11b. Pole elektryczne

Wykład 2

11.11

Napięcie i potencjał

 

Ze wzoru (7.5)

wynika, że na ładunek q

0

znajdujący się w polu

elektrycznym działa siła

. Siła ta może

wykonać pracę przesuwając ładunek.

Elementarna

praca

wykonywana

przez

siłę

elektryczną przy przesunięciu ładunku na elemencie
drogi wynosi

(7.24)

Praca sił pola elektrycznego na drodze między
punktami A i B wyrazi się zatem wzorem

(7.25)

E

q

F

0







l

d



l

d

E

q

l

d

F

dW

0

















l

d

E

q

l

d

F

W

B

A

0

B

A

AB





















r

r

r

q

4

1

r

r

q

r

q

q

4

1

q

F

E

2

o

2

o

o























Można wykazać, że pole elektrostatyczne,

tzn. takie które nie zmienia się w czasie, jest
polem potencjalnym, czyli że siły elektryczne są
siłami zachowawczymi. Oznacza to, że wartość pracy
W

AB

nie zależy od wyboru drogi między punktami A i B.

Z własności sił potencjalnych wiadomo też, że praca
takich sił na drodze zamkniętej jest równa zeru

.

Powyższe sprawdzimy dla najprostszego przypadku
przesuwania ładunku próbnego q

0

w polu ładunku

punktowego Q po drodze ABCDA, zaznaczonej na
rysunku 7.10.

Q

A

B

C

D

Rys.7.10. Całkowita praca na drodze

zamkniętej ABCDA potrzebna na
przesunięcie ładunku q

0

w polu

elektrycznym ładunku Q jest równa
zeru – co oznacza, że pole elektryczne
jest polem potencjalnym

.

Q

A

B

C

D

Odcinki AB i CD tej drogi leżą

na liniach sił pola, odcinki BC i DA –
na łukach kół, które w każdym swym
punkcie są prostopadłe do linii sił.
Praca sił pola na odcinku AB jest
równa

co

do

wartości,

lecz

przeciwna co do znaku względem
pracy wykonanej na odcinku CD.

Prace na odcinkach BC i AD są równe zeru ze

względu na prostopadłość kierunków siły i przesunięcie.
A zatem całkowita praca na drodze zamkniętej ABCDA
jest równa zeru.

Zdefiniujemy obecnie napięcie elektryczne U

AB

między punktami A i B, mianowicie

(7.26)

Napięciem elektrycznym między punktami A i

B nazywamy stosunek pracy W

AB

wykonanej przy

przesunięciu ładunku q

0

z punktu A do B do

wielkości tego ładunku.

0

AB

AB

q

W

U



Napięciem elektrycznym między punktami A i B

nazywamy stosunek pracy W

AB

wykonanej przy

przesunięciu ładunku q

0

z punktu A do B do wielkości

tego ładunku

.

Należy podkreślić, że niezależność pracy od

kształtu drogi umożliwia jednoznaczne określenie
napięcia między danymi punktami A i B.

Przejdziemy teraz do określenia potencjału:

Potencjałem danego punktu A nazywamy napięcie

między punktem A i punktem nieskończenie odległym.

Zatem

potencjał V

A

jest związany z pracą

przesunięcia ładunku q

0

od punktu A do

nieskończoności

0

A

A

q

W

V





Aby uzyskać zależność między napięciem a

potencjałem rozważmy pracę wykonaną na drodze od
punktu A do nieskończoności, a następnie od
nieskończoności do B (rys.7.11). Praca ta wynosi





B

A

0

B

0

A

0

B

0

A

0

B

A

B

A

V

V

q

V

q

V

q

U

q

U

q

W

W

W



























A

B

q

0

F

Rys.7.11.

Praca

przesunięcia

ładunku q

0

od punktu A do punktu

, a następnie do punktu B jest

równa pracy na drodze AB

Z drugiej strony, ponieważ praca nie zależy od wyboru
drogi, musi być ona równa pracy na odcinku AB, czyli:

Z porównania ostatnich dwóch związków wynika, że

AB

0

AB

U

q

W



B

A

AB

V

V

U





B

A

AB

V

V

U





Napięcie

między

dwoma

punktami

pola

elektrycznego równa się różnicy potencjału tych
punktów.

