Podstawy analizy 

portfelowej

Teoria portfela

Podstawa 

podejmowania 

decyzji 

inwestycyjnych w warunkach niepewności. 

Decyzje  podejmowane  są  ze  względu  na 

dwa kryteria:

- Dochód  –  mierzony  oczekiwaną  stopą 

zwrotu;

- Ryzyko 

– 

mierzone 

odchyleniem 

standardowym stopy zwrotu.

Inwestor stara się maksymalizować dochód, 

minimalizując ryzyko.

2

Pomiar zależności miedzy 

stopami zwrotu

Korelacja  stóp  zwrotu  –  analiza 

korelacji  odpowiada  na  pytanie  czy 
zmiany  stopy  zwrotu  z  jednej 
inwestycji powiązane są ze zmianami 
stopy zwrotu z innej inwestycji.

3

Współczynnik korelacji

gdzie:
ρ

12

 – współczynnik korelacji stóp zwrotu inwestycji pierwszej i 

drugiej,

m – liczba możliwych stóp zwrotu,
r

i1 

– i-ta możliwa stopa zwrotu inwestycji pierwszej,

r

i2 

– i-ta możliwa stopa zwrotu inwestycji drugiej

p

i

 – prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tej możliwej stopy zwrotu,

E(r) – oczekiwana stopa zwrotu i-tej inwestycji

 





 





 





 





































m

i

m

i

i

i

i

i

m

i

i

i

i

r

E

r

p

r

E

r

p

r

E

r

r

E

r

p

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

12



4

Interpretacja współczynnika 

korelacji

Współczynnik  korelacji  stóp  zwrotu  z  akcji  określa  siłę  i 

kierunek powiązań stóp zwrotu tych akcji. Współczynnik 

korelacji posiada następujące właściwości:

• Przyjmuje wartości z przedziału od -1 do +1.

• Wartość  bezwzględna  wskazuje  na  siłę  powiązań  stóp 

zwrotu.  Im  wyższa  wartość  bezwzględna,  tym 

powiązanie silniejsze.

• Znak  współczynnika  wskazuje  kierunek  powiązań. 

Dodatnia  wartość  oznacza  dodatnią  korelację  akcji 

(wzrostowi/spadkowi 

stopy 

zwrotu 

jednej 

akcji 

towarzyszy  wzrost/spadek  stopy  zwrotu  drugiej  akcji). 

Ujemna  wartość  oznacza  ujemną  korelację  akcji 

(wzrostowi/spadkowi 

stopy 

zwrotu 

jednej 

akcji 

towarzyszy spadek/wzrost stopy zwrotu drugiej akcji),

• Mierzy wyłącznie liniową zależność stóp zwrotu.

5

Kowariancja stóp zwrotu

Kowariancja 

stóp 

zwrotu 

jest 

miarą 

stopnia 

„wzajemnego  ru-chu  w  czasie”  dwóch  stóp  zwrotu  w 
stosunku do ich średniej wartości.

  Dodatnia  kowariancja  oznacza,  że  stopy  zwrotu  z 

dwóch  inwe-stycji  zmieniają  się  w  czasie  w  tym 
samym  kierunku  co  ich  średnie.  Ujemna  kowariancja 
oznacza,  że  stopy  ulegają  zmia-nom  w  odwrotnym 
kierunku niż ich średnie. 

 





 



















m

i

i

i

i

r

E

r

r

E

r

p

Cov

1

2

2

1

1

12

6

Alternatywny zapis współczynnika 

korelacji

2

1

12

12











Cov

7

Współczynnik korelacji z 

próby

 





 





 





 































N

t

N

t

t

t

N

t

t

t

r

E

r

r

E

r

r

E

r

r

E

r

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

12



8

Portfel dwóch spółek – 

oczekiwana stopa zwrotu

R

p

  =  w

1

 × E(r

1

)

 

+  w

2

 × E(r

2

)

 

 
gdzie:
• R

p

 – oczekiwana stopa zwrotu z portfela,

• E(r

1

) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji 1,

• E(r

2

) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji 2,

• w

1

 – udział procentowy akcji 1 w portfelu,

• w

2 

- udział procentowy akcji 2 w portfelu.

