Wykład 3 powtórzenie 2010 studenci (1)

background image

8.04.21

1/23

Wykład 3

MATEMATYKA

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY JEDNEJ

ZMIENNEJ

I JEGO ZASTOSOWANIA

Na kolejnych slajdach zamieszczone są

główne treści wykładu. Slajdy z czerwonym

tłem-do zapamiętania.

2010/2011

background image

8.04.21

2/23

Iloraz różnicowy funkcji

f(x) - funkcja określona w pewnym otoczeniu
punktu x

0

.

Ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x

0

X i

przyroście h ( przy czym (x

0

+h)U(x

0;

r) )

nazywamy wyrażenie:

h

)

x

(

f

)

h

x

(

f

)

h

,

x

(

R

0

0

0

background image

8.04.21

3/23

Pochodna funkcji

Def.III.1. Pochodną funkcji f(x) w punkcie x

nazywamy

granicę

skończoną

ilorazu

różnicowego przy h dążącym do zera

• Pochodną f '(x) można również zapisać

h

)

x

(

f

)

h

x

(

f

lim

)

h

,

x

(

R

lim

)

x

(

'

f

0

h

0

h

dx

)

x

(

df

background image

8.04.21

4/23

Interpretacja geometryczna

pochodnej

•Iloraz różnicowy…….. przyrost wartości funkcji do przyrostu
argumentu

•Pochodna ……………. graniczna wartość ilorazu różnicowego

•Kształt wykresu funkcji….. informacja, czy pochodna jest dodatnia,
czy jest

ujemna,

„troszkę większa, czy mniejsza”.

I odwrotnie…

ZNAJĄC

WARTOŚCI

POCHODNEJ

MOŻEMY

WNIOSKOWAĆ O PRZEBIEGU WARTOŚCI FUKCJI,
KREŚLIĆ WYKRES FUNKCJI.

background image

8.04.21

5/23

Podstawowe wzory

pochodnych funkcji

f(x)

f '(x)

x

k

kx

k-1

a

x

a

x

lna

e

x

e

x

log

a

x

ln x

sin x

cos x

x

1

a

ln

1

x

1

cos x

-sin x

tg x

ctg x

arcsin

x

arcco

s x

arctg

x

arcct

g x

x

cos

1

2

x

sin

1

2

2

1

1

x

2

x

1

1

2

x

1

1

2

x

1

1

background image

8.04.21

6/23

Obliczając pochodne

korzystamy z następujących

twierdzeń (I):

Tw.III.1. Jeżeli istnieją f '(x) oraz g'(x), to

• [f(x)  g (x)]'=f '(x)  g'(x)
• [f(x) • g (x)]'=f(x) • g'(x) + f '(x) • g(x)

– jeśli g(x)  0, to

)

x

(

g

)

x

(

f

)

x

(

'

g

)

x

(

g

)

x

(

'

f

)

x

(

g

)

x

(

f

2

'

background image

8.04.21

7/23

Obliczając pochodne

korzystamy z następujących

twierdzeń (II):

Tw.III.2. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli u = g(x)
ma pochodną g’(x) oraz f(u)=y ma pochodną f '(u) ,
to funkcja złożona f(g(x))=y ma pochodną w postaci:

)

x

(

'

g

))

x

(

g

(

'

f

))]'

x

(

g

(

f

[

'

y

PRZYKŁADY OBLICZANIA POCHODNYCH

background image

8.04.21

8/23

Styczna do wykresu funkcji w

punkcie (x, f(x))

• Równanie stycznej

Albo inaczej y = ax + b,; a = tgα,

• Współczynnik kątowy a = tgα =

)

x

x

)(

x

(

'

f

)

x

(

f

y

0

0

0

)

x

)

x

(

f

)

x

(

f

(

x

)

x

(

f

y

0

0

0

0

)

x

(

f

0

background image

8.04.21

9/23

Ekstrema funkcji f(x)

Def.III.3. Mówimy, że f(x) ma w punkcie x

0

maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje
sąsiedztwo punktu x

0

,

S(x

0

,r)

takie, że

 
,

• W dalszej części minimum ( maksimum) będzie

oznaczało minimum (maksimum) lokalne.

)

x

(

f

)

x

(

f

0

)

r

,

x

(

S

x

0

))

x

(

f

)

x

(

f

(

0

background image

8.04.21

10/23

Twierdzenia Rolle’a,

Lagrange’a I

Tw.III.3. (Rolle’a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w

przedziale domkniętym <a,b> , ma pierwszą
pochodną wewnątrz tego przedziału oraz
f(a)=f(b) , to istnieje taki punkt c(a,b), że f

'(c)=0.

Tw.III.4. (Lagrange’a) Jeżeli funkcja f(x) jest

ciągła w przedziale domkniętym <a,b> oraz ma
pierwszą pochodną wewnątrz tego przedziału (x
(a,b)) , to istnieje punkt c(a,b), że f(b) – f(a) =

f '(c)·(b – a)

background image

8.04.21

11/23

Twierdzenia Rolle’a,

Lagrange’a II

• Wniosek:

Monotoniczność

funkcji

jest

równoważna

określonemu znakowi pochodnej funkcji f(x).

• Zakładamy, że (x

2

–x

1

)>0; x

1

, x

2

należą do przedziału A, to:

1

o

  f '(c) > 0  f(x

2

)–f(x

1

) > 0

(funkcja rosnąca w przedziale

A).
2

o

  f '(c) < 0  f(x

2

)–f(x

1

) < 0

(funkcja malejąca w

przedziale A).

 
Tw.III.5. Jeżeli f(x) ma pochodną w zbiorze (a,b) oraz:

-       jeżeli f '(x)>0, dla x(a,b) , to f(x) jest funkcją rosnącą w

(a,b).
-       jeżeli f '(x)<0, dla x(a,b), to f(x) jest funkcją malejącą w

(a,b).


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład 3 powtórzenie 2010 studenci
Wykład 5 2010 studenci
Wykład 5 2010 studenci ppt
Wykład 5 2010 studenci
Wykład 5 2010 studenci ppt
spis wykład I sem 2010
Wyklad 14 2010
GH wykład CZASOWNIK 2 dla studentów
Wyklad 11 2010
Metodologia - wykład 5.12.2010 - dr Cyrański, Metodologia nauk społecznych
WYKŁAD 12 2010
Wykład" 11 2010
2) BHP i Ergonomia wykład 10 2010 Ochrona pracy
wyklad 9 ) 04 2010
3) BHP i Ergonomia wykład 10 2010 Zmęczenie, Materialne warunki pracy
biomedyczne podstawy rozwoju wykład 10 2010

więcej podobnych podstron