Z wzorów definicyjnych napięcia elektrycznego (7.26) i
potencjału (7.27) wynika, że napięcie i potencjał mają
wspólną jednostkę.

Jednostka ta:

nazywa się

woltem [V].

V

s

A

s

V

A

C

J











Obliczmy teraz potencjał pola elektrycznego od

odosobnionego ładunku punktowego Q w punkcie A
odległym od Q o r.

+ Q

+

r

x

d x

E

+ q

0

x

Praca jaką wykonuje pole elektryczne przesuwając
ładunek q

0

od A do nieskończoności wynosi



















 





















r

0

r

2

0

r

A

x

1

4

Qq

dx

x

q

Q

4

1

x

d

F

W





r

1

4

Qq

W

0

A









(7.28
)

Korzystając z wzoru (7.27)

obliczamy potencjał pola

(7.29)

Ponieważ potencjał pola elektrycznego jest skalarem,
potencjał dla układu ładunków jest sumą potencjałów,
pochodzących od każdego ładunku z osobna. Wynika to
z zasady superpozycji, którą stosuje się również do
potencjałów.

Potencjał dowolnego rozkładu ładunków

możemy przedstawić jako całkę

(7.30)

r

1

4

Q

q

W

V

0

A

A











0

A

A

q

W

V





















V

r

'

dz

'

dy

'

dx

'

z

,

'

y

,

'

x

4

1

z

,

y

,

x

V

gdzie  to gęstość objętościowa ładunku zgromadzonego

w obszarze V, r oznacza odległość między elementami

objętości dV=dx’dy’dz’, a punktem (x,y,z), w którym

pytamy o potencjał (rys.7.13).

z

x ’

x

x

( x ’ ,y ’ ,z ’ )

d V = d x ’ d y ’ d z ’

r

P u n k t, w k t ó r y m

o b l i c z a m y

p o te n c j a ł p o l a

( x ,y , z )

Rys.7.13. Potencjał V(x,y,z)
pochodzący od dowolnego rozkładu
ładunków

Potencjał charakteryzuje pole
elektryczne w tym samym
stopniu co natężenie pola.
Graficznie

pole

można

przedstawić

za

pomocą

powierzchni
ekwipotencjalnych,

które

charakteryzują się tym, że w
każdym ich punkcie potencjał
ma stałą wartość. Można
udowodnić, że linie pola
muszą być prostopadłe do
powierzchni
ekwipotencjalnych. Na

przykład powierzchnie ekwipotencjalne pola ładunku
punktowego są, jak widać ze wzoru (7.29), sferami o
promieniu r.

r

1

4

Q

q

W

V

0

A

A











Powierzchnia przewodnika, na którym ładunki

znajdują się w równowadze, jest zawsze powierzchnią
ekwipotencjalną, w przeciwnym bowiem razie siły
elektryczne nie byłyby prostopadłe do powierzchni i
spowodowałyby ruch ładunków.

Znajomość potencjału w dowolnym punkcie

umożliwia obliczenie natężenia tego pola. Ze wzoru
(7.24) wynika, że

(7.31)

(znak minus jest związany z tym, że potencjał maleje w
kierunku wektora ). Stąd otrzymujemy:

(7.32)

Z wzoru (7.32) widać, że natężenie pola elektrycznego
wyrażamy w [V/m].

l

d

E

dV











dl

dV

E 



11.12

Pojemność elektryczna i kondensatory

11.12

Pojemność elektryczna i kondensatory

Kondensatorem nazywamy dwa blisko siebie

położone przewodniki o różnych potencjałach i
przeciwnych ładunkach.

Interesuje nas związek

między ładunkiem Q na jednej z płytek a różnicą
potencjału między nimi. Okazuje się, że

dla ustalonej

pary przewodników stosunek ładunku do różnicy
potencjałów jest stały. Stałą tę nazywamy
pojemnością kondensatora i oznaczamy przez C.

