1

Wykład Powtórzeniowy

Z przykładowymi pytaniami

egzaminacyjnymi

2

Bloki Tematyczne

I.

Statystyka opisowa

a) Pojęcie zmiennej
b) Cztery rodzaje skal pomiarowych:
-

nominalna

- rangowa (porządkowa)
- interwałowa (przedziałowa)
- stosunkowa (ilorazowa)

c) Charakterystyki rozkładu częstości:

-

Skośność

-

Spiczastość (kurtoza)

-

Miary tendencji centralnej ( średnia, mediana, modalna)

-

Miary rozproszenia (wariancja, odchylenie standardowe)

-

Wpływ dodawania wartości stałej lub mnożenia na miary

tendencji centralnej i rozproszenia

d) Standaryzacja wyników (zamiana na wartości „z”)

3

II. Metody badań

•

Podstawowe schematy badawcze
(schemat eksperymentalny vs.
schemat korelacyjny

•

podstawowe plany badań
eksperymentalnych

•

randomizacja pierwszego i
drugiego stopnia

•

regresja do średniej

4

III. Korelacja

• predyktory i zmienne zależne

• diagram rozproszenia (konstrukcja i

wnioskowanie o kierunku zależności,

zauważanie korelacji krzywoliniowych)

• obliczanie r Pearsona, wnioskowanie o

istotności lub braku istotności statystycznej na

podstawie wydruku

• korelacje dla danych na skalach rangowych

(rho Spearmana lub tau Kendalla)

• Korelacje dla danych nominalnych (phi

Pearsona) – związek między współczynnikiem

korelacji phi, a wartością statystyki chi kwadrat

• wnioskowanie o sile, kierunku i istotności

statystycznej na podstawie wydruku

5

IV. Rozkład normalny

- Własności rozkładu normalnego
- Procent przypadków między wartością z =

0, a z =1; między z=1 i z =2

- obliczanie % wyników leżących poniżej i

powyżej wartości ‘z’ na podstawie

podstawowych wartości „z”

- obliczanie wartości wyników surowych

leżących w danym przedziale (np. ile trzeba

zdobyć punktów, aby znaleźć się wśród 5%

najlepszych lub 2,5% najgorszych), gdy

znana jest średnia i odchylenie

standardowe

6

V. Wnioskowanie

statystyczne

•

Próba a populacja. Statystyki a parametry.

•

O populacji wnioskujemy na podstawie
próby, czyli o parametrach na podstawie
statystyk.

•

Centralne twierdzenie graniczne

•

Obliczanie błędu standardowego, na
podstawie odchylenia standardowego i
liczebności próby

•

Pojęcie hipotezy zerowej i hipotezy
alternatywnej (badawczej).

•

Błąd pierwszego rodzaju i błąd drugiego
rodzaju

7

VI. Testy „t” Studenta

•

Rozkład „t” Studenta. Warto pamiętać, że jest to

rodzina rozkładów, które zależą od rozmiaru

próby (N). Gdy N dąży do nieskończoności

rozkład t Studenta zbliża się do rozkładu

normalnego.

•

Trzy rozdaje testu „t” Studenta: test „t” dla

jednej próby oraz prób zależnych i niezależnych:

-

Stopnie swobody

-

Interpretacja wydruku (wartość testu „t”;

istotność, błąd standardowy, poprawny zapis

wyników)

-

Odpowiednie dobranie wersji testu „t” w

zależności od problemu badawczego (dla jednej

próby, dla prób zależnych lub niezależnych)

8

VII. Test chi kwadrat

•

test chi kwadrat dla jednej zmiennej

nominalnej (testowanie częstości

występowania różnych kategorii)

•

test chi kwadrat dla testowania związku

między dwiema skalami nominalnymi

•

obliczanie frekwencji obserwowanych i

obliczanie wartości testu

•

analizowanie istotności na podstawie

wydruku

•

określanie liczby stopni swobody

9

VIII. Testy

nieparametryczne

•

Rozróżnienie testów znaków
(mediany) testów i rangowych

•

Rozróżnienie testów dla prób
zależnych i niezależnych

•

Rangowanie wyników: uwaga na
rangi wiązane

IX Analiza czynnikowa

• Cel analizy czynnikowej i pojęcie

ładunków czynnikowych

• Metody szacowania ilości

czynników (wartości własne, test
osypiska)