9

Wariancja i odchylenie 

standardowe stopy zwrotu

V

p

 = w

12

 × σ

12   

+  w

22

 × σ

22 

 +  2 × w

1

 × w

2

 × σ

1

 × σ 

2  

× ρ(R

1

, 

R

2

)  

= w

12

 × σ

12   

+  w

22

 × σ

22 

 +  2 × w

1

 × w

2

 × Cov

12

 
σ

p

 = V

p

 

 0,5

 
gdzie:
• V

p

 - wariancja portfela,

• σ 

p

 – odchylenie standardowe portfela,

• w

1

 – udział procentowy akcji 1 w portfelu,

• w

2 

- udział procentowy akcji 2 w portfelu.

• σ 

1

– odchylenie standardowe stóp zwrotu akcji 1,

• σ 

2

 – odchylenie standardowe stóp zwrotu akcji 2.

• ρ(R

1

, R

2

) - współczynnik korelacji stóp zwrotu,

 

10

Zadanie 1

Który  z  następujących  dwóch  portfeli  jest 

efektywniejszy:

Portfel  A:  dwa  instrumenty;  oczekiwane  stopy 

zwrotu: r

1

 = 10%, r

2

 = 20%; wagi: w

1

 = 0,3, 

w

2

 = 0,7; odchylenia standardowe: s

1

 = 3%, 

s

2

 = 5%; współczynnik korelacji k = 0,8

Portfel  B:  dwa  instrumenty:  oczekiwane  stopy 

zwrotu: r

1

 = 8%, r

2

 = 15%; wagi: w

1

 = 0,6, w

2

 

= 0,4; odchylenia standardowe: s

1

 = 10%, s

2

 

= 14%; współczynnik korelacji k = (-0,5)

11

Zadanie 2

Doradca inwestycyjny buduje portfel złożony z akcji 
A i B. Spółka A ma oczekiwana stopę zwrotu równą 
10%  z  odchyleniem  standardowym  równym  16% 
zaś  spółka  B  odpowiednio  24%  i  19%.  Zamierzasz 
zainwestować 60% portfela w akcję A i 40% portfela 
w akcje B. Współczynnik korelacji pomiędzy stopami 
zwrotu  z  obu  akcji  wynosi  30%.  Oblicz  ile  wyniesie 
odchylenie  standardowe  tak  skonstruowanego 
portfela.

12

Zadanie  3

Portfel  składa  się  z  akcji  dwóch  spółek  A  oraz  B. 
Udział  akcji  spółki  A  stanowi  70%  a  udział  akcji 
spółki  B  stanowi  pozostałe  30%  wartości  portfela. 
Kowariancja pomiędzy stopą zwrotu z akcji spółki A 
a  stopą  zwrotu  z  akcji  spółki  B  wynosi  0,02. 
Odchylenie standardowe stopy zwrotu z akcji spółki 
A  wynosi  0,08.  Odchylenie  standardowe  stopy 
zwrotu  z  portfela  dwóch  spółek  wynosi  0,12. 
Wyznacz  odchylenie  standardowe  stopy  zwrotu  z 
akcji spółki B.

