

















 







1

T

Uwaga: proszę zapoznać się z podstawowymi rozkładami
czasów zdatności ze skryptu Korzana. Pomijać dalej
będziemy fakt, że t0 dla charakterystyk czasowych.

 

s

s

f











transformata Laplace’a
gęstości zmiennej
losowej

Typowe rozkłady czasów
zdatności

2.Rozkład

Erlanga

n-tego

rzędu

z

parametrem 

1

0

( )

( ) 1

,

0

!

i

n

t

i

t

F t

e

t

i

l

l

-

-

=

= -

�

�

1)!

-

(n

(n)

,

e

)

n

(

t

)

t

(

f

t

1

n

n

















 









n

T

E

 

2

n

T

V





 







n

T

1

0

( )

( )

!

i

n

t

i

t

R t

e

i

l

l

-

-

=

=

�

 

n

s

s

f























1

1

1

0

( )

( )

( )

!

n n

i

n

i

t

t

t

n

i

l

l

l

-

-

-

=

�

�

=

�

�

G

�

�

�

Typowe rozkłady czasów
zdatności

3.Rozkład gamma z parametrami  i 

dx

e

x

)

n

(

1

)

t

(

F

t

0

x

1



















t

1

e

)

(

t

)

t

(

f



















 











T

E

 

2

T

V







 







 T

 

























s

s

f

dx

e

x

e

t

)

t

(

t

x

1

t

1

























dx

e

x

)

n

(

1

)

t

(

R

t

x

1





















dx

e

x

)

(

0

x

1

















Typowe rozkłady czasów
zdatności

4.Rozkład

Weibulla

(, )











t

e

1

)

t

(

F















t

1

e

t

)

t

(

f

1

t

)

t

(



















t

)

t

(

 















1

)

1

1

(

T

E









t

e

)

t

(

R

5.Rozkład

Rayleigha

()

2

t

e

1

)

t

(

F









2

t

te

2

)

t

(

f









t

2

)

t

(







 







2

1

T

E

2

t

e

)

t

(

R







2

t

)

t

(







 









4

4

T

V

Typowe rozkłady czasów
zdatności

6.Rozkład normalny z parametrami (m,)





dx

e

2

1

)

t

(

F

t

2

m

x

2

2



















 

m

T

E







 

2

T

V





 





 T





2

2

2

m

x

e

2

1

)

t

(

f

















dx

e

2

1

)

t

(

R

t

2

m

x

2

2

























1

t

2

m

x

2

m

x

dx

e

e

)

t

(

2

2

2

2





































Uwaga:

rozkład ten stosować można jedynie wtedy, gdy

m>3. Wtedy ujemne wartości realizacji zmiennej losowej

praktycznie nie występują. W innym przypadku stosujemy
rozkład normalny ucięty w zerze.

Typowe rozkłady czasów
zdatności

7.Rozkład normalny ucięty w zerze (m,)

Weźmy pod uwagę rozkład warunkowy zmiennej
losowej

X,

o rozkładzie normalnym z dystrybuantą F

X

(x), przy

czym warunek ten jest następujący: X>0. Wtedy

Taka dystrybuanta spełnia warunki dystrybuanty
czasu zdatności T, a rozkład T nazywa się rozkładem
normalnym uciętym w zerze













)

0

(

F

1

)

0

(

F

)

t

(

F

0

X

P

t

X

0

P

0

X

/

t

X

P

X

X

X



















0

t

,

)

0

(

F

1

)

0

(

F

)

t

(

F

)

t

(

F

X

X

X









Typowe rozkłady czasów
zdatności

Jeśli przyjmiemy, że

to otrzymujemy dalej

8.

Rozkład mieszaniny

Jeśli mamy n dystrybuant F

k

(t) oraz prawdo-

podobieństwa p

i

takie, że

to mieszaniną zmiennych losowych nazywa się
zmienną losową T o dystrybuancie F(t)

c

1

)

0

(

F

1

X









)

0

(

F

)

t

(

F

c

)

t

(

F

X

X





)

t

(

cf

)

t

(

f

X



)

t

(

cR

)

t

(

R

X



)

t

(

c

)

t

(

X







1

p

n

1

k

k







)

t

(

F

p

)

t

(

F

k

n

1

k

k







)

t

(

f

p

)

t

(

f

k

n

1

k

k







)

t

(

R

p

)

t

(

f

p

)

t

(

k

n

1

k

k

k

n

1

k

k













)

t

(

R

p

)

t

(

R

k

n

1

k

k