• Powód rotacji przy dwóch

czynnikach i większej ich ilości

• Interpretacja czynników

10

X. Jednoczynnikowa analiza

wariancji (również w schemacie

wewnątrz osób)

• hipoteza zerowa
• wewnątrzgrupowa suma

kwadratów i międzygrupowa suma
kwadratów

• stopnie swobody dla wariancji

wewnątrzgrupowej i
międzygrupowej

• test F jako stosunek wariancji

11

X. Jednoczynnikowa analiza

wariancji (również w schemacie

wewnątrz osób)

• testy post-hoc

–

rodzaje testów post-hoc i różnice między nimi

–

określanie ilości podgrup na podstawie wydruku

• porównania planowane

–

porównywanie określonej grupy z inną grupa

–

porównywanie jednej grupy z uśrednioną
wartością dwóch innych grup

• określanie ilości poziomów zmiennej

niezależnej, istotności statystycznej testu F i
liczebności próby na podstawie wydruku

12

XI.Dwuczynnikowa analiza

wariancji w schemacie między

osobami

• trzy rodzaje hipotez zerowych i alternatywnych:

–

pierwszy efekt główny

–

drugi efekt główny

–

efekt interakcyjny

• wariancja wewnątrzgrupowa i międzygrupowa w

dwuczynnikowej analizie wariancji

• stopnie swobody dla wariancji międzygrupowej i

wewnątrzgrupowej w dwuczynnikowej analizie
wariancji

• określanie ilości kategorii (poziomów) zmiennych

niezależnych, istotności statystycznej efektów i
liczebności próby na podstawie wydruku

13

XI.Dwuczynnikowa analiza

wariancji w schemacie między

osobami

• identyfikowanie istotności efektów

głównych i efektów interakcyjnych
na podstawie wydruku oraz
interpretacja wykresów liniowych i
słupkowych

• interpretacja efektów interakcyjnych

poprzez analizę efektów prostych.
Różnica między efektami głównymi a
efektami prostymi

14

15

XII. Wybór odpowiedniego

testu statystycznego

1. Korelacja – r Pearsona, korelacja rangowa lub phi;
2. Odpowiednia wersja testu „t”
3. Test chi kwadrat lub testy nieparametryczne
4. Analiza czynnikowa
5. Jednoczynnikowa analiza wariancji w schemacie między

osobami lub w schemacie wewnątrz osób (powtarzane

pomiary)

6. Dwuczynnikowa analiza wariancji w schemacie między

osobami

w zależności od:

- rodzaju skali pomiarowej

- sformułowania problemu badawczego (badanie

korelacyjne czy eksperymentalne)

- i testowania założeń (test Kołmogorowa-Smirnowa)

16

Kształ rozkładu

• Tadek dostał następujące stopnie

w sesji egzaminacyjnej:
3,3,3,4,4,5. Rozkład ten jest:

–

skośny ujemnie

–

skośny dodatnio

–

symetryczny

–

dwumodalny

17

ROZKLAD1

ROZKLAD1

5,00

4,00

3,00

C

zę

st

oś

ć

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

18

Wykres rozrzutu, korelacja

• U czterech osób badanych zmierzono

poziom reaktywności i poziom wrażliwości

emocjonalnej (im wyższe wyniki na

skalach, tym wyższy poziom odpowiedniej

właściwości). Wyniki na skali reaktywności

wynosiły odpowiednio 75, 65, 60, 80.

Wyniki na skali wrażliwości emocjonalnej

wynosiły odpowiednio 110, 100, 90, 120.

Wykres rozrzutu sugeruje istnienie:

–

silnej korelacji ujemnej

–

silnej korelacji dodatniej

–

słabej korelacji ujemnej

–

zależności krzywoliniowej

19

WRAZLIW

130

120

110

100

90

80

R

E

A

K

T

Y

W

90

80

70

60

50

20

Wykres rozrzutu, korelacja

• U czterech innych osób badanych również

zmierzono poziom reaktywności i poziom

wrażliwości emocjonalnej (im wyższe wyniki

na skalach, tym wyższy poziom odpowiedniej

właściwości). Wyniki na skali reaktywności

wynosiły odpowiednio 65, 68, 70, 60, Wyniki

na skali wrażliwości emocjonalnej wynosiły

odpowiednio 110, 100, 90, 120. Wykres

rozrzutu sugeruje istnienie:

