Seria: Informatyka
Metody niezawodności i
eksploatacji
Wykład 8
Efektywność systemów
technicznych

dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof.

nadzw. WAT

e-mail:[e-mail], tel. 6-

837118

Teoria eksploatacji systemów technicznych jest
nauką traktującą o podstawowych procesach
eksploatacji tych systemów, ich identyfikacji,
podstawowych

charakterystykach

ich

eksploatacji,

strategiach

postępowania,

modelach i metodach rozwiązywania zadań
charakterystycznych dla tej dziedziny.

Warto pamiętać, że w skład eksploatacji
systemów

technicznych

wchodzi

szereg

składowych. Do poważniejszych zaliczyć można
między

innymi:

diagnostyka

techniczna,

profilaktyka systemów, metody zapewniania
niezawodności,

sposoby

zwiększania

efektywności systemów, lokalizacja uszkodzeń,
testowanie systemów itd.

Wśród modeli teorii eksploatacji rozróżnić
można:

techniczne

(wykonane

w

innej

„materii”),

analityczne,

symulacyjne,

stochastyczne, statystyczne, algorytmiczne (kody
programowe),

statyczne,

dynamiczne,

przybliżone i adekwatne, itd.

Co to jest system: jest to zbiór elementów
wraz z relacjami, które zachodzą między
tymi elementami.

Co to jest model systemu technicznego: jest
to dowolne materialne lub niematerialne
oddanie funkcjonowania systemu w zakresie
nas interesującym. Budowa modelu musi
mieć swój cel. Z celu modelowania wynika
jego postać, cechy, zmienne opisujące
model,

charakterystyki

i

parametry

stosowane do jego konstrukcji, kryteria
postępowania w zadaniach decyzyjnych, itd.

Z celu modelowania wynikają jednoznacznie
problemy badawcze związane z eksploatacja
systemu technicznego. Na podstawie
problemów

generowane

są

zadania

badawcze lub konstrukcyjne. Wiadomym
stają się podstawowe wyniki, jakie uzyskać
trzeba w wyniku badań przeprowadzonych
na modelach systemu technicznego.

Załóżmy, że w systemie wyodrębniono jego
elementy składowe. Nazywamy je krótko
elementami.

Oznaczmy

przez

E

zbiór

wyodrębnionych

elementów

badanego

systemu.





N

n

2

1

e

,...,

e

,...,

e

,

e

E 

gdzie e

n

jest symbolem n-tego elementu, a N

jest liczbą wyodrębnionych elementów. W
systemach technicznych przyjmuje się, że
każdy z elementów może przebywać w jednym
z jego ściśle określonych stanów. Ich
określenie

jest

więc

koniecznością!

Przyjmijmy więc, że przez S

n

oznaczymy zbiór

stanów, w których przebywać może n-ty
element:

)

S

,...,

S

,...,

S

,

S

(

S

n

n

L

n

l

n

2

n

1

n



gdzie

L

n

– jest licznością zbioru S

n

S

n

l

– jest wybranym, l-tym stanem n-tego

elementu.

Trzeba też odpowiedzieć na pytanie, jaki
jest zbiór stanów, w jakich przebywać może
system. Dla powyższych założeń określić
można, że liczność zbioru stanów systemu
nie może przekroczyć liczby





N

1

n

n

L

Gdyż różne stany systemu generowane mogą
być jedynie różnymi kombinacjami stanów
jego elementów. Zwykle jednak agreguje się
stany systemu wynikające z pojedynczych
zmian stanów jego elementów. Liczba
stanów

systemu

jest

nieomal

zawsze

mniejsza niż podaje to formuła powyższa.
Załóżmy więc, że





L

l

S

S

S

S

S

,...,

,...,

,

2

1



jest zbiorem stanów, w jakich przebywać
może system techniczny.

W poprawnie budowanym modelu systemu
technicznego znane muszą być związki
pomiędzy wystąpieniem konkretnych stanów,
w jakich przebywać mogą elementy systemu i
stanem

całego

systemu.

Związki

te

uwzględniają jednocześnie relacje, jakie
zachodzą między elementami systemu i
formalnie zapiszemy je za pomocą tzw.
strukturalnej funkcji systemu

S

S

:

F

n

N

1

n

X





Funkcja ta pozwala jednoznacznie określić
stan, w jakim przebywa system, w oparciu o
znajomość stanów, w jakich przebywają jego
elementy.

W

złożonych

modelach

funkcjonowania

systemów

technicznych

rozpatruje się najczęściej modele dynamiczne.
Oznacza to, że uwzględnia się fakt zmiany
stanów w czasie przez poszczególne jego
elementy, zatem również przez system. Proces
zmiany stanów systemu i jego elementów
nazywamy właśnie funkcjonowaniem systemu.

