14a. Zmienne pole

elektromagnetyczne

Elektromagnetyzm

Równania Maxwella

14.7. Równania Maxwella

 

Z dotychczasowych rozważań wiemy, że zmiana

pola magnetycznego powoduje powstawanie pola
elektrycznego (prawo Faradaya)

Z kolei z prawa Ampere’a (wzór (6.3)) wynika, że









C

B

dt

d

s

d

E

















S

d

j

s

d

B

C

o











przy czym oznacza gęstość prądu przewodzenia.

W następnym punkcie wykazujemy, że w przypadku
zmieniającego się pola elektrycznego, do prawej strony
ostatniego równania należy dodać człon

, a więc człon analogiczny do

występujący w prawie Faradaya.

j



dt

/

Φ

d

)

c

/

(

E

2

1

dt

/

d

B



14.7.1. Prąd przesunięcia

r

r

E

A

c

I

I

I

I

S

S

’

P

P

Rys. 7.9. Przez kondensator o płytkach kołowych płynie prąd. (a) Pole
elektryczne między okładkami kondensatora, prąd I przecina powierzchnię
S ograniczoną przerywaną linią. (b) Wygięta powierzchnia S' napięta na tej
linii nie przecinana prądem I.

Rozważymy przykład zilustrowany na rys. 7.9.
Kondensator z płytkami o kształcie kołowym ładowany
jest prądem I, który przenosi ładunki z lewej płytki na
prawą. Pole magnetyczne w punkcie P możemy obliczyć
prowadząc przez ten punkt okrąg o promieniu r i
stosując prawo Ampere’a.

Na rys. 7.9a przez płaszczyznę ograniczoną tym
okręgiem płynie prąd I. Zgodnie z prawem Ampere’a

I

S

d

j

s

d

B

o

gu

okrę

po

o

























czyli

, a stąd

(7.15)

I

r

B

o







2

r

I

B

o





2



Jednakże prawo Ampere’a powinno być spełnione dla
dowolnej powierzchni rozpiętej na tym okręgu, w
szczególności na powierzchni S' na rys. 7.9b. Jednakże w
tym przypadku mamy

ponieważ przez powierzchnię S’ prąd nie płynie.
Wówczas zgodnie z prawem Ampera

, a to przeczy poprzedniemu wynikowi

(7.15).







0

s

d

B 









'

S

S

d

j

0





W 1860 roku Maxwell opierając się na

analogicznych przykładach doszedł do wniosku, że
przytoczone wcześniej wyrażenie na prawo Ampere’a
jest

niesłuszne

w

przypadku

zmiennego

pola

elektrycznego. Jednocześnie Maxwell odkrył, że
niepoprawność zapisu można usunąć dodając do prawej
strony równania (6.3)

wyrażenie

.

W poprawionej formie prawo Ampere’a zapisujemy
następująco

(7.16)











S

C

o

S

d

j

s

d

B











 





S

d

t

E

c











2

1

S

d

t

E

c

S

d

j

μ

s

d

B

S

S

C

o

































2

1

Teraz udowodnimy, że równanie to prowadzi do
jednoznacznej wartości B w punkcie P niezależnie od
postaci powierzchni całkowania S lub S’. Dla części
powierzchni

S’

położonej

pomiędzy

płytkami

kondensatora pole elektryczne

. Wobec tego

różniczkując to wyrażenie względem t mamy

c

o

A

/

Q

E





I

A

ε

t

Q

A

ε

t

E

c

o

c

o

1

1













Całkowanie po powierzchni S’ daje

co dalej prowadzi do związku

Ponieważ

, więc

Otrzymaliśmy więc wynik identyczny jak przy
całkowaniu po powierzchni S.

o

'

S

ε

I

S

d

t

E















o

I

c

r

B





2

1

2



o

o

ε

μ

c

/



2

1

r

I

B

o





2



Pierwszy człon po prawej stronie wzoru (7.16)
przedstawia realny prąd płynący przez powierzchnię
rozpiętą na zamkniętym konturze

.

Drugi człon można

interpretować jako prąd związany ze zmianą natężenia
pola elektrycznego. Maxwell nazwał go prądem
przesunięcia.

Prąd ten jest przedłużeniem prądu

przewodzenia wpływającego do kondensatora i jest mu
równy. Prąd przesunięcia zapewnia więc ciągłość
obwodów zawierających kondensatory.