–

silnej korelacji ujemnej

–

silnej korelacji dodatniej

–

słabej korelacji ujemnej

–

zależności krzywoliniowej

21

WRAZLIW

130

120

110

100

90

80

R

E

A

K

T

Y

W

72

70

68

66

64

62

60

58

22

Macierz korelacji

Korelacje

,604
,000

63

,627

,289

,000

,022

63

63

Korelacja Pearsona
Istotność (dwustronna)
N
Korelacja Pearsona
Istotność (dwustronna)
N
Korelacja Pearsona
Istotność (dwustronna)
N

pytanie 1

PYT2

PYT3

pytanie 1

PYT2

PYT3

23

Dotyczy macierzy

korelacji

• Przy założeniu poziomu istotności na

poziomie

p <0,01:

–

Stwierdzono istotną korelację tylko

pomiędzy pyt 2 i 3

–

Stwierdzono istotną korelację pomiędzy

pyt1 i pyt 2, jak również pomiędzy pyt1 i

pyt3

–

Stwierdzono istotną korelację tylko

pomiędzy pyt1 i pyt3

–

Wszystkie korelacje są istotne

24

Rodzaje błędów przy

wnioskowaniu

Ho

prawdziwa

Ho

fałszywa

Nie

odrzucamy

Ho





Błąd II rodzaju

Odrzucamy

Ho



Błąd I rodzaju



25

Analiza wydruków

• W pewnym magazynie proszono

klientów o ocenę atrakcyjności dwóch

wanien różniących się kształtem –

jedna była okrągła, druga zwykła

prostokątna. W badaniu wzięła udział

następująca liczba klientów:

–

9

–

10

–

11

–

12

27

• W pewnym magazynie proszono klientów o ocenę atrakcyjności

dwóch wanien różniących się kształtem – jedna była okrągła,
druga zwykła prostokątna. Chodziło o testowanie hipotezy
(przy założeniu p <0,01), że wanna okrągła będzie bardziej
atrakcyjna niż prostokątna. Na podstawie wydruku można
stwierdzić, że:

–

Kształt nie miał istotnego statystycznie wpływu na atrakcyjność

–

Stwierdzono istotną statystycznie różnicę w zakresie atrakcyjności

–

Wyniki badania są niekonkluzywne ze względu na małą liczbę
badanych

–

Nie można podać poziomu istotności dla tego testu

Test dla prób zależnych

1,833 2,5879

,7470

,1891 3,4776 2,454

11

,032

OKRAGLA - ZWYKLA

Para 1

Średnia

Odchylenie

standardowe

Błąd

standardowy

średniej

Dolna granica Górna granica

95% przedział ufności dla

różnicy średnich

Różnice w próbach zależnych

t

df

Istotność

(dwustronna)

28

• W pewnym magazynie proszono klientów o ocenę

atrakcyjności dwóch wanien różniących się kolorem – jedna

była biała, druga różowa. Chodziło o testowanie hipotezy (p

< 0,05), że oceny te będą różne w zależności od koloru. Który

zapis podsumowujący wyniki analizy jest prawidłowy:

–

test „t” dla prób zależnych wykazał, że wanna okrągła jest nieistotnie

bardziej atrakcyjna niż zwykła t(11) = 2,45; p <0,05

–

test „t” dla prób zależnych wykazał, że wanna okrągła jest istotnie

bardziej atrakcyjna niż zwykła t(11) = 2,45; p <0,01

–

test „t” dla prób zależnych wykazał, że wanna okrągła jest istotnie

bardziej atrakcyjna niż zwykła t(11) = 2,45; p <0,032

–

test „t” dla prób zależnych wykazał, że wanna okrągła jest istotnie

bardziej atrakcyjna niż zwykła, t(11) = 2,45; p <0,05

Test dla prób zależnych

1,833 2,5879

,7470

,1891 3,4776 2,454

11

,032

OKRAGLA - ZWYKLA

Para 1

Średnia

Odchylenie

standardowe

Błąd

standardowy

średniej

Dolna granica Górna granica

95% przedział ufności dla

różnicy średnich

Różnice w próbach zależnych

t

df

Istotność

(dwustronna)