W praktyce nie trzeba śledzić wszystkich
zmian stanów systemu i jego elementów.
Przyjmijmy, że T oznacza zbiór chwil
(eksploatacyjnych), w których chcemy znać
stany,

w

jakich

przebywają

elementy

systemu. Stan systemu będzie jednoznacznie
określony dzięki posiadanej strukturalnej
funkcji systemu F. Możemy teraz oznaczyć
przez X

n

(t) funkcje

n

n

S

T

:

X



która definiuje proces przechodzenia
elementu n-tego przez stany ze zbioru S

n

w

interesujących nas chwilach ze zbioru T,
n=1,...,N.

Definiując funkcje wektorową X(t)





T

t

,

)

t

(

X

),...,

t

(

X

),...,

t

(

X

),

t

(

X

)

t

(

X

N

n

2

1





możemy powiedzieć, że definiuje ona łączny
proces przechodzenia wszystkich elementów
systemu przez wyróżnione dla nich stany w
interesujących nas chwilach ze zbioru T.

Proces zmian stanów systemu w chwilach ze
zbioru T definiuje więc jednoznacznie trójka

F

,

T

),

t

(

X

Jeśli

przyjmiemy,

że

przechodzenie

elementów systemu ze stanu na stan ma
charakter stochastyczny, co często ma
miejsce

w

przypadku

systemów

technicznych,

to

funkcja

X(t)

jest

wielowymiarowym procesem stochastycznym
dyskretnym w stanach. Oznaczmy zbiór
możliwych wartości tego procesu przez X.
Zachodzi oczywiście zależność

n

N

1

n

S

X

X





Dla wielu systemów technicznych proces X(t) jest
tak skomplikowany, że analityczne metody
badania charakterystyk tych systemów, nawet
pomimo ewentualnej znajomości szczegółowych
zjawisk zachodzących pomiędzy poszczególnymi
elementami.

Jedną z metod ominięcia tych kłopotów jest
przybliżenie opisu funkcjonowania systemów
technicznych modelami prostszymi. Na ich
podstawie

podejmuje

się

decyzje

o

konieczności

badania

charakterystyk

szczegółowych, co jest kolejnym krokiem w
budowie modeli adekwatnych.

W wykładzie niniejszym przedstawione
zostaną podstawowe modele stochastyczne,
które można użyć do opisu funkcjonowania i
eksploatacji

systemów

technicznych.

Założymy,

że

interesują

nas

modele

dynamiczne i stochastyczne. Upływ czasu i
probabilistyczne

reguły

przechodzenia

elementów

systemu

pomiędzy

stanami

eksploatacyjnymi są nieodzowną cechą
dojrzałych modeli systemów. Dlatego wykład
jest ściśle związany z modelowaniem
stochastycznym

eksploatacji

systemów

technicznych. Modele te mają zazwyczaj tę
cechę, że ich charakterystyki zmieniają się
wraz z upływem czasu.

Do modeli, których przedstawieniu poświęcony
jest niniejszy wykład, należą:

• modele oparte na procesach dyskretnych
Markowa (łańcuchy),

• modele oparte na procesach ciągłych Markowa,
• modele oparte na procesach semimarkowskich
(półmarkowskie),

• modele procesu odnowy,
• modele kolejkowe.

Uwaga: modelami, których nie będziemy omawiać
na wykładzie, są modele symulacyjne. Stanowią
one

ciekawą

propozycję

opisu

systemów

technicznych, na przykład w aspekcie ich
eksploatacji,

w

której

złożoność

systemu

technicznego nie odgrywa istotnej dziś roli.

Warto jeszcze powiedzieć o jednej bardzo
ważnej rzeczy, którą stale podkreślam. Badając
system techniczny nie zastanawiamy się na
ogół

nad

eksploatacją

w

jej

ogólnym

znaczeniu. Zazwyczaj wyodrębniamy pewne
składowe cechy eksploatacyjne. Następnie
budujemy miary ich jakości. Te z kolei
posiadają wartości, które chcemy wyznaczyć.
Proces wyznaczania wartości miar eksploatacji
systemu technicznego bywa złożony i trudny.
Niemniej jednak procedura poniższa jest dla
inżyniera nieodzowna:

• określamy cechy eksploatacyjne systemu,
• określamy miary oddające te cechy,
• opracowujemy metody uzyskiwania wartości
miar eksploatacji systemu technicznego,

• organizujemy proces wyznaczania wartości
wybranych miar,

• analizujemy system analizując miary jego
eksploatacji.