S

d

t

E

c

S

d

j

μ

s

d

B

S

S

C

o

































2

1

Odcinki bezprzewodowe obwodów elektrycznych mogą
być wypełnione dielektrykiem, wtedy w miejsce pola
elektrycznego , wprowadzamy wektor indukcji
elektrycznej i równanie (7.16) przyjmuje postać.

(7.17)

a więc gęstość prądu przesunięcia ma ogólną postać

(7.18)

Ponieważ

, więc

(7.19)

Składnik wyraża część gęstości prądu w
dielektryku (przesunięcie ładunków lub obrót dipoli) i
nosi nazwę gęstości prądu polaryzacyjnego. Zatem
stanowi sumę gęstości prądu przesunięcia w próżni
i prądu polaryzacyjnego.

E



D



S

d

t

D

j

s

d

H

S

C







































t

D

j

p











e

o

P

E

D













t

P

t

E

ε

j

e

o

p



















t

/

P

e







p

j



t

/

E

ε

o







14.7.2. Równania Maxwella w postaci całkowej

 

Dotychczas

zapoznaliśmy

się

z

poszczególnymi

fragmentami równań Maxwella. Po wprowadzeniu prądu
przesunięcia możemy je przedstawić w najbardziej
ogólnej formie zwanej równaniami Maxwella.

1. Uogólnione prawo Faradaya (7.3)

S

d

t

B

s

d

E

C

S

























2. Uogólnione prawo Ampere’a (7.17)

S

d

t

D

j

s

d

H

C

S







































3. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego (4.45)









S

dV

S

d

D







4. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego (6.5)







S

S

d

B

0





zmienne pole magnetyczne wytwarza
wirowe pole elektryczne, które może
wywoływać prąd elektryczny

prąd elektryczny lub zmienne pole
elektryczne wytwarzają wirowe pole
magnetyczne

ładunek elektryczny wytwarza pole
elektryczne

nie istnieje w przyrodzie ładunek
magnetyczny, pole magnetyczne jest
bezźródłowe

Dla uzyskania pełnego układu równań Maxwella należy dołączyć

jeszcze podstawowe związki między wektorami elektrycznymi i
magnetycznymi

,

E

D

r

o











H

B

r

o











Równania

Maxwella

stanowią

fundamentalną

podstawę teorii zjawisk elektromagnetycznych

,

podobnie jak zasady dynamiki Newtona są podstawą
mechaniki. Przy pomocy tych równań można znaleźć
pola i w dowolnym punkcie przestrzeni i w
dowolnej chwili czasu, jeżeli znane są współrzędne i
prędkości ładunków wytwarzających pola.

Równania

Maxwella

są

niesymetryczne

względem

pól

elektrycznego i magnetycznego. Związane jest to z
istnieniem ładunków elektrycznych i brakiem ładunków
magnetycznych.

E



B



Teoria Maxwella jest teorią makroskopową. Nie jest
w stanie wyjaśnić tych zjawisk, w których przejawia
się wewnętrzna budowa ciała.

Dla pól stacjonarnych (niezależnych od czasu)
równania Maxwella przyjmują postać

















C

S

C

S

d

j

s

d

H

s

d

E













0















S

S

S

d

B

dV

S

d

D

0











W danym przypadku pola elektryczne i magnetyczne są

niezależne od siebie, co pozwala badać niezależnie stałe

pole elektryczne i magnetyczne.

14.7.3. Równania Maxwella w postaci różniczkowej

 Wcześniej (w I semestrze) przedstawiono dwa
twierdzenia analizy wektorowej: twierdzenie Stokesa i
twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego











C

S

S

d

a

rot

s

d

a



















S

V

V

d

a

div

S

d

a









Stosując te twierdzenia i uwzględniając związki podane
w tabeli 7.1

otrzymujemy pełny układ równań

Maxwella w postaci różniczkowej:

t

B

E

rot













t

D

j

H

rot



















D

div



0



B

div



Jeżeli ładunek i prądy w danym ośrodku

rozmieszczone są w sposób ciągły, to obydwie formy
równań

Maxwella

(całkowa

i

różniczkowa)

są

ekwiwalentne.

Jeżeli jednak istnieją powierzchnie, na których

zachodzi skokowa zmiana tych wielkości, to całkowa
forma równań jest bardziej ogólna.

