Modele rynku 

kapitałowego

1

Teoria  optymalnego  portfela  inwestycyjnego 

Markowitza 

ma 

charakter 

modelu 

normatywnego  tzn.  formułuje  zasady 
jakimi  powinien  kierować  się  racjonalny 
inwestor podejmując decyzje inwestycyjne.

Kolejnym  etapem  analizy  jest  budowa 

modelu  określającego  oczekiwaną  stopę 
zwrotu  z  inwestycji  na  rynku,  na  którym 
inwestorzy  postępują  zgodnie  ze  wzorcem 
normatywnym.

2

Model jednoczynnikowy (single index 

model)

• Model  jednoczynnikowy  (Sharpe’a) 

– prezentuje założenie o istnieniu wprost 
proporcjonalnego 

związku 

między 

zmianami cen akcji a zmianami wartości 
portfela 

rynkowego 

(poziomem 

indeksu).  Kształtowanie  się  stóp  zwrotu 
z  akcji  na  rynku  zależy  od  jednego 
ogólnego 

czynnika, 

określanego 

mianem portfela rynkowego

3

Równanie linii 

charakterystycznej (CL)

i

i

i I

i

r

r

a

b

e

= +

+

gdzie:
r

i 

– stopa zwrotu z inwestycji i,

r

I 

– stopa zwrotu z indeksu giełdowego,

α – wyraz wolny,
β – współczynnik beta,
ε – składnik losowy.

4

Interpretacja modelu 

Sharpe’a

Model  Sharpe’a  to  model  liniowej  zależności  stopy 

zwrotu  akcji  (portfela)  od  stopy  zwrotu  z  portfela 
rynkowego (indeksowego).

ε  –  składnik  losowy  modelu  –  efekt  działania 

wszystkich  czynników  niezwiązanych  z  indeksem 
rynku – w praktyce często pomijany.

i

i

i I

r

r

a

b

= +

5

Współczynik β

Współczynnik  β  to  miara  wrażliwości 

stopy zwrotu z  akcji  na stopę zwrotu 
z portfela indeksowego.

2

iI

i

i

iI

I

I

Cov

s

b

r

s

s

=

=

6

Interpretacja współczynnika 

β

• β

i

  <  0  –  stopa  zysku  danej  akcji  zmienia  się  w 

przeciwnym  kierunku  niż  stopa  zysku  indeksu 
giełdowego

• β

i

  =  0  –  stopa  zysku  akcji  nie  jest  zależna  od  zmian 

rynkowych

• 0<β

i

<1  –  stopa  zysku  akcji  słabo  zależy  od  zmian 

rynkowych

• β

i

  =  1  -  stopa  zwrotu  akcji  podlega  takim  samym 

zmianom co indeks giełdowy

• β

i

  >  1  –  stopa  zwrotu  akcji  zmienia  się  szybciej  niż 

stopa  zwrotu  z  indeksu  giełdowego,  są  to  akcje 
agresywne.

7

Współczynnik kierunkowy α

Współczynnik  α  reprezentuje  wartość 

oczekiwaną 

wpływu 

czynników 

niezależnych  od  indeksu  rynkowego 
na stopę zwrotu z inwestycji:

8

( )

( )

i

i

i

I

E r

E r

a

b

=

-

Szacowanie parametrów linii 

CL

gdzie:
r – średnia arytmetyczna stóp zwrotu

9

(

) (

)

(

)

1

2

1

N

it

i

It

I

i

i

N

It

I

i

i

i

i

I

r r

r

r

r

r

r

r

b

a

b

=

=

-

� -

=

-

= -

�

�

�

Współczynnik β portfela

β 

portfela 

to 

średnia 

ważona 

współczynników 

β 

składników 

portfela  gdzie  wagami  są  wartości 
udziałów  poszczególnych  składników 
w portfelu.

10

1

n

p

i

i

i

w

b

b

=

=

�

�

Dekompozycja ryzyka w modelu 

Sharpe’a

gdzie:
     – wariancja składnika losowego

Wariancja 

stopy 

zwrotu 

jest 

sumą 

dwóch 

składników.