Schemat postępowania w badaniu własności

systemu technicznego :



określenie własności systemu (efektywność,
niezawodność, itd.. )



określenie składowych własności systemu



określenie miar własności (miar efektywności)
systemu



opracowanie metod wyznaczania wartości
miar własności (efektywności) systemu



wyznaczanie wartości miar własności systemu



opis badania własności systemu (efektywności
systemu) przez przedstawienie wyników
analizy uzyskanych wartości miar własności
(efektywności) systemu

Często mamy do czynienia z charakterystykami
mierzalnymi, których wartości da się w prosty
sposób wyznaczyć (zmierzyć). Chociaż są one
nierzadko ważne dla określenia efektywności
systemu, to jednak nie są one interesujące z
badawczego punktu widzenia.
Interesującymi dla nas, z tego punktu widzenia,
są

charakterystyki

lub

wielkości

(cechy

mierzalne) systemu technicznego, które ze
względu na swoją

zmienność, złożoność

lub

losową naturę

w trakcie ich badania traktować

musimy jako

zmienne losowe lub procesy

stochastyczne

.

Warto wyjaśnić niektóre pojęcia z tego zakresu.

Niech :
E – pewien zbiór zdarzeń elementarnych,
T – zbiór wartości, jakie może przyjąć parametr,
wtedy funkcję

X(e,t) eE , tT

X : ET R

nazywamy funkcją losową (procesem
stochastycznym).
X

t

(e) - dla ustalonego t jest zmienną losową

X

e

(t) - dla ustalonego e jest funkcją rzeczywistą

Proces stochastyczny jest więc określony jeśli
określona jest trójka

 X,T,F 

X - zbiór stanów procesu, wartości, jakie może
przyjąć proces X(t) w dowolnej chwili t
T - zbiór wartości parametru t, F - rodzina
dystrybuant FF

Cechy mierzalne systemów technicznych

Dystrybuanty te określone są przez formułę :





 

 

 





n

i

n

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

t

t

t

t

X

X

X

X

F

n

n

i

i

n

i

n

i

,

1

,...,

3

,

2

,

1

,...,

,...,

,...,

,...,

,

;

,...,

,...,

,

1

1

2

1

2

1













Postać przykładowych realizacji procesów
stochastycznych, w zależności od typów
zbiorów stanów procesu lub zbioru wartości
tegoż procesu, przedstawiona jest na folii.

Cechy mierzalne systemów technicznych

Procesy stochastyczne o niezależnych wartościach spełniają formułę :

Procesy stochastyczne o niezależnych
przyrostach spełniają :

 

 

 

 





 





n

i

2

1

0

n

0

i

i

i

n

n

i

i

1

1

0

0

t

...

t

...

t

t

t

x

t

X

P

x

t

X

,...,

x

t

X

,...,

x

t

X

,

x

t

X

P





























dla przyrostów

 

 

 

n

i

t

X

t

X

t

X

i

i

i

,...,

2

,

1

,

1











 

 

 





 





 





























n

i

i

i

n

n

x

t

X

P

x

t

X

P

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

1

0

0

1

1

0

0

,...,

,

Cechy mierzalne systemów technicznych

Procesy stochastyczne Markowa spełniają warunek :

Zatem nie jest to proces, dla którego stan, w
jakim znajdzie się on w chwili t

n

, zależy

jedynie od poprzedniego stanu, a nie zależy od
stanów stanów wcześniejszych. Jest to częsta
pomyłka będąca niezrozumieniem procesów
Markowa. Stan

zależy od stanów poprzednich

,

ale

informacja

o

stanie

bezpośrednio

poprzedzającym

zawiera

w

sobie

całą

informacje, jaką można by uzyskać analizując
poprzednie stany. W sensie formalnym opisuje
to powyższa

równość rozkładów warunkowych

.

































1

1

0

0

2

2

1

1

,..

.,

,





























n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

t

X

x

t

X

P

x

t

X

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

CECHY MIERZALNE SYSTEMÓW TECHNICZNYCH

Uwaga

: często mówi się o obiektach (systemach), że są jednorodne

lub stacjonarne. Niekiedy zaleca się badać właśnie jednorodność lub
stacjonarność systemów. Nic bardziej błędnego. Jest to slang, który
często prowadzi do fatalnych w skutkach konsekwencji.

Cecha mierzalna systemu

(

mierzalna, bo wtedy można mówić o

spełnieniu pewnych formuł

) może posiadać własność jednorodności

lub stacjonarności, lub nie posiadać jej.

