Wyznaczanie
obciążalności prądowej
torów prądowych
w aparatach i
okapturzonych
urządzeniach
rozdzielczych
dr inż. Mirosław Pawłot
Rok akademicki –
2014/2015
U-
7
Urządzenia elektryczne
Wyznaczanie
obciążalności prądowej
torów prądowych
w aparatach i
okapturzonych
urządzeniach
rozdzielczych
dr inż. Mirosław Pawłot
Rok akademicki –
2014/2015
U-
7
Urządzenia elektryczne
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Ze względu na różne warunki odprowadzenia ciepła od torów
prądowych aparatów i rozdzielnic można wyróżnić
następujące podstawowe przypadki obliczeniowe:
1. Tory prądowe jednorodne gołe w ;powietrzu lub w SF
6
[Oddawanie ciepła do otoczenia odbywa się przez
promieniowanie i unoszenie; przewodzenie ciepła jest
wówczas znikomo małe];
2. Tory prądowe jednorodne, otoczone warstwą izolacji stałej,
np. odcinki szyn izolowane;
3. Tory prądowe niejednorodne, w których w stanie cieplnie
ustalonym występuje poosiowy przepływ ciepła;
4. Tory prądowe w postaci cewek, np. elektromagnesów.
U-
7
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Rozkład temperatury w stanie ustalonym wzdłuż długości torów
prądowych, w których występuje poosiowy przepływ ciepła: a), b)
tory o zmiennym przekroju, c) tor odcinkowo izolowany
U-
7
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Przykładowy rozkład temperatury w
stanie ustalonym, dla cewki
elektromagnesu.
[Najwyższa temperatura wystąpi
wewnątrz cewki, bliżej tej
powierzchni zewnętrznej,
która ma gorsze warunki
oddawania ciepła]
U-
7
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Rozważmy przewód jednorodny – o stałym obwodzie
zewnętrznym A, stałym przekroju S i długości dostatecznej,
aby można było pominąć przepływ ciepła wzdłuż jego osi.
U-
7
Nagrzewnie długiego przewodu jednorodnego prądem o stałym
natężeniu
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Równanie bilansu cieplnego dla elementu przewodu o długości
Δx i przekroju S, przez który przepływa prąd o wartości
skutecznej I ma postać:
(1)
gdzie:
dq – ilość ciepła wytworzona w rozpatrywanym elemencie
przewodu w czasie dt;
dq
1
– ilość ciepła oddawana do otoczenia przez powierzchnię
zewnętrzną elementu Δx w czasie dt;
dq
2
– ilość ciepła zużyta na nagrzanie elementu Δx w czasie dt
U-
7
2
1
d
d
d
q
q
q
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
W przypadku przepływu poosiowego ciepła o ilości dq
3
równanie bilansu cieplnego przyjmuje postać:
(2)
Składniki równania (1) wyrażają się w postaci:
(3)
gdzie: R
~
- rezystancja elementu przewodu o długości Δx przy
prądzie przemiennym
U-
7
2
1
3
d
d
d
d
q
q
q
q
t
R
I
q
d
d
~
2
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
(4)
gdzie: R_ - rezystancja elementu przewodu o długości Δx przy prądzie
stałym;
ρ – rezystywność materiału przewodu, k
w
=k
o
k
z
– współczynnik wypierania
prądu równy iloczynowi współczynnika naskórkowości k
o
i
współczynnika zbliżenia k
z
.
(5)
gdzie: k – współczynnik oddawania ciepła w drodze promieniowania i
unoszenia;
- temperatura otoczenia spełniająca warunek
U-
7
x
S
k
R
k
R
w
w
~
t
x
kA
q
o
d
d
1
o
'
2
2
o
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
(6)
gdzie: m – masa elementu przewodu o długości Δx; c – ciepło
właściwe materiału przewodu
Przy czym m=SΔxγ gdzie γ – gęstość materiału przewodu.
Równanie bilansu cieplnego (1) przyjmuje zatem postać
następującą:
(7)
U-
7
d
d
2
mc
q
d
d
d
2
S
c
t
kA
t
S
k
I
o
w
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Współczynniki ρ, k
w
, k oraz c są w większym lub mniejszym stopniu
zależne od temperatury. Do dalszych rozważań przyjmuje się
następujące założenia upraszczające:
1. Zależność rezystywności materiału od temperatury ma w
przedziale 0-150
o
C charakter liniowy:
(8)
ogólnie:
(9)
2. Wartości k
w
, k są niezależne od temperatury. Ciepło właściwe c w
małym stopniu zależy od temperatury (10-15 razy mniej niż
rezystywność) Dla ograniczenia błędu wynikającego z przyjęciem
stałych wartości k
w
, k wprowadza się do obliczeń wartości
odpowiadające najwyższej temperaturze pracy toru prądowego
U-
7
o
o
1
o
o
exp
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Po wprowadzeniu zależności (8) do zależności (7) otrzymuje się
równanie bilansu cieplnego w postaci:
(10)
Rozwiązania tego równania zależą od stosunku wyrażeń kA oraz
U-
7
d
d
d
1
2
S
c
t
kA
t
S
k
I
o
o
o
w
w
k
S
I
2
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
(1) Przebieg temperatury w czasie
zmierzający do temp.
