ODEJMOWANIE

ODEJMOWANIE

LICZB

LICZB

NATURALNYCH

NATURALNYCH

Z podstawy programowej o

Z podstawy programowej o

odejmowaniu liczb naturalnych

odejmowaniu liczb naturalnych



Edukacja matematyczna dzieci w wieku

Edukacja matematyczna dzieci w wieku

przedszkolnym musi być połączona z

przedszkolnym musi być połączona z

intensywnym rozwojem myślenia, z

intensywnym rozwojem myślenia, z

kształtowaniem odporności

kształtowaniem odporności

emocjonalnej oraz ćwiczeniami pewnych

emocjonalnej oraz ćwiczeniami pewnych

umiejętności matematycznych.

umiejętności matematycznych.

Najważniejsze są tutaj osobiste

Najważniejsze są tutaj osobiste

doświadczenia dziecka, rozwijające i

doświadczenia dziecka, rozwijające i

doskonalące te umiejętności. Mogą być

doskonalące te umiejętności. Mogą być

tutaj takie słowne ćwiczenia typu:

tutaj takie słowne ćwiczenia typu:

Julka posadziła w ogródku 3

Julka posadziła w ogródku 3

kwiatki. Jak urosły, zerwała

kwiatki. Jak urosły, zerwała

jeden i dała go mamie. Ile

jeden i dała go mamie. Ile

jeszcze zostało kwiatków?

jeszcze zostało kwiatków?

3 – 1 = 2

3 – 1 = 2

W przedszkolu dzieci liczą w zakresie 10. Rozumieją

W przedszkolu dzieci liczą w zakresie 10. Rozumieją

i wykonują proste działania na odejmowanie.

i wykonują proste działania na odejmowanie.

Klasa I

Klasa I

Odejmowanie liczb w zakresie 20 -

Odejmowanie liczb w zakresie 20 -

25

25



Dziecko rozumie dodawanie i odejmowanie

Dziecko rozumie dodawanie i odejmowanie

liczb naturalnych i związek między nimi.

liczb naturalnych i związek między nimi.



Umie odejmować liczby w zakresie 25 (z

Umie odejmować liczby w zakresie 25 (z

wykorzystaniem liczmanów, rysunków, w

wykorzystaniem liczmanów, rysunków, w

pamięci) oraz zapisywać te operacje za

pamięci) oraz zapisywać te operacje za

pomocą symboli matematycznych

pomocą symboli matematycznych



Umie obliczać różnice z przekroczeniem

Umie obliczać różnice z przekroczeniem

progu dziesiątkowego wybranym

progu dziesiątkowego wybranym

sposobem.

sposobem.

Klasa II

Klasa II

Odejmowanie w zakresie 100.

Odejmowanie w zakresie 100.



Dziecko zna terminy: minus, różnica,

Dziecko zna terminy: minus, różnica,

odjemna, odjemnik (bez obowiązku ich

odjemna, odjemnik (bez obowiązku ich

stosowania).

stosowania).



Rozumie, że dodawanie i odejmowanie to

Rozumie, że dodawanie i odejmowanie to

działania wzajemnie odwrotne.

działania wzajemnie odwrotne.



Umie obliczyć różnice liczb: jednocyfrowych;

Umie obliczyć różnice liczb: jednocyfrowych;

jednocyfrowej i dwucyfrowej; dwucyfrowych

jednocyfrowej i dwucyfrowej; dwucyfrowych

w zakresie 100 wybranym sposobem.

w zakresie 100 wybranym sposobem.

Klasa III

Klasa III

Utrwalenie odejmowania w zakresie 100.

Utrwalenie odejmowania w zakresie 100.

Pamięciowe odejmowanie liczb w zakresie

Pamięciowe odejmowanie liczb w zakresie

1000, także sposobem pisemnym.

1000, także sposobem pisemnym.

Odejmowanie liczb w zakresie 10000 (na

Odejmowanie liczb w zakresie 10000 (na

prostych przykładach).

prostych przykładach).



Dziecko zna nazwy liczb w odejmowaniu.

Dziecko zna nazwy liczb w odejmowaniu.



Sprawnie odejmuje wybranym sposobem liczby

Sprawnie odejmuje wybranym sposobem liczby

jednocyfrowe i dwucyfrowe od dwucyfrowych.

jednocyfrowe i dwucyfrowe od dwucyfrowych.



Rozumie związek między dodawaniem i

Rozumie związek między dodawaniem i

odejmowaniem.

odejmowaniem.