14.8 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

W poprzednim punkcie przytoczone są równania
Maxwella dla próżni i dla dowolnego ośrodka pod
warunkiem, że wyrażenia na  i zawierają ładunki

wewnętrzne i prądy. Równania te mają jednoznaczne
rozwiązania dla i przy danym rozkładzie ładunku i
prądu. Z prostej analizy równań Maxwella wynika, że
pola elektryczne i magnetyczne mogą istnieć także, gdy
źródła będą wyłączone. Ładunki w stanie spoczynku i
stałe prądy tworzą stałe pola ( pole . opisywane
jest prawem Coulomba, a pole – prawem Ampere’a).
Prąd zmienny lub ładunek poruszający się z pewnym
przyśpieszeniem powodują pojawienie się zmiennego
pola magnetycznego; inaczej mówiąc . W
tym przypadku zgodnie z równaniem (7.3) pole
elektryczne powstaje nawet wtedy, gdy wszędzie =0 .

Przy tym pochodna

i na skutek tego

zgodnie z równaniem (7.16), pojawia się pole
nawet po wyłączeniu źródła prądu. Naturalnie, że
wkład jest taki, że co powoduje
dodatkowy wkład w pole , itd.

j



E



E



E



B



B



B



0

dt

B







0

dt

E







B



0

dt

B





















S

C

S

d

t

B

s

d

E









7.3

S

d

t

E

c

S

d

j

μ

s

d

B

S

S

C

o

































2

1

7.16

Maxwell nie tylko opisał wszystkie zjawiska

elektryczne za pomocą czterech prostych równań, ale
przewidział konsekwencje tych równań, których
poprzednio nie wiązano z elektrycznością. W 1864 roku
udowodnił, że ładunek poruszający się z przyśpieszeniem
emituje pola elektryczne i magnetyczne propagujące się z
prędkością . Te wypromieniowane pola
elektryczne i magnetyczne są wzajemnie prostopadłe, a
także prostopadłe do kierunku propagacji fali.

o

o

c







Jeżeli ładunek wykonuje drgania, to częstotliwość

fali jest zgodna z częstotliwością drgań. Maxwell
przewidział, że światło stanowi fale elektromagnetyczne
o zakresie częstotliwości (4–7)10

14

Hz i że istnieją fale

elektromagnetyczne o dużo niższych i dużo wyższych
częstotliwościach. Na rys. 9.1 przytoczono widmo fal
elektromagnetycznych.

1 0

1 0

1 0

4

1 0

1 6

1 0

1 0

1 0

5

1 1

1 7

1 0

1 0

1 0

6

1 2

1 8

1 0

1 0

1 0

7

1 3

1 9

1 0

1 0

8

1 4

1 0

1 0

9

1 5

C z ę s to tl iw o ś ć H z

F a le

ś r e d n ie

F a le

k r ó tk ie

F a le

r a d io w e

P r o m ie n io w a n ie

p o d c z e r w o n e

Z a k r e s

w id z i a ln y

U ltr a fi o le t

P r o m ie n io w a n ie

M ik r o fa le

T V

X



Maxwell nie tylko odkrył wielką tajemnicę natury

światła, lecz również przewidział, że drgania ładunku w
obwodzie rezonansowym prowadzą do emisji fal
elektromagnetycznych.

Wobec

tego

przewidział

możliwość stosowania łączności radiowej. Bez wątpienia,
Maxwellowi udało się dokonać tego, czego dokonał
Newton w teorii powszechnego ciążenia. Jednakże
znaczenie pracy Maxwella jest większe, ponieważ w
większości zjawisk fizycznych występują oddziaływania
elektromagnetyczne, a nie grawitacyjne.

14.9.

Równanie

różniczkowe

fali

elektromagnetycznej

 Rozważmy

prąd

powierzchniowy

J

płynący

w

nieskończonej płaszczyźnie Oyz w ujemnym kierunku osi
y (rys. 9.2). Wielkość J to prąd powierzchniowy
przypadający na jednostkę długości wzdłuż osi z.

O

P

x

y

z

J

Rys. 9.2. Prostokątny
element nieskończonej
powierzchni z prądem
powierzchniowym J.

W id o k z g ó r y

P

x

B

B

B

B

B

a

z

b

b

+ d

Podobnie jak w przypadku prądu
stałego, pole magnetyczne w
pobliżu płaszczyzny z prądem
zmiennym można obliczyć całkując
po konturze prostokątnym
obejmującym prąd, jak to pokazano
na rys. 9.3.