2

1

V

V

Q

C





Rozpatrzymy

dwie

przewodzące

płytki

o

jednakowych rozmiarach ustawione równoległe w
odległości d od siebie (rys.7.14). Niech powierzchnia
każdej z płytek wynosi S. Niech na jednej płytce
znajduje się ładunek Q, a na drugiej –Q. Potencjały obu
płytek wynoszą odpowiednio V

1

i V

2

.

P o w ie rz c h

n i a S

Ł a d u n e k + Q

Ł a d u n e k -Q

V

1

V

2

d

a )

b )

A

D

V

1

V

2

C

B

Rys.7.14. Kondensator płaski

W obszarze między płytkami
wartość

natężenia

pola

elektrycznego jest równa

(7.34)

Przebieg linii pola (rys.7.14b)
wskazuje, że pole to jest
jednorodne z wyjątkiem
obszarów brzegowych.
Obliczymy strumień indukcji
przez powierzchnię
prostopadłościenną (ABCD)
(rys.7.14b) zamykającą jedną
okładkę. Strumień przez
powierzchnię górną CD i
boczne AD i BC możemy
zaniedbać ponieważ przechodzi
tam niewielka liczba linii sił
pola.

d

V

V

E

2

1





Pozostaje powierzchnia AB, dla której

(7.35)

Według prawa Gaussa

, zatem

(7.36)

stąd na mocy (7.22)

(7.37)

Porównując (7.34) z (7.37) otrzymujemy

Całkowity ładunek Q znajdujący się na jednej z elektrod
kondensatora jest równy

(7.38)

Równanie to tym lepiej opisuje realną sytuację, im
mniejszy jest stosunek odległości d między płytkami do
długości ich boków.

E

D

r

o











DS

S

,

D





Q

S

,

D





S

Q

D 

S

Q

E





S

Q

d

V

V

2

1







d

V

V

S

Q

2

1









Po podstawieniu (7.38) do (7.33) otrzymujemy wzór na
pojemność kondensatora płaskiego

(7.39)

W jednostkach układu SI ładunek Q we wzorze (7.33)
wyraża się w kulombach [C], potencjał zaś w woltach
[V]. W układzie tym jednostką pojemności jest farad
[F]. Farad jest jednostką bardzo, bardzo dużą.
Kondensator jedno faradowy miałby gigantyczne
rozmiary. Dlatego też zazwyczaj w praktyce stosuje się
jednostki mniejsze: mikrofarady i pikofarady .

 

d

S

C

r

o







11.13

Gęstość energii pola elektrycznego

 Załóżmy, że początkowo nie naładowany kondensator
stopniowo ładowano, przy czym różnica potencjałów
wzrastała od 0 do . Ładunek na okładkach
kondensatora będzie wzrastał od 0 do , gdzie
= C. Praca wykonana przy przemieszczaniu
ładunku dq od ujemnie naładowanej płytki do
naładowanej dodatnio wynosi

Całkowita praca, czyli energia zmagazynowana w
kondensatorze

(4.35)

o

V

o

Q

o

Q

o

V

Vdq

dW

C

Q

dq

C

q

dq

V

W

o

V

0

Q

o

o

2

0

2

1







 

Interesujące jest aby przekształcić wzór

(4.35) i zapisać energię zgromadzoną w
kondensatorze nie w zależności od ładunku, ale w
zależności od natężenia pola elektrycznego.

Dla kondensatora płaskiego, uwzględniając (4.31),

mamy

czyli

Podstawiając to wyrażenie do (4.35) otrzymamy

Uwzględniając z kolei (4.34) mamy

Teraz dzieląc obie części przez objętość kondensatora
Sd

o

, otrzymujemy gęstość energii pola elektrycznego

S

Q

d

o

o

r

r

o

o

d

V

















S

Q

d

E

r

o

o

o









 V

SE

Q

r

o

o











C

SE

ε

ε

W

r

o

2

2

1



o

2

Sd

2

E

W

r

o







2

2

1

E

w

r

o







(4.36)

Energia zużyta na przemieszczenie ładunku

gromadzona jest w polu elektrycznym kondensatora, a
gęstość energii pola elektrycznego wynosi



o



r

E

2

/2

(J/m3).