Umie odejmować w pamięci w zakresie 1000

Umie odejmować w pamięci w zakresie 1000

wybranym sposobem.

wybranym sposobem.



Wykonuje proste działania w zakresie 10000.

Wykonuje proste działania w zakresie 10000.

Odejmowanie

Odejmowanie



Działanie 7 - 3 = 4, nazywamy odejmowaniem.

Działanie 7 - 3 = 4, nazywamy odejmowaniem.



Liczbę, od której odejmujemy, nazywamy

Liczbę, od której odejmujemy, nazywamy

odjemną

odjemną

.

.



Liczbę, którą odejmujemy, nazywamy

Liczbę, którą odejmujemy, nazywamy

odjemnikiem

odjemnikiem

.

.



Wynik odejmowania nazywamy

Wynik odejmowania nazywamy

różnicą

różnicą

.

.

7 - 3 = 4

7 - 3 = 4

Odjemna Odjemnik Różnica

Odjemna Odjemnik Różnica

Zgodnie z zaleceniem programu dodawanie
pewnej liczby i odejmowanie tej samej liczby
powinni uczniowie rozumieć jako działanie
wzajemnie odwrotne. Na przykład:

3 + 5 = 8

Oznacza to równocześnie, że:

8 – 3 = 5

8 – 5 = 3.

Odejmowanie wprowadzamy na drugiej lub
trzeciej lekcji po zaznajomieniu uczniów z
dodawaniem.

Odejmowanie wprowadzamy na przykładach

Odejmowanie wprowadzamy na przykładach

sytuacji praktycznych:

sytuacji praktycznych:

- zmniejszanie (ujmowanie, ubywanie,

- zmniejszanie (ujmowanie, ubywanie,

skracanie itp.)

skracanie itp.)

- dopełnianie

- dopełnianie



Ujmowanie występuje w następującym

Ujmowanie występuje w następującym

zadaniu:

zadaniu:

Jacek przyniósł w torebce 10 czekoladek.

Jacek przyniósł w torebce 10 czekoladek.

Poczęstował 4 kolegów. Ile czekoladek mu

Poczęstował 4 kolegów. Ile czekoladek mu

zostało?

zostało?

10 – 4 = 6

Bartek miał 8 królików. Dał Monice 3 króliki. Ile
królików mu zostało?

8 – 3 = 5

Jako ujmowanie zinterpretujemy też skracanie
odcinka. Operacja ta wystąpi na przykład w
zadaniu:

Andrzej miał 10 metrów linki i odciął z niej 3
metry. Ile ma jeszcze linki?

10

7

33

10 – 3 = 7



Wprowadzenie odejmowania jako dopełniania może

Wprowadzenie odejmowania jako dopełniania może

odbyć się na działaniach z tzw. „okienkami”. (Możemy

odbyć się na działaniach z tzw. „okienkami”. (Możemy

posłużyć się tutaj metodą konatywną, czyli metodą „prób

posłużyć się tutaj metodą konatywną, czyli metodą „prób

i błędów”).

i błędów”).



Tak na przykład:

Tak na przykład:

Maciek miał 3 znaczki. Wojtek dał mu jeszcze kilka, tak że

Maciek miał 3 znaczki. Wojtek dał mu jeszcze kilka, tak że

Maciek ma teraz 8 znaczków. Ile znaczków dał Maćkowi

Maciek ma teraz 8 znaczków. Ile znaczków dał Maćkowi

Wojtek?

Wojtek?

3 + = 8

3 + = 8

Z tego rodzaju zadaniami dzieci mogą mieć większe

Z tego rodzaju zadaniami dzieci mogą mieć większe

trudności niż w odejmowaniu jako zmniejszanie. Z treści

trudności niż w odejmowaniu jako zmniejszanie. Z treści

zadania nie wynika jasno, że aby obliczyć liczbę

zadania nie wynika jasno, że aby obliczyć liczbę

podarowanych znaczków trzeba wykonać odejmowanie 8 –

podarowanych znaczków trzeba wykonać odejmowanie 8 –

3. Dziecko musi to odkryć w czasie analizy treści zadania.

3. Dziecko musi to odkryć w czasie analizy treści zadania.

Wektorowe interpretowanie odejmowania

Wektorowe interpretowanie odejmowania



Sytuację tą możemy tłumaczyć jako sytuację

Sytuację tą możemy tłumaczyć jako sytuację

odwrotną jak w dodawaniu i także

odwrotną jak w dodawaniu i także

przedstawiamy ją na osi liczbowej. Jednak

przedstawiamy ją na osi liczbowej. Jednak

teraz nie skaczemy zgodnie ze wskazanym

teraz nie skaczemy zgodnie ze wskazanym

wektorem strzałki, a w kierunku przeciwnym.

wektorem strzałki, a w kierunku przeciwnym.

