13.05.21
1/23
Wykład 3
MATEMATYKA
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY JEDNEJ
ZMIENNEJ
I JEGO ZASTOSOWANIA
Na kolejnych slajdach zamieszczone są
główne treści wykładu. Slajdy z czerwonym
tłem-do zapamiętania.
2010/2011
13.05.21
1/23
Wykład 3
MATEMATYKA
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY JEDNEJ
ZMIENNEJ
I JEGO ZASTOSOWANIA
Na kolejnych slajdach zamieszczone są
główne treści wykładu. Slajdy z czerwonym
tłem-do zapamiętania.
2010/2011
13.05.21
2/23
Iloraz różnicowy funkcji
f(x) - funkcja określona w pewnym otoczeniu
punktu x
0
.
Ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x
0
X i
przyroście h ( przy czym (x
0
+h)U(x
0;
r) )
nazywamy wyrażenie:
h
)
x
(
f
)
h
x
(
f
)
h
,
x
(
R
0
0
0
13.05.21
3/23
Pochodna funkcji
• Def.III.1. Pochodną funkcji f(x) w punkcie x
nazywamy
granicę
skończoną
ilorazu
różnicowego przy h dążącym do zera
• Pochodną f '(x) można również zapisać
h
)
x
(
f
)
h
x
(
f
lim
)
h
,
x
(
R
lim
)
x
(
'
f
0
h
0
h
dx
)
x
(
df
13.05.21
4/23
Interpretacja geometryczna
pochodnej
•Iloraz różnicowy…….. przyrost wartości funkcji do przyrostu
argumentu
•Pochodna ……………. graniczna wartość ilorazu różnicowego
•Kształt wykresu funkcji….. informacja, czy pochodna jest dodatnia,
czy jest
ujemna,
„troszkę większa, czy mniejsza”.
I odwrotnie…
•ZNAJĄC
WARTOŚCI
POCHODNEJ
MOŻEMY
WNIOSKOWAĆ O PRZEBIEGU WARTOŚCI FUKCJI,
KREŚLIĆ WYKRES FUNKCJI.
13.05.21
5/23
Podstawowe wzory
pochodnych funkcji
f(x)
f '(x)
x
k
kx
k-1
a
x
a
x
lna
e
x
e
x
log
a
x
ln x
sin x
cos x
x
1
a
ln
1
x
1
cos x
-sin x
tg x
ctg x
arcsin
x
arcco
s x
arctg
x
arcct
g x
x
cos
1
2
x
sin
1
2
2
1
1
x
2
x
1
1
2
x
1
1
2
x
1
1
13.05.21
6/23
Obliczając pochodne
korzystamy z następujących
twierdzeń (I):
• Tw.III.1. Jeżeli istnieją f '(x) oraz g'(x), to
• [f(x) g (x)]'=f '(x) g'(x)
• [f(x) • g (x)]'=f(x) • g'(x) + f '(x) • g(x)
– jeśli g(x) 0, to
•
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
(
'
g
)
x
(
g
)
x
(
'
f
)
x
(
g
)
x
(
f
2
'
13.05.21
7/23
Obliczając pochodne
korzystamy z następujących
twierdzeń (II):
•
Tw.III.2. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli u = g(x)
ma pochodną g’(x) oraz f(u)=y ma pochodną f '(u) ,
to funkcja złożona f(g(x))=y ma pochodną w postaci:
)
x
(
'
g
))
x
(
g
(
'
f
))]'
x
(
g
(
f
[
'
y
PRZYKŁADY OBLICZANIA POCHODNYCH
13.05.21
8/23
Styczna do wykresu funkcji w
punkcie (x, f(x))
• Równanie stycznej
Albo inaczej y = ax + b,; a = tgα,
• Współczynnik kątowy a = tgα =
)
x
x
)(
x
(
'
f
)
x
(
f
y
0
0
0
)
x
)
x
(
f
)
x
(
f
(
x
)
x
(
f
y
0
0
0
0
)
x
(
f
0
13.05.21
9/23
Ekstrema funkcji f(x)
• Def.III.3. Mówimy, że f(x) ma w punkcie x
0
maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje
sąsiedztwo punktu x
0
,
S(x
0
,r)
takie, że
,
• W dalszej części minimum ( maksimum) będzie
oznaczało minimum (maksimum) lokalne.
)
x
(
f
)
x
(
f
0
)
r
,
x
(
S
x
0
))
x
(
f
)
x
(
f
(
0
13.05.21
10/23
Twierdzenia Rolle’a,
Lagrange’a I
• Tw.III.3. (Rolle’a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w
przedziale domkniętym <a,b> , ma pierwszą
pochodną wewnątrz tego przedziału oraz
f(a)=f(b) , to istnieje taki punkt c(a,b), że f
'(c)=0.
• Tw.III.4. (Lagrange’a) Jeżeli funkcja f(x) jest
ciągła w przedziale domkniętym <a,b> oraz ma
pierwszą pochodną wewnątrz tego przedziału (x
(a,b)) , to istnieje punkt c(a,b), że f(b) – f(a) =
f '(c)·(b – a)
13.05.21
11/23
Twierdzenia Rolle’a,
Lagrange’a II
• Wniosek:
Monotoniczność
funkcji
jest
równoważna
określonemu znakowi pochodnej funkcji f(x).
• Zakładamy, że (x
2
–x
1
)>0; x
1
, x
2
należą do przedziału A, to:
1
o
f '(c) > 0 f(x
2
)–f(x
1
) > 0
(funkcja rosnąca w przedziale
A).
2
o
f '(c) < 0 f(x
2
)–f(x
1
) < 0
(funkcja malejąca w
przedziale A).
• Tw.III.5. Jeżeli f(x) ma pochodną w zbiorze (a,b) oraz:
- jeżeli f '(x)>0, dla x(a,b) , to f(x) jest funkcją rosnącą w
(a,b).
- jeżeli f '(x)<0, dla x(a,b), to f(x) jest funkcją malejącą w
(a,b).