Z bardziej ogólnych ale zarazem bardziej

złożonych rozważań wynika, że całkowita energia
konieczna do uformowania dowolnego rozkładu
ładunków, jest równa dokładnie całce po



o



r

E

2

/2

liczonej po całej przestrzeni V, gdzie E jest polem
utworzonym przez taki rozkład ładunku

(4.37)

Wobec tego wyrażenie (4.36) ma bardziej ogólne
znaczenie i pozwala przyjąć fizyczną interpretację
energii zgromadzonej w jednostce objętości pola
elektrycznego.

dV

E

W

r

o





2

2





2

2

1

E

w

r

o







(4.36
)

11.14 Dielektryki

 W poprzednich punktach generalnie rozważaliśmy
pola utworzone przez ładunki w przewodnikach
znajdujących się w próżni. Wiadomo, że jeżeli między
okładkami kondensatora umieścimy substancję, to
pojemność kondensatora wzrasta do C’. Wówczas
biorąc stosunek C’ do C możemy określić względną
przenikalność dielektryczną substancji

(4.38)

We wzorze tym C jest pojemnością kondensatora
próżniowego.

C

'

C

r





Dielektryki są to ciała, w których ładunki nie mają
możliwości

swobodnego

przemieszczania.

Jeżeli

dielektryk

umieścimy

w

zewnętrznym

polu

elektrycznym, to na jego granicach indukują się ładunki
(rys. 4.12) na skutek ograniczonego przesunięcia
ładunków w skali mikroskopowej.

Zjawisko to nazywa

się polaryzacją dielektryka

. Efekt polaryzacji jest

jakościowo podobny do powstania łańcucha dipoli. Na
jednym końcu łańcucha dipole mają ładunki dodatnie, a
na drugim ujemne, a więc dielektryk jako całość
wykazuje istnienie

ładunków

na

swoich

powierzchniach prostopadłych do
kierunku linii sił pola. Ładunki te
nazywa

się

ładunkami

nie

związanymi.

Po

usunięciu

zewnętrznego pola elektrycznego
ładunek

na

powierzchniach

dielektryka znika.

+
+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

Rys. 4.12. Powstanie ładunku

indukowanego' na powierzchni

dielektryka umieszczonego między

okładkami kondensatora.

Wskutek zjawiska polaryzacji zmienia się wartość
natężenia pola w ośrodku dielektrycznym w stosunku do
tego natężenia pola, jakie istnieje w danym obszarze
”wypełnionym” próżnią. Jest to wynik nałożenia się na
pole zewnętrzne dodatkowego pola wytworzonego przez
ładunki związane.

Przed opisem ilościowym tego zjawiska, omówimy

rodzaje polaryzowalności dielektryka.

W cząsteczkach niektórych dielektryków (np. H

2

,

Cl

2

, CCl

4

, węglowodory) elektrony są rozmieszczone

niejednorodnie dookoła jąder. W cząsteczkach tych
środki ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych, przy
braku zewnętrznego pola elektrycznego, pokrywają się i
moment dipolowy równa się zeru. Z tego powodu
cząsteczki takich dielektryków nazywamy
niespolaryzowanymi.

Jeśli niespolaryzowaną cząstkę dielektryka

umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym, to
następuje rozsunięcie środków ciężkości ładunku
dodatniego i ujemnego cząsteczki i wzbudzi się w niej
moment dipolowy

Moment elektryczny dipola takiego dielektryka równa
się

(4.39)

gdzie  jest współczynnikiem polaryzowalności atomu.
Kierunek wektora pokrywa się z kierunkiem
wektora natężenia zewnętrznego pola
elektrycznego.

E

p

o

e











e

p



E



Liczną grupę stanowią

cząsteczki o samoistnym

momencie dipolowym

, w których środek ciężkości

średniego ładunku dodatniego nie pokrywa się z
środkiem ciężkości średniego ładunku ujemnego

.

Przykładem mogą być cząsteczka H

2

O (również NH

3

, HCl,

CH

3

Cl) w której atomy wodoru i tlenu rozłożone są

niesymetrycznie.

