Jednomiany i sumy

algebraiczne

Przypomnijmy, że wyrażeniami

algebraicznymi nazywamy takie

wyrażenia, w których obok liczb i

znaków działań występują litery.

Na przykład:

10c+19n
15a+7d

Wszystkie wyrażenia algebraiczne

zbudowane są z

jednomianów

, czyli

wyrażeń, które są pojedynczymi

liczbami, pojedynczymi literami lub

iloczynami liczb i liter.

Przykłady jednomianów:

-10xy -28

d

4k 3h

Aby wyrażenie algebraiczne było

czytelne, staramy się jednomiany

uporządkować.

Mnożymy czynniki liczbowe, wynik zwykle

zapisujemy na początku jednomianu.

Iloczyn takich samych czynników

literowych zapisujemy w postaci potęg.

Przykłady:

5ac * 2b²=10ab²c

4c * (-3ab²)=-12ab²c

7yx * 2(-x)y²= -14x²y³

Jeśli w jednomianie występują

pierwiastki, to zwykle te pierwiastki

zapisujemy na końcu.

Na przykład:

b²√5 4d√2

-x³√6

Wyrażenie algebraiczne, które powstaje

przez dodawanie jednomianów,

nazywamy

sumą algebraiczną

.

Jednomiany, które dodajemy, nazywamy

wyrazami sumy

.

Przykłady sum algebraicznych:

-3a³+12a²-5a+1

2x²-xy+2xz

2c-d

Uwaga !

W sumie algebraicznej

-3a³+12a²-5a+1

wyrazami są jednomiany:

-3a³, 12a², -5a, 1

Sumy algebraiczne staramy się

zapisywać w jak najprostszej postaci.

Podkreślamy w jednakowy sposób i

redukujemy wyrazy podobne. My

wyrazy podobne zaznaczyłyśmy takim

samym kolorem.

3x

-

4xy

+

2y

-3-

7x

-

y

+6+

4xy

=-4x+y+3

Przypomnijmy sobie, jak dodajemy i

odejmujemy sumy algebraiczne.

Gdy przed nawiasem jest znak plus,

nawias możemy opuścić.

Przykład:

(4x-y)+(2x+y-7)=4x-y+2x+y-7=6x-7

Gdy przed nawiasem jest znak minus,

opuszczamy nawias, zmieniając

znak każdego wyrażenia z nawiasu

na przeciwny.

Przykład:

(3a+b)-(5a-2b)=3a+b-5a+2b=-

2a+3b

Jaka jest liczba o 6

większą od

kwadratu liczby a

?

Odp. a²=6

Ale to proste ! ;)

Jaka jest liczba 3

razy mniejsza od

połowy liczby c

?

Odp. 0,5c : 3

Brawo ! ;)

Mnożenie jednomianów

przez sumy

Poniższe przykłady pokazują, w jaki

sposób mnożymy jednomian przez

sumę algebraiczną i jak dzielmy sumę

algebraiczną przez liczbę.

Mnożymy jednomian przez każdy

składnik sumy.

-4x*(2x-3)=-8x²+12x

- 4x*2x -4x*(-3)

Dzielimy każdy składnik sumy przez

liczbę.

(12x²=3x=6):6=2x²+0,5x+1

12x²:6 3x:6 6:6

Kolejne przykłady pokazują, jak

wyłączamy przed nawias wspólny

czynnik.

5x²-15xy=5x(x-3y)

5x*x 5x*(-3y)

Zapisz w postaci sumy

algebraicznej:

a) (2x-4xy):2

b) (6a-9ab+1) : (-3)

Odp.

a) x-2xy

b) -2a + 3ab – 1/3

Mnożenie sum

algebraicznych

Na rysunku poniżej przedstawiony jest

prostokąt o bokach a+b i x+y. Pole

tego prostokąta jest równe (a+b)(x+y)

y

x

a

b

Zauważcie, że pole tego prostokąta jest

sumą pól czterech mniejszych

prostokątów, czyli można je też zapisać

w postaci ax+ay+bx+by.

Otrzymujemy więc równość:

(a+b)(x+y)=ax+ay+bx+by

x

a

b

y

Równość ta pokazuję, w jaki sposób

możemy przekształcać iloczyn

dwóch sum algebraicznych.

( + ) * ( + ) =

= * + * + * + *

Mnożymy każdy składnik pierwszej

sumy przez każdy składnik

drugiej sumy.

(2a+7)(x+3)=2ax+6a+7x+21

2a*x 2a*3 7*x

7*3

Wzory skróconego

mnożenia

Rysunek przedstawia kwadrat o boku

a+b czyli o polu równym (a+b)².

a

a

b

b

Zauważ, że pole tego kwadratu jest

sumą pól czterech figur: kwadratu o

boku a, dwóch prostokątów o bokach

a i b oraz kwadratu o boku b. Można

je więc zapisać w postaci a²+2ab+b².

Wynika stąd następująca równość:

(a+b)²=a²+2ab+b²

a

a

b

b

Równość tę możemy też uzasadnić

algebraicznie:

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=

=a²+2ab+b²

Na kolejnych slajdach zapisałyśmy

dwie równości, z których można
skorzystać przy podnoszeniu do

kwadratu sumy oraz różnicy dwóch

liczb. Równości te są nazywane

wzorami skróconego mnożenia.

Kwadrat sumy

dwóch wyrażeń jest

równy kwadratowi pierwszego

wyrażenia plus podwojony iloczyn

pierwszego wyrażenia przez drugie

plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a+b)²=a²+2ab+b²

( + )² = ² + 2* * + ²

Kwadrat różnicy

dwóch wyrażeń jest

równy kwadratowi pierwszego

wyrażenia minus podwojony iloczyn

pierwszego wyrażenia przez drugie

plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a+b)²=a²+2ab+b²

( - )²= ² - 2* * + ²

Przykład:

(5+3a)²=5²+2*5*(3a)²+(3a)²=25+30

a+9a²

² 2* * ²

Iloczyn sumy przez różnicę

tych

samych wyrażeń jest równy różnicy

kwadratów tych wyrażeń.

(a+b)(a-b)=a²-b²

( + )( + )= ²- ²

Przykład:

(3x+y²)(3x-y²)=(3x)²-(y²)²=9x²-(y²)²

² ²

Dziękujemy za uwagę ! 

Pracę wykonały:

Natalia Zwierz

i

Angelika Konopacka