13.05.21

1/23

Wykład 3

MATEMATYKA

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY JEDNEJ

ZMIENNEJ

I JEGO ZASTOSOWANIA

Na kolejnych slajdach zamieszczone są

główne treści wykładu. Slajdy z czerwonym

tłem-do zapamiętania.

2010/2011

13.05.21

2/23

Iloraz różnicowy funkcji

f(x) - funkcja określona w pewnym otoczeniu
punktu x

0

.

Ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x

0

X i

przyroście h ( przy czym (x

0

+h)U(x

0;

r) )

nazywamy wyrażenie:

h

)

x

(

f

)

h

x

(

f

)

h

,

x

(

R

0

0

0







13.05.21

3/23

Pochodna funkcji

• Def.III.1. Pochodną funkcji f(x) w punkcie x

nazywamy

granicę

skończoną

ilorazu

różnicowego przy h dążącym do zera

• Pochodną f '(x) można również zapisać

h

)

x

(

f

)

h

x

(

f

lim

)

h

,

x

(

R

lim

)

x

(

'

f

0

h

0

h













dx

)

x

(

df

13.05.21

4/23

Interpretacja geometryczna

pochodnej

•Iloraz różnicowy…….. przyrost wartości funkcji do przyrostu
argumentu

•Pochodna ……………. graniczna wartość ilorazu różnicowego

•Kształt wykresu funkcji….. informacja, czy pochodna jest dodatnia,
czy jest

ujemna,

„troszkę większa, czy mniejsza”.

I odwrotnie…

•ZNAJĄC

WARTOŚCI

POCHODNEJ

MOŻEMY

WNIOSKOWAĆ O PRZEBIEGU WARTOŚCI FUKCJI,
KREŚLIĆ WYKRES FUNKCJI.

13.05.21

5/23

Podstawowe wzory

pochodnych funkcji

f(x)

f '(x)

x

k

kx

k-1

a

x

a

x

lna

e

x

e

x

log

a

x

ln x

sin x

cos x

x

1

a

ln

1



x

1

cos x

-sin x

tg x

ctg x

arcsin

x

arcco

s x

arctg

x

arcct

g x

x

cos

1

2

x

sin

1

2



2

1

1

x



2

x

1

1





2

x

1

1



2

x

1

1





13.05.21

6/23

Obliczając pochodne

korzystamy z następujących

twierdzeń (I):

• Tw.III.1. Jeżeli istnieją f '(x) oraz g'(x), to

• [f(x)  g (x)]'=f '(x)  g'(x)
• [f(x) • g (x)]'=f(x) • g'(x) + f '(x) • g(x)

– jeśli g(x)  0, to

•

)

x

(

g

)

x

(

f

)

x

(

'

g

)

x

(

g

)

x

(

'

f

)

x

(

g

)

x

(

f

2

'

















13.05.21

7/23

Obliczając pochodne

korzystamy z następujących

twierdzeń (II):

•

Tw.III.2. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli u = g(x)
ma pochodną g’(x) oraz f(u)=y ma pochodną f '(u) ,
to funkcja złożona f(g(x))=y ma pochodną w postaci:

)

x

(

'

g

))

x

(

g

(

'

f

))]'

x

(

g

(

f

[

'

y







PRZYKŁADY OBLICZANIA POCHODNYCH

13.05.21

8/23

Styczna do wykresu funkcji w

punkcie (x, f(x))

• Równanie stycznej

Albo inaczej y = ax + b,; a = tgα,

• Współczynnik kątowy a = tgα =

)

x

x

)(

x

(

'

f

)

x

(

f

y

0

0

0







)

x

)

x

(

f

)

x

(

f

(

x

)

x

(

f

y

0

0

0

0















)

x

(

f

0



13.05.21

9/23

Ekstrema funkcji f(x)

• Def.III.3. Mówimy, że f(x) ma w punkcie x

0

maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje
sąsiedztwo punktu x

0

,

S(x

0

,r)

takie, że

 
,

• W dalszej części minimum ( maksimum) będzie

oznaczało minimum (maksimum) lokalne.

)

x

(

f

)

x

(

f

0

)

r

,

x

(

S

x

0







))

x

(

f

)

x

(

f

(

0



13.05.21

10/23

Twierdzenia Rolle’a,

Lagrange’a I

• Tw.III.3. (Rolle’a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w

przedziale domkniętym <a,b> , ma pierwszą
pochodną wewnątrz tego przedziału oraz
f(a)=f(b) , to istnieje taki punkt c(a,b), że f

'(c)=0.

• Tw.III.4. (Lagrange’a) Jeżeli funkcja f(x) jest

ciągła w przedziale domkniętym <a,b> oraz ma
pierwszą pochodną wewnątrz tego przedziału (x
(a,b)) , to istnieje punkt c(a,b), że f(b) – f(a) =

f '(c)·(b – a)

13.05.21

11/23

Twierdzenia Rolle’a,

Lagrange’a II

• Wniosek:

Monotoniczność

funkcji

jest

równoważna

określonemu znakowi pochodnej funkcji f(x).

• Zakładamy, że (x

2

–x

1

)>0; x

1

, x

2

należą do przedziału A, to:

1

o

  f '(c) > 0  f(x

2

)–f(x

1

) > 0

(funkcja rosnąca w przedziale

A).
2

o

  f '(c) < 0  f(x

2

)–f(x

1

) < 0

(funkcja malejąca w

przedziale A).

 
• Tw.III.5. Jeżeli f(x) ma pochodną w zbiorze (a,b) oraz:

-       jeżeli f '(x)>0, dla x(a,b) , to f(x) jest funkcją rosnącą w

(a,b).
-       jeżeli f '(x)<0, dla x(a,b), to f(x) jest funkcją malejącą w

(a,b).