Rys. 9.3. Widok z góry elementu prądu
przedstawionego na rys. 9.2. Całki
krzywoliniowe liczone są w kierunku ruchu
wskazówek zegara wokół prądu i wokół
punktu P.

Niech a oznacza szerokość, a b wysokość

prostokąta. Interesuje nas pole w odległości a/2 od
powierzchni. Jeżeli a dąży do zera, to do zera dąży
powierzchnia prostokąta; wówczas w równaniu (7.16)
można zaniedbać człon

Ponieważ prąd J skierowany jest za płaszczyznę

rysunku, kontur obchodzimy zgodnie z kierunkiem
wskazówek zegara. Wówczas równanie (7.16) napiszemy
w postaci

 

S

d

t

E











Jb

s

d

B

o













lub

Stąd znajdujemy

(9.1)

w pobliżu płaskiego prądu.

Jb

Bb

o





2

2

J

B

o





Ostatnie wyrażenie jest również słuszne dla prądu

stałego J. Jednakże w naszym przypadku prąd J zmienia
się w czasie, a otrzymany wynik słuszny jest jedynie w
pobliżu źródła.

Ażeby znaleźć pole magnetyczne w punkcie P na

rys. 9.3, posłużymy się prostokątnym konturem
całkowania wokół punktu P pokazanym na tym rysunku.
Jeżeli całkujemy po konturze w kierunku zgodnym z
ruchem wskazówek zegara, to wektor dS będzie
skierowany za płaszczyznę rysunku w ujemnym kierunku
osi y. Wówczas

bdx

E

dS

E

S

d

E

y

y















W tym przypadku równanie (7.16) przyjmie postać

lub

S

d

t

E

c

s

d

B

C





















2

1

0





 

bdx

t

E

c

b

B

b

dB

B

y

z

z

z













2

1





 

bdx

t

E

c

b

B

b

dB

B

y

z

z

z













2

1

gdzie B = B

z

na lewej stronie oraz B = B

z

+d B

z

na prawej

stronie prostokątnego konturu

(górna i dolna krawędź nie dają wkładu do ).
Wobec tego



 s

d

B 



dx

t

E

c

dB

y

z









2

1

dx

t

E

c

dx

dB

y

const

t

z























2

1

t

E

c

x

B

y

z













2

1

(9.2)

Lewa strona tego równania zawiera pochodną cząstkową,
ponieważ czas t jest traktowany jako stały. Na rys. 9.3
pokazano sytuację odpowiadającą tej chwili czasu.

Z uogólnionego prawa Faradaya [wzór (7.3)] można

otrzymać jeszcze jeden związek między polami B i E.
Zgodnie z rys. 9.4, całkujemy w kierunku przeciwnym do
ruchu wskazówek zegara po prostokątnym konturze
wokół punktu P w płaszczyźnie Oxy

P

y

h

d x

J

E

)

E

d

E

( 

Rys. 9.4. Widok z boku na
element płaskiego prądu
przedstawionego na rys.
9.2.















C

S

d

t

B

s

d

E









)

hdx

(

t

B

h

E

h

)

dE

E

(

z

y

y

y













czyli

dx

t

B

dE

z

y









dalej

t

B

dx

dE

z

const

t

y























I ostatecznie

t

B

x

E

z

y













(9.3)

Chcemy teraz obliczyć pole B w punkcie P. Mamy

dwa równania, (9.2) i (9.3), z dwiema niewiadomymi B

z

i

E

y

. Różniczkując pierwsze z nich po x, a drugie po t,

można wyłączyć E

y











































t

E

c

x

x

B

x

y

z

2

1

t

x

E

c

x

B

y

z















2

2

2

2

1

(9.4)

podobnie

2

2

2

t

B

t

x

E

t

B

t

x

E

t

z

y

z

y

























































Podstawiając to wyrażenie w prawą stronę równania
(9.4), mamy

2

2

2

2

2

1

t

B

c

x

B

z

z











(9.5)

Równanie

(9.5)

to

słynne

równanie

różniczkowe

równanie

falowe

Maxwella

.

Rozwiązanie tego równania przedstawia falę biegnącą
propagującą się z prędkością c. Równanie (9.3) zawiera
uzupełniającą informację wskazującą, że wielkość pola
elektrycznego jest równa E = cB i że pola E i B są
wzajemnie prostopadłe.