29

Test homogeniczności

wariancji

• W teście t dla grup niezależnych,

uzyskaliśmy następujący wynik w
teście Levena: F=0,15; p=0.58.
Oznacza to, że wariancje w
porównywanych grupach:

–

Są różne

–

Są podobne

–

Są średnie

–

Nic o nich nie wiemy

30

test jednorodności

wariancji

• Przy teście t dla grup

niezależnych, będziemy
odczytywać wyniki z wiersza ‘brak
założenia równości wariancji’ gdy :

–

test Levena jest istotny (p<0,05)

–

test Levena jest niestotny (p>0,05)

–

mamy nierówne liczebnie grupy

–

kiedy nasze dane nie mają rozkładu
normalnego

31

Test t dla grup

niezależnych

• W pewnym eksperymencie, gdzie w

grupie ekperymentalnej i kontrolnej

było po 15 osób, wyniki

przeanalizowano testem t dla grup

niezależnych, odpowiednie stopnie

swobody wynoszą:

–

28

–

14

–

30

–

15

32

Dobór testu

• U pięćdziesięciu skoczków

narciarskich zmierzono poziom
adrenaliny przed skokiem i po skoku.
Wyniki mają rozkład zbliżony do
normalnego. Którym z testów najlepiej
przeanalizować dane:

–

Testem t dla grup niezależnych

–

Testem t dla grup zależnych

–

Testem Wilcoxona

–

Testem Manna - Whitneya

33

Df

• Wartośc df dla testu t dla grup

niezależnych z 20 osobami w
każdym z warunków wynosi

• 18
• 20
• 38
• 40

34

Wielkość próby

• Jaka jest relacja między wielkością

próby a błędem próby:

–

Im większa próba tym większy błąd

próby

–

Im mniejsza próba tym mniejszy błąd

próby

–

Im większa próba tym mniejszy błąd

próby

–

Wielkość próby równa się błędowi

próby

35

Błąd standardowy

• Błąd standardowy to:

–

Pierwiastek ze średniej w próbie

–

Pierwiastek z odchylenia
standardowego

–

Odchylenie standardowe dzielone
przez średnią

–

Odchylenie standardowe dzielone
prze pierwiastek z liczby uczestników
w próbie

36

przekształcenia

• Wartość błędu standardowego

wynosi 5.2, wielkość próbki 9, ile
wynosi odchylenie standardowe:

• 15.6
• 1.73
• 46,8
• 0,556

37

Wartości „z”

• Jeśli w ankiecie miłości do zwierząt

Franek uzyskał wynik 14, wiemy, że

średnia w populacji ogólnej wynosi

20 a odchylenie standardowe 3,

wynik wystandaryzowany Franka

wynosi:

• 2
• -2
• -1,4
• 0

38

chi

2

• Jeśli chcemy przetestować hipotezę,

że studenci SWPS wolą zajęcia
wieczorne od popołudniowych i
porannych, która z analiz będzie
najbardziej odpowiednia?

–

χ

2

2x2, test niezależności

–

χ

2

2x3, test niezależności

–

Χ

2

dla jednej zmiennej

–

Test t dla jednej próby

39

Tabela krzyżowa TEORIA_1 * PLEC

Liczebność

21

210

231

43

127

170

25

99

124

89

436

525

t. transakcyjna

psychoanaliza

t. Maslowa

TEORIA_1

Ogółem

pan

pani

PLEC

Ogółem

• Ile wynosi liczebność oczekiwana dla panów, którzy

wybrali psychoanalizę

–

21,5

–

89

–

28,8

–

170

40

Tabela krzyżowa TEORIA_1 * PLEC

21

210

231

39,2 191,8 231,0

43

127

170

28,8 141,2 170,0

25

99

124

21,0 103,0 124,0

89

436

525

89,0 436,0 525,0

Liczebność

Liczebność oczekiwana

Liczebność

Liczebność oczekiwana

Liczebność

Liczebność oczekiwana

Liczebność

Liczebność oczekiwana

t. transakcyjna

psychoanaliza

t. Maslowa

TEORIA_1

Ogółem

pan

pani

PLEC

Ogółem

103

525

436

124

8

,

28

525

89

170

,

,













M

pani

p

pan

E

E

41

• Wybierz poprawny zapis analizy:

–

χ

2

(2)=19,45; p<0,0001

–

χ

2

(1)=10,43; p=0,001

–

χ

2

(2)=19,45; p<0,001

–

χ

2

(2)=10,43; p<0,01

Testy Chi-kwadrat

19,45

a

2

,000

20,21

2

,000

10,43

1

,001

525

Chi-kwadrat Pearsona

Iloraz wiarygodności

Test związku liniowego

N Ważnych obserwacji

Wartość

df

Istotność

asymptotyczn

a

(dwustronna)

,0% komórek (0) ma liczebność oczekiwaną mniejszą niż 5.
Minimalna liczebność oczekiwana wynosi 21,02.

a.

42

Czas rozpoznawania zdjęć

prowadzących, a ocena

przedmiotu

•

Analiza wydruku, wybierz poprawną odpowiedź:

–

W badaniu wzięło udział 13 osób

–

Wariancje w porównywanych grupach są podobne

–

Uzyskane różnice są nieistotne na poziomie p<0,05

–

Przedział ufności dla różnicy średnich zawiera punkt
zero

Test dla prób niezależnych

2,508 ,139 -3,42

12

,005 -1,49

,4372 -2,4468 -,5418

-3,42 9,298

,007 -1,49

,4372 -2,4784 -,5101

Założono równość
wariancji
Nie założono
równości wariancji

CZAS

F

Istotność

Test Levene'a

jednorodności

wariancji

t

df

Istotność

(dwustronna)

Różnica

średnich

Błąd

standardowy

różnicy

Dolna granica Górna granica

95% przedział ufności dla

różnicy średnich

Test t równości średnich

43

Test t dla grup zależnych

• Ile wynosi błąd

standardowy dla

grupy po_b?

–

0,2938

–

0,0874

–

0,3273

–

0,3928

• Ile wynoszą

stopnie swobody w

tym teście dla grup

zależnych?

–

14

–

13

–

28

–

26

Statystyki dla prób zależnych

5,500

14 1,2247

,3273

3,143

14 1,0995

,2938

PO_B

PRZED_A

Para
1

Średnia

N

Odchylenie

standardowe

Błąd

standardowy

średniej

44

Analiza wydruku

• Na podstawie wyniku testu t możemy powiedzieć,

iż:

–

Na poziomie istotności p<0,001 istnieje związek między
porównywanymi pomiarami

–

Istnieje istotna różnica między porównywanymi
pomiarami

–

Na poziomie istotności p<0,05 nie ma związku między
porównywanymi pomiarami

–

Różnica między pomiarami przed i po jest nieistotna
statystycznie na poziomie p<0,001

Test dla prób zależnych

2,357 1,8232

,4873 1,3044 3,4098 4,837

13

,000

PO_B - PRZED_A

Para 1

Średnia

Odchylenie

standardowe

Błąd

standardowy

średniej

Dolna granica Górna granica

95% przedział ufności dla

różnicy średnich

Różnice w próbach zależnych

t

df

Istotność

(dwustronna)

45

Miary tendencji

centralnych

• W badaniu nad

nierealistycznym

optymizmem wśród

bezrobotnych w jednej

grupie uzyskano

następujące wyniki:

10,7,8,5,8,3,4. Wybierz

poprawną odpowiedź

–

Średnia z tej grupy jest

mniejsza od mediany

–

Modalna równa się

medianie

–

Mediana jest mniejsza od

średniej

–

Średnia i mediana są

sobie równe

46

Dodanie stałej do

wyników

• Staś zastosował w badaniu skalę od -10

do +10, zebrał wyniki i chciał pozbyć się
wartości ujemnych dodał więc do
każdego wyniku 20, co się stało z
miarami rozproszenia:

–

Tak jak miary tendencji centralnej nie
zmieniły się

–

Tak jak średnia uległy zmianie

–

Powiększyły się o dodaną wartość

–

Pozostały takie same jak przy oryginalnych
danych

47

Miary tendencji centralnej

• W badaniu nad nierealistycznym

optymizmem wśród bezrobotnych w
jednej grupie M=3, Me=4,5, Mo=6.
Możemy przypuszczać, iż rozkład
wyników mierzonej zmiennej jest:

–

Skośny dodatnio,

–

Skośny ujemnie

–

Jest dwumodalny

–

Jest symetryczny