Ten sposób odejmowania można z powodzeniem
wprowadzić w klasie pierwszej. Dzieci powinny mieć
stale pod ręką rysunek osi liczbowej na kartonie, aby
pomagać sobie nim przy wykonywaniu rachunków.
Można użyć w tym samym celu linijki z podziałką.

Odejmowanie jako działanie odwrotne do

Odejmowanie jako działanie odwrotne do

dodawania

dodawania



Tradycyjnie wymaga się od dzieci, aby po wykonaniu

Tradycyjnie wymaga się od dzieci, aby po wykonaniu

odejmowania sprawdzały poprawność rozwiązania za pomocą

odejmowania sprawdzały poprawność rozwiązania za pomocą

odpowiedniego dodawania. Tak samo jest w przypadku

odpowiedniego dodawania. Tak samo jest w przypadku

dodawania – sprawdzamy je za pomocą odejmowania.

dodawania – sprawdzamy je za pomocą odejmowania.

5 – 2 = 3

5 – 2 = 3

działanie jest poprawnie rozwiązane, gdyż

działanie jest poprawnie rozwiązane, gdyż

2 + 3 = 5

2 + 3 = 5

Takie rozwiązywanie ma na celu nie tylko eliminowanie

Takie rozwiązywanie ma na celu nie tylko eliminowanie

błędów i przyzwyczajanie do samokontroli, ale pokazuje i

błędów i przyzwyczajanie do samokontroli, ale pokazuje i

utrwala związek między dodawaniem a odejmowaniem.

utrwala związek między dodawaniem a odejmowaniem.

WNIOSEK: odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania.

WNIOSEK: odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania.

Najtrafniej pokaże to graf:

Najtrafniej pokaże to graf:

20

- 6

14

+ 6

Przykładowe rodzaje zadań i stopniowanie ich

Przykładowe rodzaje zadań i stopniowanie ich

trudności

trudności



W przedszkolu dzieci liczą zazwyczaj zabawki,

W przedszkolu dzieci liczą zazwyczaj zabawki,

klocki, patyczki lub inne rzeczy, dobrze im

klocki, patyczki lub inne rzeczy, dobrze im

znane. Np.:

znane. Np.:

Zosia przyniosła 5 króliczków. Dała 2 Adasiowi. Ile

Zosia przyniosła 5 króliczków. Dała 2 Adasiowi. Ile

zostało króliczków Zosi?

zostało króliczków Zosi?



W szkole podstawowej wprowadza się już

W szkole podstawowej wprowadza się już

konkretne działania na liczbach. Przykłady:

konkretne działania na liczbach. Przykłady:

9 – 5 = 4

9 – 5 = 4

17 – 8 = 9

17 – 8 = 9

17 – 8 = (17 – 7) – 1 = 10 – 1 = 9

17 – 8 = (17 – 7) – 1 = 10 – 1 = 9

Tabelki:

Tabelki:

- 3

- 3

Grafy:

Grafy:

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

12

- 7



Drzewka:

Drzewka:

5

3

7

6

-

+

-



W czasie odejmowania liczb do 100 należy

W czasie odejmowania liczb do 100 należy

wykorzystać:

wykorzystać:

-

Odejmowanie pełnych dziesiątek poprzedzone

Odejmowanie pełnych dziesiątek poprzedzone

analogicznymi działaniami na liczbach pierwszej

analogicznymi działaniami na liczbach pierwszej

dziesiątki, np. 6 – 2 = 4

dziesiątki, np. 6 – 2 = 4

60 – 20 = 40

60 – 20 = 40

-

Odejmowanie liczby jednocyfrowej od dwucyfrowej, np.

Odejmowanie liczby jednocyfrowej od dwucyfrowej, np.

