Wykresy i własności

funkcji

trygonometrycznych

Funkcja y = sin x
Funkcja y = cos x
Funkcja y = tg x
Funkcja y = ctg x

3



4



2



6



0

1

-1

X

Y

A

Wykres funkcji y = sin x

Wykres funkcji

y = sin x

w przedziale



2

;

0

r

y





sin

1



r

3



4



2



3

2





2



2

3



6

5



6



0

1

-
1

X

Y

otrzymujemy przy pomocy okręgu o promieniu 1,
wykorzystując definicję funkcji sinus dowolnego kąta.

zatem

y





sin

(wartości sinusów
są rzędnymi
odpowiednich
punktów na
okręgu)

,

-
1

2





2



2

3



0

1

X

Y

2

5









3

2





Wykres funkcji y = sin x

Dalsze części wykresu sinusoidy otrzymujemy w
wyniku przesunięcia o wektor





0

;

2



k

u

C

k

-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = sin

x

Dziedzina:

Zbiór
wartości:

1

;

1





Y

R

D

f



Miejsca zerowe:

Nieskończenie wiele miejsc zerowych



k

x 

C

k

-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = sin

x

Monotoniczność:

f
malejąca









k

k

x

2

2

;

2

2







































k

k

x

2

2

3

;

2

2

C

k

f
rosnąc
a

-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = sin

x

Wartości dodatnie:

Wartości
ujemne:











k

k

x

2

;

2







 



 0

x

f

C

k











k

k

x

2

;

2





 



 0

x

f

-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = sin

x

Inne własności funkcji:

Funkcja nie jest różnowartościowa:

[Wykres symetryczny względem punktu (0;0)]

Funkcja nieparzysta:

 

 

x

f

x

f







R

x

2

1

,x

x

 

 

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x







-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = sin

x

Funkcja jest okresowa



xR

sin (

x + 2k

) =

sin

x

okresem zasadniczym jest

s = 2

Wykres funkcji y =

cos x

Wykres funkcji

y = cos x

możemy otrzymać

wykorzystując sinusoidę i wzór:











 



x

x

2

sin

cos



R

x

Wystarczy zatem sinusoidę przesunąć
równolegle o wektor











0

;

2



u

-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

u

x

y cos



x

y sin



-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = cos

x

Dziedzina:

Zbiór
wartości:

1

;

1





Y

R

D

f



Miejsca zerowe:

Nieskończenie wiele miejsc zerowych





k

x





2

C

k

-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = cos

x

Monotoniczność:

f
malejąca







k

k

x

2

0

;

2

















k

k

x

2

;

2

0









C

k

f
rosnąc
a

-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = cos

x

Wartości dodatnie:

Wartości
ujemne:











k

k

x

2

;

2







 



 0

x

f

C

k











k

k

x

2

;

2





 



 0

x

f

-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = cos

x

Inne własności funkcji:

Funkcja nie jest różnowartościowa:

[Wykres symetryczny względem osi OY]

Funkcja parzysta:

 

 

x

f

x

f





R

x

2

1

,x

x

 

 

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x







-
1

2





2



2

3



0

1

Y

2

5









3

2





X

Własności funkcji y = cos

x

Funkcja jest okresowa



xR

cos (

x + 2k

) =

cos

x

okresem zasadniczym jest

s = 2

Wykres funkcji y = tg x

Wykres funkcji y
= tg x w
przedziale







2

;

0



3



4



2





6



0

1

-
1

X

Y

otrzymujemy przy
pomocy okręgu o
promieniu 1
i środku A(-1; 0),
wykorzystując
definicję funkcji
tangens kąta ostrego.

A

Wykres funkcji y = tg x

Wykres funkcji y
= tg x w
przedziale

0

;

2





 



3



4



2



6



0

1

-
1

X

Y

otrzymujemy
wykorzystując
nieparzystość funkcji
tangens, a zatem f(-x)
= -f(x),
gdy

2





3

3

3

3



3

3













 



2

;

2





x

Wykres funkcji y = tg x

Kolejne części
wykresu
otrzymujemy
wykorzystując
okresowość
funkcji tangens,
a zatem wartości
powtórzą się co



3



4



2



6



0

1

-
1

X

Y

2





3

3

3

3



3

3









2

3



Własności funkcji y = tg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3



2

3





2

5





2





2

Dziedzina:











 







k

R

D

f

2

\

C

k

Zbiór wartości:

R

Y 

Własności funkcji y = tg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3



2

3





2

5





2





2

Miejsca zerowe:



k

x 

C

k

Nieskończenie wiele miejsc zerowych

Własności funkcji y = tg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3



2

3





2

5





2





2

Monotoniczność:





























k

k

x

2

;

2

C

k

funkcja rosnąca <=>

Własności funkcji y = tg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3



2

3





2

5





2





2

Wartości dodatnie i ujemne:

 



 0

x

f

C

k











k

k

x





2

;

 



 0

x

f













k

k

x







;

2

Własności funkcji y = tg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3



2

3





2

5





2





2

Funkcja nieparzysta:

[Wykres symetryczny względem punktu (0;0)]

 

 

x

f

x

f







D

x

3

3



Własności funkcji y = tg x

Funkcja nie jest różnowartościowa:

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3



2

3





2

5





2





2

2

1

,x

x

 

 

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x







Własności funkcji y = tg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3



2

3





2

5





2





2

Funkcja jest okresowa



xD

tg (

x + k

) =

tg

x

okresem zasadniczym jest

s = 

Wykres funkcji y = ctg x

X

2



0

1

-1

Y

2











2

3



Wykres funkcji y = ctg x otrzymujemy z wykresu
funkcji y = tg x, wykorzystując wzór











 





2



x

tg

ctgx

Zatem cotangensoida jest obrazem wykresu
funkcji tangens powstałym w złożeniu
przesunięcia o wektor











0

;

2



w



i symetrii względem osi

OX

tgx

y 











 



2



x

tg

y

ctgx

y 

Własności funkcji y = ctg x

Dziedzina:

 



k

R

D

f

\



C

k

Zbiór wartości:

R

Y 

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3





2



2



2

3





Własności funkcji y = ctg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3





2



2



2

3





Miejsca zerowe:





k

x





2

C

k

Nieskończenie wiele miejsc zerowych

Własności funkcji y = ctg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3





2



2



2

3





Monotoniczność:











k

k

x





;

C

k

funkcja malejąca <=>

Własności funkcji y = ctg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3





2



2



2

3





Wartości dodatnie i ujemne:

 



 0

x

f

C

k











k

k

x





2

;

 



 0

x

f













k

k

x







;

2

Własności funkcji y = ctg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3





2



2



2

3





Funkcja nieparzysta:

[Wykres symetryczny względem punktu (0;0)]

 

 

x

f

x

f







D

x

Własności funkcji y = ctg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3





2



2



2

3





Funkcja nie jest różnowartościowa:

2

1

,x

x

 

 

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x







Własności funkcji y = ctg x

2



0

1

-1

X

Y

2











2

3





2



2



2

3





Funkcja jest okresowa



xD

ctg (

x + k

) =

ctg

x

okresem zasadniczym jest

s = 

Zadania

Rozwiąż zadania: 1, 2 str. 84, 1,
2 str. 90,

1, 2 str. 97 z

podręcznika.