11

2

2

2

2

I

e

s

b

s

s

=

� +

2

e

s

Dekompozycja ryzyka 2

Ryzyko 

całkowite 

= 

ryzyko 

systematyczne + ryzyko specyficzne

Ryzyko 

systematyczne 

(rynkowe) 

– 

składnik  zależny  od  współczynnika  β  i 
wariancji stopy zwrotu wskaźnika rynku

Ryzyko  specyficzne  –  składnik  zależny  od 

wariancji składnika losowego

12

Dywersyfikacja portfela

Dywersyfikacja  portfela  prowadzi  do 

eliminacji  ryzyka  specyficznego  i 
uśrednienia ryzyka rynkowego.

Portfel dobrze zdywersyfikowany:

13

2

2

2

p

p

I

s

b

s

=

�

Dywersyfikacja portfela

14

Ryzyko

Liczba spółek

Zadanie 1

Dany  jest  dobrze  zdywersyfikowany  portfel  akcji  o  odchyleniu 
standardowym stopy zwrotu z portfela wynoszącym 20%. Na podstawie 
powyższych danych określ, ile wynosi współczynnik Beta tego portfela, 
jeśli odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela rynkowego wynosi 
16% zaś na rynku spełnione są założenia modelu jednoczynnikowego.

15

Zadanie 2

Współczynnik korelacji pomiędzy stopą 
zwrotu  z  akcji  X  oraz  stopą  zwrotu  z 
portfela  rynkowego  wynosi  0,6.  Na 
podstawie  powyższych  danych  określ, 
jaką  część  ryzyka  całkowitego  akcji  X 
stanowi ryzyko specyficzne.

16

Zadanie 3

Doradca  zarządza  portfelem  indeksowym,  którego 
odchylenie  standardowe  stopy  zwrotu  wynosi  14%. 
Beta  tego  portfela  wynosi  1,2.  Stopa  zwrotu  z  tego 
portfela wynosi 21%, zaś z portfela o Becie równej 1 
stopa zwrotu wynosi 17%. Wariancja stopy zwrotu z 
portfela  rynkowego  wynosi  0,  0121.  Ile  wynosi  w 
przybliżeniu  wartość  ryzyka  specyficznego  tego 
portfela mierzona odchyleniem standardowym?

17

Capital Asset Pricing Model 

(CAPM)

Model  CAPM  (Capital  Assets  Pricing 

Model)  to  model  równowagi  rynku 
kapitałowego. Opisuje on wypadkową 
działań  racjonalnych  inwestorów  na 
rynku kapitałowym a w szczególności 
kształtowanie  się  stóp  zwrotu  (i  cen) 
instrumentów finansowych.

18

Założenia modelu

• Każdy  inwestor  ocenia  portfele  przez  pryzmat  oczekiwanej  stopy  zwrotu  i 

odchylenia  standardowego  stopy  zwrotu  w  horyzoncie  czasowym  jednego 
okresu inwestycyjnego.

• Inwestor  zawsze  wybiera  portfel  o  wyższej  oczekiwanej  stopie  zwrotu  (jeśli 

pozostałe parametry portfeli są jednakowe).

• Inwestor wykazuje awersję do ryzyka a więc zawsze wybiera portfel o niższym 

odchyleniu standardowym (jeśli inne parametry portfeli są jednakowe).

• Poszczególne aktywa są nieskończenie podzielne tak, że inwestor może nabyć 

dowolny ułamek akcji.

• Na rynku dana jest jedna stopa procentowa (stopa wolna od ryzyka), po której 

możliwe jest udzielenie lub zaciągnięcie pożyczki bez ryzyka.

• Dopuszczalna jest nieograniczona krótka sprzedaż papierów wartościowych
• Brak podatków i kosztów transakcyjnych.
• Informacja jest swobodnie i bezpłatnie dostępna dla wszystkich inwestorów.
• Inwestorzy mają jednorodne oczekiwania w odniesieniu do oczekiwanych stóp 

zwrotu, odchyleń standardowych i kowariancji stóp zwrotu z aktywów.