14. Zmienne pole

elektromagnetyczne

Elektromagnetyzm

Zmienny prąd elektryczny

14.10. Prąd zmienny

 

Rozważymy

wymuszone

drganie

elektromagnetyczne zachodzące w obwodzie prądu
elektrycznego

zawierającego

rezystor,

cewkę

indukcyjną i kondensator. Prąd zmienny można
traktować jako kwasistacjonarny, co oznacza, że
chwilowe wartości natężenia prądu we wszystkich
przekrojach obwodu są praktycznie jednakowe (zmiana
prądu zachodzi dostatecznie wolno, a zaburzenia
elektromagnetyczne w obwodzie rozprzestrzeniają się z
prędkością

światła).

Dla

chwilowych

kwasistacjonarnych prądów spełnione jest prawo Ohma
i prawa Kirchhoffa.

Rozpatrzymy w kolejności procesy zachodzące w
obwodzie zawierającym rezystor, cewkę indukcyjną i
kondensator po przyłożeniu do nich napięcia zmiennego

(8.59)

t

cos

V

V

o





14.10.1. Obwód zawierający rezystancję

( a )

( b )

I

o

V = R I

o

o

R

V

Prąd płynący przez rezystor
określony jest prawem Ohma

gdzie amplituda natężenia prądu

t

cos

I

t

cos

R

V

R

V

I

o

o











R

V

I

o

o



Dla

poglądowego

przedstawienia

związków

pomiędzy prądami zmiennymi i napięciami wygodniej
jest posługiwać się metodą wektorową. Na rys. 8.10b
pokazano wektory amplitud prądu i napięcia na
rezystorze. Przesunięcie fazowe pomiędzy I

0

i V

0

jest

zerowe.

14.10.2. Obwód zawierający indukcyjność

V

L

V = L I

L

o



I

o

( a )

( b )

 / 2

Jeżeli do obwodu zawierającego
cewkę

przyłożymy

napięcie

zmienne [wzór (8.59)], to płynie
prąd zmienny w wyniku czego
powstanie SEM samoindukcji

Wówczas

prawo

Ohma

dla

rozważanego obwodu ma postać

dt

dI

L

E

s





0





dt

dI

L

t

cos

V

o



Stąd

(8.60)

Tak więc spadek napięcia na cewce indukcyjnej

(8.61)

t

cos

V

dt

dI

L

o





dt

dI

L

V

L



Z równania (8.60) wynika, że

lub po scałkowaniu, uwzględniając, że stała całkowania
jest równa zeru (nie istnieje składowa stała prądu),
otrzymujemy

(8.62)

gdzie

tdt

cos

L

V

dI

o







































2

2















t

cos

I

t

cos

L

V

t

sin

L

V

I

o

o

o

L

V

I

o

o





Wielkość

(8.63)

nazywamy reaktancją indukcyjną. Podstawiając

w wyrażenie (8.60) i uwzględniając (8.61),

otrzymujemy spadek napięcia na cewce indukcyjnej

o

o

LI

V





L

R

L





t

cos

LI

V

o

L







t

cos

LI

V

o

L







(8.64)

Porównanie wyrażeń (8.62) i (8.64) sprowadza się do
wniosku, że spadek napięcia wyprzedza w fazie prąd I
płynący przez cewkę o kąt /2, co pokazano na wykresie

fazowym (rys. 8.11b).

V

L

V = L I

L

o



I

o

( a )

( b )

 / 2

14.10.3. Obwód zawierający pojemność

 

Jeżeli napięcie zmienne (8.59) przyłożymy do

kondensatora to z upływem czasu kondensator będzie
przeładowywał się a w obwodzie popłynie prąd zmienny.
Jeżeli rezystancję przewodów można zaniedbać, to

V

C

I

o

( a )

( b )

 / 2

o

C

I

C

1

V





t

cos

V

V

C

Q

o

c







Natężenie prądu

(8.65)





















2









t

cos

I

t

sin

CV

dt

dQ

I

o

o

gdzie

Wielkość

nazywamy

reaktancją

pojemnościową.

 

C

V

CV

I

o

o

o





1





C

R

C



1



Dla prądu stałego ( = 0) R

c

= , co oznacza, że

prąd stały nie płynie przez kondensator.