Takie

cząsteczki

nazywamy

spolaryzowanymi. W wyniku nieuporządkowanego ruchu
cieplnego cząsteczek, wektory ich momentów dipolowych
wykazują chaotyczną orientację i wypadkowy moment
dipolowy w dowolnej objętości dielektryka równa się
zeru.

Jednak

pod

wpływem

zewnętrznego

pola

elektrycznego, cząsteczki dielektryka dążą do zajęcia
takiego położenia, aby kierunek wektorów ich momentów
dipolowych był zgodny z kierunkiem wektora .

Pojawia się więc orientacja momentów dipolowych
cząsteczek przeważnie wzdłuż linii sił pola. Orientacja ta
jest tym większa, im silniejsze jest pole elektryczne w
dielektryku oraz im słabszy jest ruch cieplny cząsteczek,
tj. im niższa jest temperatura.

Powyższe zjawisko nosi

nazwę

polaryzacji

skierowanej

dielektryka

o

cząsteczkach spolaryzowanych.

e

p



e

p



E



Cząsteczki niespolaryzowane uzyskują w polu

elektrycznym momenty dipolowe indukowane w wyniku
odkształcenia orbit elektronowych. Zachodzi wówczas
tzw.

polaryzacja elektronowa dielektryka.

W dielektrykach jonowych (krystalicznych) typu

NaCl, CsCl; wszystkie jony dodatnie przesuwają się pod
wpływem

pola

elektrycznego

w

kierunku

odpowiadającym kierunkowi natężenia , natomiast
wszystkie jony ujemne w kierunku przeciwnym. Ten
rodzaj polaryzacji nosi

nazwę polaryzacji jonowej

.

E



Jako wskaźnik ilościowy polaryzacji dielektryka

służy wektor polaryzacji

.

Wektorem polaryzacji nazywamy granicę stosunku
momentu

elektrycznego

określonej

objętości

dielektryka do tej objętości, gdy ta ostatnia dąży
do zera

(4.40)

gdzie N oznacza liczbę dipoli zawartych w objętości V
dielektryka, a moment elektryczny i-tego dipola.

W przypadku dielektryka jednorodnego o cząsteczkach
niespolaryzowanych, umieszczonego w jednorodnym
polu elektrycznym,

(4.41)

gdzie oznacza liczbę cząsteczek w jednostce
objętości.







N

1

=

i

ei

V

e

p

V

lim

P





1

0

e

P



ei

p



e

o

e

p

N

P







o

N

Wynika stąd, że wektory wszystkich

cząsteczek

wykazują

jednakowy

kierunek,

odpowiadający kierunkowi wektora natężenia
pola w dielektryku. Stosując wzór (4.39) otrzymujemy

(4.42)

Współczynnik

nazywamy podatnością

dielektryczną substancji.

ei

p



E



E

E

N

P

o

o

o

e























o

e

N



11.15 Twierdzenie Gaussa w przypadku obecności
dielektryków. Wektor indukcji elektrycznej

 

Stwierdziliśmy, że w dielektryku na pole

elektryczne

ładunków

swobodnych

nakłada

się

dodatkowe pole elektryczne. Z tego względu wektor
natężenia pola elektrycznego powinien zależeć od
właściwości elektrycznych dielektryka. Okazuje się, że
wartość liczbowa jest zawsze odwrotnie
proporcjonalna do stałej dielektrycznej  ośrodka. Z
tego

względu

w

celu

jednoznacznego

scharakteryzowania pola elektrycznego celowe jest
wprowadzenie takiej wielkości , która by nie
zależała od stałej dielektrycznej danej substancji.
Można z łatwością wykazać, że warunek ten spełnia
wielkość wektorowa zdefiniowana następująco:

(4.43)

E

D

o









Wielkość nazywamy wektorem indukcji
elektrycznej

E



E



D



D



Wektor charakteryzuje zatem to pole

elektryczne, które wytwarzają w danej substancji
same tylko ładunki swobodne

. Ładunki związane,

powstające w dielektryku, mogą jednak wywołać
zmianę rozkładu w przestrzeni ładunków swobodnych
wytwarzających pole.