ustalonej dla
(2) Przebieg pośredni z liniowym
wzrostem temperatury dla
(3) Przebieg temperatury w
czasie rosnącej szybciej niż
liniowo dla
U-
7
w
o
k
S
I
kA
2
w
o
k
S
I
kA
2
w
o
k
S
I
kA
2
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Przypadki (2) oraz (3) mogą dotyczyć nagrzewania w warunkach
przejściowych.
Długotrwałe obciążenie torów prądowych dopuszczone jest tylko w
przypadku (1) nagrzewania do temperatury ustalonej nie
przekraczającej wartości dopuszczalnej.
Z rozwiązania równania (10) otrzymuje się:
(11)
gdzie: - temperatura początkowa toru prądowego (w chwili załączenia
prądu);
T – stała czasowa nagrzewania
U-
7
T
t
-
T
t
-
2
2
e
e
1
p
w
o
o
w
o
S
k
I
kA
kA
S
k
I
p
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Stała czasowa nagrzewania T:
(12)
Dla czasu t→∞ temperatura przewodu osiąga wartość ustaloną:
(13)
U-
7
kA
S
c
S
k
I
kA
S
c
T
w
o
2
o
w
o
w
o
o
w
o
u
kAS
k
I
S
k
I
kA
kA
S
k
I
t
2
2
2
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Zatem:
(14)
Przy przyrost temperatury względem temperatury otoczenia
wynosi:
(15)
gdzie jest przyrostem temperatury w stanie ustalonym.
Z powyższego równania wynika bezpośrednio, że po upływie czasu równego
jednej stałej czasowej (t=T), przyrost temperatury osiąga wartość:
(16)
Zależność ta pozwala na łatwe i względnie dokładne wyznaczenie wartości T.
U-
7
T
-t
T
-t
e
e
1
p
u
p
p
o
o
T
-t
T
-t
e
1
e
1
u
o
u
o
o
u
u
u
u
T
t
632
,
0
e
1
-1
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Z równania (13) dla w którym jest
dopuszczalnym przyrostem temperatury, wynika
bezpośrednio wzór na obciążalność prądową ciągłą
przewodu jednorodnego gołego z warunku na
nieprzekraczanie temperatury dopuszczalnej:
w postaci:
(17)
U-
7
dop
o
u
dop
dop
o
dop
w
dop
dop
k
kAS
I
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Dla porównania: wzory na obciążalność prądową ciągłą
przewodów jednorodnych izolowanych – odpowiednio o
przekroju kołowym i prostokątnym:
o
Dla przewodu o przekroju kołowym:
(18)
o
Dla przewodu o przekroju prostokątnym:
(19)
U-
7
z
iz
iz
z
w
w
dop
dop
r
k
r
r
k
S
I
1
ln
2
d
h
b
k
h
b
d
k
S
I
iz
iz
w
dop
dop
4
1
2
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Nagrzewanie torów prądowych
jednorodnych o przekroju: a)
kołowym, b) prostokątnym
[S – powierzchnia przekroju
przewodu, -dopuszczalny
przyrost temperatury,
k
w
– współczynnik wypierania
prądu,
λ
iz
– współczynnik
przewodności cieplnej izolacji
toru,
k
iz
– współczynnik oddawania
ciepła z powierzchni izolacji,
- rezystywność materiału
przewodu o temperaturze ]
U-
7
dop
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Dla celów obliczeniowych przebiegi obciążeń zmienne w czasie sprowadza się zwykle do
dwóch idealizowanych przebiegów zastępczych - dorywczego i przerywanego.
U-
7
Zestawienie przebiegów
nagrzewania (i chłodzenia)
torów prądowych dla
obciążenia:
a) ciągłego,
b) dorywczego,
c) przerywanego
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Przyjmując kryterium nie przekraczania temperatury
dopuszczalnej , przy założeniu:
oraz
można wyznaczyć dopuszczalny
prąd przy obciążeniu dorywczym I
d
dla zadanego czasu t
d
(20)
U-
7
S
k
I
kA
w
o
2
o
p
T
t
2
T
t
-
2
d
d
e
1
1
e
1
dop
w
dop
d
I
k
SkA
I
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Dla obciążenia przerywanego, w przypadku równomiernie
powtarzanych obciążeń z przerwami zbyt krótkimi dla
ochłodzenia toru prądowego do temperatury początkowej
otrzymujemy:
(21)
gdzie ; t
p
– czas przepływu prądu =const; t
i
– czas przerwy
(bezprądowy) =const.