• Pojedynczy  inwestor  nie  jest  w  stanie  wpłynąć  swymi  decyzjami  na  cenę 

papieru wartościowego.

19

Zachowanie inwestorów

Ponieważ  każdy  inwestor  ma  z  założenia  jednakowe  oczekiwania 

odnośnie  oczekiwanych  stóp  zwrotu  i  odchyleń  standardowych 
liniowe  zbiory  efektywne  portfeli  inwestycyjnych  utworzone 
zgodnie  z  metodyką  modelu  Markowitza  są  jednakowe  dla 
każdego inwestora. 

Jedynym  powodem,  dla  którego  poszczególni  inwestorzy  będą 

dokonywali  wyboru  różnych  portfeli  optymalnego  z  jednego, 
wspólnego 

zbioru 

efektywnego 

są 

ich 

zróżnicowane 

indywidualne 

preferencje 

w 

odniesieniu 

do 

ryzyka, 

obrazowanego przez ich indywidualne krzywe obojętności. 

Różnice  te  będą  dotyczyły  jedynie  wielkości  udziału  w  portfelu 

aktywów wolnych od ryzyka lub wykorzystania kredytu na zakup 
papierów  wartościowych,  podczas  gdy  proporcje  udziału 
poszczególnych  aktywów  obciążonych  ryzykiem  w  portfelu 
każdego inwestora będą jednakowe.

20

Zachowanie inwestorów

Inwestorzy  będą  wybierać  portfele 

efektywne leżące na linii CML

Równanie CML nie mówi nic o stopach 

zwrotu  z  portfeli  nieefektywnych 
bądź z pojedynczych aktywów.

21













M

f

M

f

r

r

r

r

Przykład

Portfel

Oczekiwana stopa 

zwrotu (%)

Beta

A

10

1,0

B

12

1,4

C

11

1,2

22

D

13

1,2

E

8

1,2

23

E(r)

β

A

B

C

D

E

Z  powyższego  przykładu  wynika,  że  w 

stanie  równowagi  wszystkie  portfele 
muszą 

leżeć 

na 

linii 

prostej 

wykreślonej 

w 

układzie 

współrzędnych  oczekiwana  stopa 
zwrotu - β

24

Wyznaczanie prostej

Równanie prostej:

Wyznaczenie 

prostej 

wymaga 

identyfikacji 

dwóch 

punktów 

w 

układzie współrzędnych:

25

i

i

r a b b

= + �

Wyznaczanie prostej

Punkt 1: portfel rynkowy (β = 1)

Punkt 2: portfel wolny od ryzyka (β = 0)

26

( )

1

:

M

M

r

a b

czyli

r

a b

= + �

- =

( )

0

f

f

czyli

r

a b

r

a

= + �

=

Linia SML (Securities Market 

Line)

Podstawiając do równania prostej otrzymujemy:

Powyższe  równanie  określa  oczekiwaną  stopę 

zwrotu  z  dowolnego  portfela  aktywów  (nie  tylko 
efektywnego). 

Równanie 

wskazuje 

liniową 

zależność  pomiędzy  oczekiwaną  stopą  zwrotu  a 
ryzykiem rynkowym.

27

(

)

i

fi

M

f

r r

r

r

b

= + �

-

Alternatywny zapis SML

Ponieważ:

Więc możemy zapisać:

Oczekiwana  stopa  zwrotu  z  inwestycji  jest  równa 

sumie  stopy  wolnej  od  ryzyka  oraz  iloczynu 
rynkowej ceny ryzyka i ilości ryzyka w portfelu.

28

2

iM

i

M

Cov

b

s

=

2

M

f

M

f

iM

i

ff

iM

M

M

M

r

r

r

r

Cov

r r

r

Cov

s

s

s

-

-

�

�

�

�

= +

�

= +

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Interpretacja graficzna linii 

SML

29

Ryzyko

β

A

B

C

B’

E

F

M

C’

Porównanie równań linii CML 

i SML

CML  to  równanie  zależności  dochodu  od  ryzyka 

całkowitego dla portfeli efektywnych.