13

Współczynnik korelacji = 1





2

2

1

1

2

2

2

1

1



























w

w

oraz

w

w

V

p

p

r

p

σ

p

A

B

14

Współczynnik korelacji = -1

15





2

2

1

1

2

2

2

1

1



























w

w

oraz

w

w

V

p

p

r

p

σ

p

A

B

C

D

Portfel o zerowym ryzyku

16

2

1

2

1











w

2

1

1

2











w

Współczynnik korelacji 

-1<ρ<1

17

r

p

σ

p

A

B

C

D

Portfel o minimalnej 

wariancji

18

12

2

1

2

2

2

1

12

2

1

2

2

1

2





































w

12

2

1

2

2

2

1

12

2

1

2

1

2

2





































w

Zadanie 4

Portfel składa się z akcji A i B o zerowej 

korelacji  między  sobą,  zaś  na  rynku 
nie występuje krótka sprzedaż. Oblicz 
udział 

spółki 

A 

w 

portfelu 

charakteryzującym  się  minimalnym 
ryzykiem, 

gdy 

odchylenie 

standardowe  spółki  B  jest  dwu  i 
półkrotnie  większe  od  odchylenia 
standardowego spółki A.

19

Dopuszczenie krótkiej 

sprzedaży, współczynnik 

korelacji = 1

20





2

2

1

1

2

2

2

1

1



























w

w

oraz

w

w

V

p

p

Portfel o zerowym odchyleniu standardowym powstanie dla wag równych:

1

2

2

1











w

1

2

1

2













w

Dopuszczenie krótkiej 

sprzedaży – interpretacja 

graficzna

21

r

p

σ

p

A

B

C

D

Portfel wielu spółek

Autor – Harry Markowitz (1952)
Założenia: Badamy portfel n – spółek, 

gdzie dane są:

• Oczekiwane stopy zwrotu każdej spółki,
• Odchylenia standardowe stopy zwrotu 

każdej spółki

• Współczynniki korelacji stóp zwrotu 

każdej pary spółek

22

Model Markowitza

Teoria Markowitza opiera się na założeniu, 

że 

inwestor 

dysponuje 

pewnym 

kapitałem początkowym, który inwestuje 

w  portfel  papierów  wartościowych  w 

chwili  t  =  0.  W  chwili  t  =  1  inwestor 

sprzedaje 

posiadany 

portfel, 

a 

otrzymany 

kapitał 

zużywa 

na 

konsumpcję lub inwestuje w inny portfel. 

Model  Markowitza  jest  więc  modelem 

jednookresowym.

23

Oczekiwana stopa zwrotu

24

 









n

i

i

i

p

r

E

w

r

1

gdzie:
r

p 

– oczekiwana stopa zwrotu z portfela

w

i 

– udział i-tej spółki w portfelu

E(r

i

) – oczekiwana stopa zwrotu z i-tej spółki

Wariancja stopy zwrotu z 

portfela

gdzie:
V

p

 – wariancja stopy zwrotu portfela

σ

i

 – odchylenie standardowe stopy zwortu i-tej akcji

ρ

ij

 – współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji i-tej i j-

tej

25



 



























n

i

n

i

ij

j

n

i

j

i

j

i

i

i

p

w

w

w

V

1

1

1

1

2

2

2









Odchylenie standardowe stopy 

zwrotu

26



 



























n

i

n

i

ij

j

n

i

j

i

j

i

i

i

p

w

w

w

1

1

1

1

2

2

2











Zadanie 5

Kowariancja  pomiędzy  stopami  zwrotu 

każdej  z  par  akcji  portfela  wynosi 
100,  zaś  wariancja  stopy  zwrotu 
każdej  akcji  wynosi  120.  Ile  wyniesie 
odchylenie 

standardowe 

stopy 

zwrotu  z  portfela  złożonego  z  80 
takich  akcji,  jeśli  udziały  akcji  w 
portfelu są jednakowe (po 1/80)

27

Zbiór możliwości 

(opportunity set)

28

r

p

σ

p

A

B

C

D

E

X

S

T

U

Zbiór efektywny i portfel 

efektywny

Zbiór 

efektywny 

(efficient 

set) 

obejmuje  wszystkie  portfele  leżące 
na krzywej między X i E. 

Portfele  należące  do  tego  zbioru  to 

portfele  efektywne,  czyli  jedyne 
portfele atrakcyjne dla inwestora.