73 – 3 = 70

73 – 3 = 70

73 – 20 = (70 – 20) + 3 = 53

73 – 20 = (70 – 20) + 3 = 53

-

Odejmowanie liczby jednocyfrowej od dwucyfrowej i

Odejmowanie liczby jednocyfrowej od dwucyfrowej i

dwucyfrowych, np. 47 – 6 = 41

dwucyfrowych, np. 47 – 6 = 41

64 – 5 = (64 – 4) – 1 = 59

64 – 5 = (64 – 4) – 1 = 59

38 – 28 = 10

38 – 28 = 10

63 – 54 = (63 – 50) – 4 = 9

63 – 54 = (63 – 50) – 4 = 9



Nauka odejmowania liczb w zakresie

Nauka odejmowania liczb w zakresie

1000.

1000.

-

Odejmowanie pełnymi setkami,

Odejmowanie pełnymi setkami,

dziesiątkami 600 – 300 = 300

dziesiątkami 600 – 300 = 300

630 – 30 = 600

630 – 30 = 600

-

Odejmowanie od liczby trzycyfrowej

Odejmowanie od liczby trzycyfrowej

liczb trzycyfrowych, dwucyfrowych i

liczb trzycyfrowych, dwucyfrowych i

jednocyfrowych 485 – 480 = 5

jednocyfrowych 485 – 480 = 5

327 – 25 = 302

327 – 25 = 302

542 – 3 = 539

542 – 3 = 539



Rozwiązywanie zadań tekstowych, do

Rozwiązywanie zadań tekstowych, do

których można wykorzystywać obliczenia

których można wykorzystywać obliczenia

na kartonikach, osi liczbowej itp.

na kartonikach, osi liczbowej itp.



Rozwiązywanie tabelek prostych i

Rozwiązywanie tabelek prostych i

złożonych, np.

złożonych, np.

a

a

500

500

750

750

b

b

375

375

520

520

1000 -

1000 -

a

a

1000 -

1000 -

b

b

a - b

a - b

Gry matematyczne – duży wybór

Gry matematyczne – duży wybór

propozycji znajdziemy w internecie,

propozycji znajdziemy w internecie,

m.in. na stronie:

m.in. na stronie:

www.gry.pl

www.gry.pl

/matematyka

/matematyka

PRZYKŁADY

PRZYKŁADY

GIER

GIER



Oryginalne

Oryginalne

wykonanie gry

wykonanie gry

matematycznej

matematycznej

w formie

w formie

loteryjki.

loteryjki.

Zadaniem

Zadaniem

grających jest

grających jest

dopasowanie

dopasowanie

karty z

karty z

działaniem do

działaniem do

wyniku na

wyniku na

planszy.

planszy.

BINGO

Głowa

Głowa

pełna

pełna

liczb

liczb



Atrakcyjna gra matematyczna wymaga

Atrakcyjna gra matematyczna wymaga

intensywnego liczenia w pamięci.

intensywnego liczenia w pamięci.

Celem gry jest utworzenie jak

Celem gry jest utworzenie jak

największej ilości prawidłowych równań

największej ilości prawidłowych równań

do liczb wyrzuconych przez 6 kostek.

do liczb wyrzuconych przez 6 kostek.

Istnieje wariant dla mniejszej grupy

Istnieje wariant dla mniejszej grupy

graczy (od 2 do 6 osób) oraz dla grupy

graczy (od 2 do 6 osób) oraz dla grupy

większej niż 6 osób.

większej niż 6 osób.

Zastosowanie:

Zastosowanie:

· utrwalanie liczenia pamięciowego w zakresie 100

· utrwalanie liczenia pamięciowego w zakresie 100

· ćwiczenie wszystkich działań arytmetycznych:

· ćwiczenie wszystkich działań arytmetycznych:

dodawanie,

dodawanie,

odejmowanie, mnożenie i dzielenie

odejmowanie, mnożenie i dzielenie

· szybkość i refleks

· szybkość i refleks

· nauka matematyki w formie atrakcyjnej zabawy

· nauka matematyki w formie atrakcyjnej zabawy

Bibliografia

Bibliografia



„

„

Moja szkoła” program

Moja szkoła” program

zintegrowanej edukacji w klasach I – III.

zintegrowanej edukacji w klasach I – III.



„

„

Moja szkoła” podręczniki do

Moja szkoła” podręczniki do

kształcenia zintegrowanego

kształcenia zintegrowanego



Semadeni „Nauczanie początkowe

Semadeni „Nauczanie początkowe

matematyki”

matematyki”



Podręczniki do matematyki „Smyk liczy

Podręczniki do matematyki „Smyk liczy

w mig”, „Matematyka. Myślę i liczę”

w mig”, „Matematyka. Myślę i liczę”