Jednorodność

- jest cechą systemu wskazującą na niezmienność

pewnych reguł opisujących zachowanie się systemu wraz z upływem
czasu. Jeśli powtórzą się jakiekolwiek warunki chwilowe, to dalszy
przebieg zdarzeń powinien rządzić się tymi samymi co poprzednio
prawami, co nie oznacza oczywiście, że należy oczekiwać takich
samych realizacji co poprzednio.

Stacjonarność

- jest cechą systemu wskazującą na stałość wartości

pewnych charakterystyk systemu w upływającym czasie. Stałość
wyrażaną w różny sposób.

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW
TECHNICZNYCH

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW
TECHNICZNYCH

Przykład

: (

ilustrujący chyba dobitnie tę tezę

)

Samochód uszkadza się co odcinek czasu o rozkładzie wykładniczym z
odpowiednim parametrem l (model katastroficznych zjawisk). Samochód
starzeje się, zatem jego własność jednorodności i stacjonarności w wielu
aspektach nie może być przez nas uznana.
Proces liczby uszkodzeń do dowolnej chwili t jest procesem Poissona,

 













n

i

i

i

t

l

n

t

N

P

0

t

l

-

,

e

!

)

(

}

{

dla którego wartość oczekiwana liczby uszkodzeń
równa jest

 

t

l

t

N

E





}

{

Zatem ta cecha ta (oczekiwana liczba uszkodzeń)
nie jest stacjonarna.

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW
TECHNICZNYCH

Przykład

: (

ciąg dalszy

)

Jeśli jednak zdefiniujemy interesującą nas charakterystykę jako:
oczekiwana liczbę uszkodzeń liczoną w ustalonym przedziale
czasu, na przykład w jednostce czasu, to jednostkowa liczby
uszkodzeń ma wartość oczekiwaną równą

 

l

t

t

N

E



}

{

Zatem cechy dotyczące tej samej fizycznie
charakterystyki,

bo

liczby

uszkodzeń

liczonej w czasie, chociaż trochę inaczej
zdefiniowane mogą być stacjonarne bądź
nie. Daje to obraz tego, że nie należy mówić
o stacjonarności lub jednorodności systemu,
ale o

stacjonarności bądź jednorodności

cechach mierzalnych

tego systemu.

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW
TECHNICZNYCH

Z formalnego punktu widzenia jednorodne procesy
stochastyczne spełniają warunek :

Natomiast procesy jednorodne Markowa
spełniają :

















 

 

 





0

0

1

1

0

0

1

1

,...,

,...,

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

n

n

n

n

n

n

n

n

















































 

 





 

 





1

n

n

1

n

n

1

n

1

n

n

n

1

n

1

n

n

n

t

t

x

0

X

x

X

P

x

t

X

x

t

X

P

x

t

X

x

t

X

P















































JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW
TECHNICZNYCH









n

t

n

t

x

x

x

F

x

x

x

F

,...,

,

,...,

,

2

1

2

1







Stacjonarność procesów stochastycznych (w wąskim, ścisłym sensie)
Dla procesu stacjonarnego rozpatrzymy wielowymiarowe zmienne
losowe następującej postaci :

   

 



 



















n

n

t

X

t

X

t

X

t

X

t

X

t

X

,...,

,

,...,

,

2

1

2

1

Dla procesów stacjonarnych w wąskim sensie zmienne te
spełniają warunek (dla dowolnych t, v i n) :

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW
TECHNICZNYCH

Stacjonarność

procesów

stochastycznych

(szerokim sensie) definiowana jest za pomocą
momentów procesu i funkcji autokorelacji.
Momentami tymi są :

 

 





 

 





t

X

D

t

t

X

E

t

m

2

2







Wartość
oczekiwana

wariancja

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW
TECHNICZNYCH





   









 

 





 

 













   

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

,

,

posta

ć

ma

cji

autokorela

funkcja

natomiast

,

t

m

t

m

t

t

R

t

m

t

X

t

m

t

X

E

t

t

C

t

X

t

X

E

t

t

R

x

x

x

















Funkcja autokorelacji zdefiniowana jest
następująco :









   

)

(

)

(

,

,

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

t

m

t

m

t

t

R

t

t

x

x















Unormowana funkcja autokorelacji
przedstawiona jest następująco :

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW
TECHNICZNYCH









 













1

2

2

1

,

)

3

t

t

t

t

R

x

 

 













)

2

)

1

2

2





t

m

t

m



















2

1

2

1

,

;

t

t

R

t

t

R

x

x

R

x

(t

1

, t

2

) jest inwariantna względem

przesunięcia w czasie :

Proces jest stacjonarny w szerokim sensie,
gdy :

Zauważmy, że dla procesu stacjonarnego w
wąskim sensie zachodzi :









 













1

2

2

1

,

t

t

t

t

R

x