29

Portfel efektywny

Portfel efektywny to portfel, który:
• dla danej oczekiwanej stopy zwrotu 

minimalizuje ryzyka,

• dla danego ryzyka maksymalizuje 

oczekiwaną stopę zwrotu.

30

Wybór portfela a użyteczność 

inwestora

Inwestor  dokonuje  wyboru  portfela 

posługując  się  swoimi  krzywymi 
obojętności 

(indifference 

curves) 

zwanymi  też  krzywymi  jednakowej 
użyteczności (iso-utility curves).

31

Cechy krzywych obojętności

• Wszystkie  portfele  leżące  na  jednej  krzywej 

obojętności  są  jednakowo  pożądane  przez 

inwestora;

• Dwie  krzywe  obojętności  nie  mogą  się 

przecinać;

• Portfel  leżący  na  krzywej  obojętności  leżącej 

bardziej  „na  północny  zachód”  jest  dla 

inwestora  bardziej  pożądany  od  każdego 

portfela z krzywej obojętności leżącej „bardziej 

na południowy wschód”;

• Dla 

każdego 

inwestora 

możliwe 

jest 

wyznaczenie  nieskończonej  liczby  krzywych 

obojętności.

32

Portfel wielu spółek i krzywe 

obojętności

33

r

p

σ

p

A

B

C

D

E

T

S

Model Markowitza - wnioski

Konieczność  dywersyfikacji  portfela  – 

wybór spółek o ujemnych lub niskich 
współczynnikach korelacji.

Kluczowa  jest  nie  liczba  składników 

portfela, 

lecz 

wielkość 

współczynników korelacji.

Ryzyko przedywersyfikowania.

34

Teoria portfela z aktywami 

wolnymi od ryzyka

• James Tobin (1958)

• Budowa portfela dwuskładnikowego 

= portfel akcji + instrument wolny od 
ryzyka

35

Cechy portfela 

dwuskładnikowego

36









e

f

p

e

f

f

f

p

w

r

w

r

w

r





















1

1

gdzie:
r

p 

– oczekiwana stopa zwrotu z portfela dwuskładnikowego

σ

p 

– odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego

r

f 

– stopa wolna od ryzyka

r

e 

– stopa zwrotu z portfela akcji

σ

e 

– odchylenie standardowe portfel akcji

w

f

 – udział instrumentów wolnych od ryzyka w portfelu

Ilustracja graficzna

37

r

p

σ

p

A

B

C

D

E

X

F

M

Linia rynku kapitałowego 

(Capital Market Line – CML)

Zbiór efektywny portfeli dwuskładnikowych 

jest półprostą daną równaniem:

gdzie:
r – oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego,
σ – odchylenie standardowe portfela efektywnego,
r

M

 – oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego,

σ

M

 – odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela 

rynkowego.

38













M

f

M

f

r

r

r

r

Interpretacja linii CML

Oczekiwana  stopa  zwrotu  portfela 

rynkowego 

jest 

liniową 

funkcją 

ryzyka  tego  portfela.  Wyraz  wolny 
równania jest równy stopie wolnej od 
ryzyka,  a  współczynnik  kierunkowy 
zależy  od  stopy  wolnej  od  ryzyka, 
oczekiwanej  stopy  zwrotu  portfela 
rynkowego 

i 

ryzyka 

portfela 

rynkowego.

39

Interpretacja linii CML cd.

Oczekiwana  stopa  zwrotu  jest  sumą  dwóch 

składników:  stopy  wolnej  od  ryzyka  i  premii 
za  ryzyko  czyli  inaczej  sumą  ceny  czasu  i 
ceny ryzyka.

Cena czasu = stopa wolna od ryzyka.
Cena  ryzyka  =  iloczyn  ponoszonego  ryzyka  i 

ceny jednostki ryzyka.

Cena  jednostki  ryzyka  =  iloraz  rynkowej 

premii  za  ryzyko  i  przeciętnego  ryzyka 
ponoszonego na rynku akcji.

40