Spadek napięcia na kondensatorze

(8.66)

C

R

C



1



t

cos

I

C

V

o

c





1



V

C

I

o

( a )

( b )

 / 2

o

C

I

C

1

V





Porównanie wyrażeń (8.65) i
(8.66) wskazuje, że spadek
napięcia opóźniony jest w fazie
o /2 w porównaniu z prądem I.

Pokazano

to

na

wykresie

fazowym (rys. 8.12b).

14.10.4. Obwód RLC

 

Na rys. 8.13a pokazano obwód zawierający

rezystor R, cewkę indukcyjną L, kondensator o
pojemności C, do którego przyłożono napięcie zmienne.

V

R

L

C

V = L I

L

o



o

I

C

1

L



















( a )

( b )

V

o

R I

o



o

C

I

C

1

V





W

obwodzie

płynie

prąd

zmienny powodujący spadek
napięcia na poszczególnych
elementach obwodu V

R

, V

L

i V

C

.

Na rys. 8.13b pokazano z kolei
wykres

fazowy

amplitud

spadku napięć na rezystorze
(V

R

),

cewce

(V

L

)

i

kondensatorze (V

C

). Amplituda

V

o

przyłożonego

napięcia

powinna być równa sumie
geometrycznej amplitud tych
spadków napięć. Jak widać z
rys. 8.13b, kąt  określa

różnicę

faz

pomiędzy

napięciem i natężeniem prądu.

Z rysunku wynika, że

(8.67)

Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy

stąd amplituda prądu ma wartość

(8.68)

co jest zgodne z (8.55).amplituda dla drgań
wymuszonych ustalonych.

Tak więc, jeżeli napięcie w obwodzie zmienia się według
prawa

to w obwodzie płynie prąd

(8.69)

 

R

C

/

L

tg







1









2

2

2

1

o

o

o

V

I

C

L

RI































2

2

1 

















C

L

R

V

I

o

o





t

cos

V

V

o

















t

cos

I

I

o













t

cos

I

I

o

gdzie  i Io określone są wzorami (8.67) i (8.68).

Wielkość

(8.70)

nazywamy

impedancją obwodu

, a wielkość

nazywamy

reaktancją

.

Zauważmy, że impedancja obwodu RLC osiąga
minimum, gdy

czyli gdy

.

(8.71)

Częstość tę nazywamy rezonansową

i oznaczamy

przez 

o

.





2

C

L

2

2

2

R

R

R

C

1

L

R

Z





























C

L

R

R

X

C

L





1









0

1 



C

L





LC

o

1





14.10.5. Moc wydzielana w obwodzie prądu
zmiennego

 Chwilowa wartość mocy rozpraszanej w obwodzie
równa jest

gdzie V(t) = V

o

cos



t, I(t) = I

o

cos(



t –



). Korzystając z

wzoru trygonometrycznego dla cos(



t –



), otrzymamy

Praktyczne znaczenie ma nie chwilowa wartość mocy,
ale jej średnia wartość za okres drgań. Uwzględniając,
że

otrzymamy

(8.72)

 

   

t

I

t

V

t

P 

 

























sin

t

cos

t

sin

cos

t

cos

V

I

t

cos

t

cos

V

I

t

P

o

o

o

o









2

2

1

2



t

cos



0



t

cos

t

sin







cos

V

I

P

o

o

2

1



Z wykresu fazowego (rys. 8.13)
wynika, że V

o

cos



= RI

o

. Dlatego

Taką moc wydziela prąd stały

2

2

1

o

RI

P 

2

/

I

I

o



V

R

L

C

V = L I

L

o



o

I

C

1

L



















( a )

( b )

V

o

R I

o



o

C

I

C

1

V





Wielkości

;

nazywamy odpowiednio wartościami skutecznymi
prądu i napięcia.

2

o

I

I 

2

o

V

V 

Uwzględniając skuteczne wartości prądu i napięcia,
wyrażenie dla średniej mocy (8.72) można zapisać w
postaci

(8.73)

gdzie czynnik cos



nazywamy ”współczynnikiem mocy”.

Wyrażenie (8.73) pokazuje, że w ogólnym przypadku
moc wydzielająca się w obwodzie prądu zmiennego
zależy nie tylko od natężenia prądu i napięcia, ale
również od przesunięcia fazowego między nimi.



cos

IV

P 