SML  to  równanie  zależności  dochodu  od  ryzyka 

systematycznego 

dla 

portfeli 

dobrze 

wycenionych.

W  obu  przypadkach  stopa  zwrotu  może  byś 

interpretowana  jako  suma  dwóch  składników: 
ceny czasu – stopy wolnej od ryzyka i ceny ryzyka 
wyrażanej jako iloczyn rynkowej premii za ryzyko i 
wielkości ponoszonego ryzyka.

30

Model Zero-Beta CAPM

Model  Fischera  Blacka  zakłada  brak 

aktywów  wolnych  od  ryzyka  lecz 
istnieje  portfel  aktywów  mający  β  = 
0.

31

(

)

z

M

z

r r

r

r

b

= + �

-

Model ICAPM (International CAPM)

Model  ICAPM  uwzględnia  dwie  modyfikacje  –  uwzględnia 

globalny  portfel  akcji  oraz  premie  za  ryzyko  kursów 
walutowych:

gdzie:
r

w 

–  oczekiwana  stopa  zwrotu  globalnego  portfela 

rynkowego

RP

j 

– premia za ryzyko z tytułu kursu waluty j

β

j 

– współczynnik wrażliwości stopy zwrotu na zmiany kursu 

waluty j

32

(

)

1

1

...

f

w

w

f

k

k

r r

r

r

RP

RP

b

b

b

= + � -

+ �

+ + �

Zadanie 4

Linia 

rynku 

papierów 

wartościowych 

(SML) 

określona 

jest 

następującymi  parametrami:  stopa  zwrotu  wolna  od  ryzyka  r

f

  =  6%; 

stopa  zwrotu  z  portfela  rynkowego  R

M

  =  12%.  Doradca  inwestycyjny 

rozważa  zainwestowanie  w  jedną  z  dwóch  akcji  A  lub  B.  Doradca 
obliczył współczynniki β dla akcji A i B, które wynoszą odpowiednio β

a

 = 

0,8  β

b

  =  1,4.  Ponadto  korzystając  z  analizy  fundamentalnej  doradca 

oszacował przyszła stopę zwrotu z akcji A i B odpowiednio: R

a

 = 4%, R

b

 

= 16%. Względem linii papierów wartościowych:

A. akcja A jest przewartościowana, akcja B jest niedowartościowana;
B. akcja A jest niedowartościowana, akcja B jest niedowartościowana;
C. akcja A jest przewartościowana, akcja B jest przewartościowana;
D. akcja A jest niedowartościowana, akcja B jest przewartościowana;

33

Zadanie 5

Dwa papiery wartościowe, których parametry podano 
poniżej,  są wycenione zgodnie  z linią rynku papierów 
wartościowych  (Securities  Market  Line,  SML).  Ile 
wynosi  oczekiwana  stopa  zwrotu  z  papieru  o 
współczynniku beta równym 2,5 wycenionego zgodnie 
z powyższą linią rynku papierów wartościowych.
 

Oczekiwana stopa

Beta

Zwrotu

Papier1

14% 1,5

Papier2

10% 0,5

34

Zadanie 6

Oczekiwana stopa zwrotu z portfela rynkowego wynosi 15%, a 
stopa wolna od ryzyka 7% w skali roku. Beta akcji A wynosi 1,0 
a Beta akcji B wynosi 0,8. Obecna cena akcji A wynosi 25 PLN 
zaś cena akcji B wynosi 40 PLN. Oczekiwane za rok ceny akcji 
(nie uwzględniające dywidendy) wynoszą odpowiednio: 27 PLN 
dla  akcji  A  i  45  PLN  dla  akcji  B.  Akcja  A  wypłaci  za  rok  od 
dzisiaj  1,75  PLN  dywidendy  a  akcja  B  2  PLN  dywidendy. 
Zgodnie  z  modelem  CAPM,  która  z  tych  akcji  jest  dobrze 
wyceniona:
A.Akcja A,
B.Akcja B,
C.Obie akcje,
D.Żadna z tych akcji.

35