U-
7
T
t
T
t
I
I
p
p
p
dop
p
exp
1
exp
1
i
p
p
p
t
t
t
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
Szczególnym przypadkiem nagrzewania toru prądowego jest
kilkusekundowe obciążenie prądami zwarciowymi. Dla tego
przypadku przyjmuje się nagrzewanie adiabatyczne toru, tj.
spełniające równanie bilansowe w postaci:
czyli:
(22)
Po obliczeniach i scałkowaniu w granicach trwania zwarcia T
k
otrzymujemy:
(23)
U-
7
d
d
2
2
x
S
c
t
x
S
k
i
d
d
w
q
q
o
o
o
o
o
o
o
w
o
zw
o
o
o
w
o
T
t
t
k
c
F
F
k
c
t
i
S
zw
k
1
ln
F
:
gdzie
d
1
1
d
1
2
1
0
2
2
1
β
o
– temp. wsp. wzrostu
ciepła właściwego
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
U-
7
Przebiegi nagrzewania (i chłodzenia) toru prądowego prądem zwarciowym
o czasie przepływu T
k
przy temperaturze początkowej
1
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
U-
7
Wartość całki po lewej stronie równania (23) określa się jako:
(24)
gdzie I
th
– prąd zastępczy ustalony, który przepływając przez
przewód w czasie T
k
spowoduje nagrzanie przewodu równe
nagrzaniu od prądu zwarciowego:
(25)
gdzie: k
c
– współczynnik cieplny prądu zwarciowego, I
k
´´ -
wartość początkowa składowej okresowej prądu zwarciowego.
k
th
T
t
t
T
I
S
t
i
S
k
2
2
0
2
2
1
d
1
''
k
c
th
I
k
I
Metoda analityczna
wyznaczania obciążalności
przewodów jednorodnych
U-
7
Zatem:
• Znając I
k
´´, T
k
oraz k
c
wyznacza się wymagany przekrój
przewodu:
(26)
• Znając S oraz T
k
=T
kn
, wyznacza się dopuszczalną wartość
zwarciowej obciążalności cieplnej n-sekundowej:
(27)
1
max
''
min
F
F
T
k
I
S
k
c
k
kn
cn
T
F
F
I
1
max
Metoda sieci cieplnej
wyznaczania obciążalności
prądowej ciągłej
U-
7
Metoda sieci cieplnej TLM (Transmission Line Matrix) polega na
wykorzystywaniu analogii między wielkościami cieplnymi i
elektrycznymi . Pozwala to na tworzenie schematów zastępczych
(analogowych) odwzorowujących na drodze wspomnianych
analogii stan cieplny rozważanego przewodu, aparatu lub
urządzenia rozdzielczego.
Metoda sieci cieplnej
wyznaczania obciążalności
prądowej ciągłej
U-
7
Zestawienie wielkości cieplnych i elektrycznych wykazujących analogie
Wielkości cieplne
Jednost
ki
Wielkości elektryczne
Jednos
tki
Temperatura
Przyrost temperatury
Współczynnik
przewodności cieplnej
Opór cieplny
Przewodność cieplna
Moc cieplna (strumień
cieplny)
Gęstość strumienia
cieplnego
Pojemność cieplna
K,
o
C
K
W/(m∙K)
K/W
W/K
W
W/m
2
J/K
Potencjał
Napięcie
Przewodność właściwa
Rezystancja
Przewodność
Natężenie prądu
Gęstość prądu
Pojemność
V
V
1/(Ω∙m)
Ω
1/Ω
A
A/m
2
F
Metoda sieci cieplnej
wyznaczania obciążalności
prądowej ciągłej
U-
7
a) TLM w zastosowaniu do toru prądowego w przestrzeni nieograniczonej,
b) schemat sieci cieplnej w stanie cieplnym ustalonym
Metoda sieci cieplnej
wyznaczania obciążalności
prądowej ciągłej
U-
7
Dla przewodu gołego prąd obciążenia ciągłego I wyznacza się z
równania schematu analogowego sieci cieplnej:
(28)
gdzie: - wypadkowy opór cieplny dla odbioru
ciepła konwekcyjnego i na drodze promieniowania. P
1
– moc strat
cieplnych z odcinka przewodu szynowego o długości jednostkowej,
ρ
20
– rezystywność materiału przewodu w temperaturze 20
o
C, α –
temperaturowy współczynnik wzrostu rezystywności materiału
przewodu, S – powierzchnia przekroju przewodu.
Oczywiście prąd dopuszczalnego obciążenia wyznaczy się dla
C
20
1
o
1
20
2
1
1
S
l
kI
R
P
R
w
w
o
10
10
10
10
10
10
p
k
p
k
p
k
w
R
R
R
R
R
R
R
dop
o
1