66

Wykresy i własno

ś

ci funkcji trygonometrycznych

Zad. 1:

Dana jest funkcja

(

)

f x

x

( )

sin

=

− +

2

1

3

π

, której dziedziną jest przedział 〈0;3

π

〉.

a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f .
b) Naszkicuj wykresy funkcji y = f(x) i y =

|

f(x)

|

.

c) Naszkicuj wykres funkcji, która każdemu argumentowi m przyporządkowuje liczbę roz-
wiązań równania

|

f(x)

|

= m.

Odp.: a) x

x

x

=

=

=

π

π

π

6

3
2

13

6

,

lub

.

Zad. 2:

Dana jest funkcja f(x) = a cos(x + c)cos x + b, gdzie:

(

)

a

x

tgx

x

=

−

→

lim

sin

π

4

2

4 1

,

( )

b

g

=

'

π

2

dla

g(x) = cos x, c

∈

(0;

π

) i sin c = 1. Naszkicuj wykres funkcji f dla

x

∈ − π π

;

3
2

. Określ

liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zależności od wartości parametru m.

Odp.: a = 2, b = –1, c

=

π

2

;

(

)

(

)

f x

x

x

x

( )

cos

cos

sin

=

+

− = − +

2

1

1

2

2

π

. Równanie f(x) = m

nie ma pierwiastków dla m

∈

(–

∞

;–2)

∪

(0;+

∞

), ma dwa pierwiastki dla m = 0, ma trzy

pierwiastki dla m = –2, ma cztery pierwiastki dla m

∈

(–1;0), ma sześć pierwiastków dla

m

∈

(–2;–1〉.

Zad. 3: (profil matematyczno-fizyczny)
Dana jest funkcja f(x) = acos(x + c)

⋅

|

cosx

|

+ b, gdzie: a jest pierwiastkiem równania

(0,2)

x – 4

= 25, b

= − − − − +

1
3

2
9

4

27

8

81

K

,

(

)

c

x

dx

=

−

−

∫

π

1

1

0

. Naszkicuj wykres funkcji y = f(x)

dla

x

∈ − π π

;

3
2

oraz określ liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zależności od warto-

ś

ci parametru m.

Odp.: a = 2, b = –1, c

= −

3
2

π

. Równanie f(x) = m nie ma pierwiastków dla m

∈

(–

∞

;–2)

∪

∪

(0;+

∞

), ma dwa pierwiastki dla m = –2, ma trzy pierwiastki dla m = 0, ma cztery pierwiast-

ki dla m

∈

(–2;–1), ma sześć pierwiastków dla m

∈

〈–1;0).

Zad. 4:

Dana jest funkcja f x

x

x

x

( )

sin

sin

sin

=

−

2

.

a) Narysuj wykres funkcji

f dla argumentów z przedziału (–

π

;2

π

).

b) Rozwiąż nierówność f(x) > 0 dla x

∈

(–

π

;2

π

).

Odp.: a) f(x) = 2cos x – 1 dla x

∈

(–

π

;2

π

) \ {0,

π

}; b)

(

) ( )

(

)

x

∈ −

∪

∪

π

π

π π

3

3

5
3

0

0

2

;

;

;

.

Zad. 5:

Dana jest funkcja f(x) = sin(x + a) + b, gdzie:

( )

a

b

∈

=

=

0

2

2

2

2

7
6

;

, cos

,

sin

π

α

π

,

x

∈ −

π

π

2

5
2

;

. Znajdź

a i b, a następnie naszkicuj wykres funkcji f . Określ, dla jakich warto-

ś

ci parametru

m równanie f(x) = m ma jeden pierwiastek.

Odp.: a

=

π

4

, b = –1;

(

)

f x

x

( )

sin

=

+ −

π

4

1

dla

x

∈ −

π

π

2

5
2

;

. Równanie f(x) = m ma jeden

67

pierwiastek dla m = –2.

Zad. 6:

Znajdź dziedzinę funkcji

x

x

x

h

2

4

3

2

1

sin

1

sin

)

(

−

+

−

=

dla x

∈

〈0;2

π

〉.

Odp.:

)

(

)

(

x

∈

∪

∪

π π

π

π

π π

6

3

3

2
3

2
3

5
6

;

;

;

.

Zad. 7:
Oblicz z definicji funkcji trygonometrycznych

0

0

0

0

ctg90

,

tg90

,

270

sin

,

180

cos

.

Zad. 8:
Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych argumentu x, gdy:

a)













∈

=

π

π

2

,

2

3

,

17

15

cos

x

x

;

b)













∈

−

=

π

π

,

2

,

4

3

tg

x

x

.

Zad. 9:
Naszkicuj wykresy funkcji i na podstawie wykresu omów jej własności:
a)

x

x

f

3

cos

4

2

)

(

+

−

=

;

b)

x

x

f

sin

)

(

=

;

c)

x

x

f

2

sin

)

(

−

=

;

d)

1

4

cos

)

(

−













−

=

π

x

x

f

;

e)

x

x

f

2

1

sin

2

)

(

=

;

f)

x

x

x

f

cos

cos

)

(

+

=

.