W układzie jednostek SI indukcję elektryczna mierzy się
w C/m

2

.

Strumień indukcji elektrycznej

w dowolnym

środowisku

przez element powierzchni jest określony

przez iloczyn skalarny

:

D



j

j

D

S

d

D

d











gdzie wektor określa pole i orientację j-tego
elementu powierzchni, a jest uśrednionym
wektorem indukcji elektrycznej dla j-tego elementu.

j

S

d



j

D



Całkowity strumień przez powierzchnię będzie równy:

(4.45)

gdzie zgodnie z definicją wektora indukcji elektrycznej
uwzględniono tylko ładunki swobodne.

W próżni

, a zatem równanie (4.45) przybiera

postać

(4.46)











swob

S

D

q

S

d

D







E

D

o













swob

S

o

q

S

d

E







Pole w dowolnym środowisku różni się od pola w

próżni tym, że wytwarzają je ładunki zarówno
swobodne,

jak

i

związane

.

Dlatego

też

w

najogólniejszym przypadku do prawej strony równania
(4.46) należy dodać sumę algebraiczną ładunków
związanych objętych przez powierzchnię zamkniętą S













zwią

swob

S

o

q

q

S

d

E







Ładunki swobodne wytwarzają zewnętrzne pole
elektryczne,

natomiast

ładunki

związane

wytwarzają pole wewnętrzne spolaryzowanego
dielektryka.

Rozpatrzymy warstwę jednorodnego dielektryka

zawartą między dwoma nieskończonymi równoległymi
płaszczyznami, naładowanymi do stałych gęstości
powierzchniowych ładunków swobodnych +



, –



(rys.

4.11). W wyniku polaryzacji dielektryka na jego
powierzchniach AA' i BB' powstają ładunki związane,
których gęstości powierzchniowe są równe odpowiednio
i . Na skutek tego pole elektryczne
ładunków związanych jest skierowane przeciwnie
względem pola zewnętrznego , wytworzonego przez
ładunki swobodne. Natężenie pola wypadkowego

p





p





p

E

o

E



p

o

E

E

E











+
+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

Znajdziemy teraz sumę ładunków związanych,

które powstały w wyniku polaryzacji dielektryka,
objętego zamkniętą powierzchnią S. Na rys. 4.13
przedstawiony jest tak mały element S tej powierzchni,

że można go uważać za płaski.

l





( a ) ( b )

 S

 S

l/ 2 l/ 2

E

E

e

P

e

P

n

n

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

Rys. 4.13. Powstawanie ładunku związanego

Ładunki dipoli znajdujących się na zewnątrz

powierzchni zamkniętej nie wywierają w ogóle żadnego
wpływu na strumień natężenia pola przez tę
powierzchnię. Suma algebraiczna wszystkich ładunków
dipoli całkowicie objętych powierzchnią, równa się zeru.

Przy obliczaniu q

zwią

uwzględnia się zatem tylko te

dipole, które przecinają powierzchnię S. Jest rzeczą
oczywistą, że przecinane są jedynie takie dipole,
których środki ciężkości leżą po lewej i po prawej
stronie powierzchni S w odległościach mniejszych niż
(l/2)cos



, gdzie l oznacza długość dipola, a



jest kątem

zawartym między zewnętrzną normalną do elementu
S powierzchni a momentem dipola.
Warunek ten spełniają wszystkie dipole, których środki
leżą wewnątrz objętości lScos



. Jeżeli liczba

cząsteczek dielektryka w jednostce objętości równa się
, to liczba dipoli przeciętych przez element S

powierzchni wynosi lScos



. Każdy przecięty dipol

ma wewnątrz zamkniętej powierzchni nie zobojętniony
ładunek –q.

Całkowity ładunek związany , odpowiadający
powierzchni S, równa się zatem

.

e

p



o

N

o

N

ą

zwi

q



S

cos

p

N

S

cos

ql

N

q

e

o

o

zwią



















Dzięki założeniu równoległości wszystkich dipoli,
iloczyn

równy jest modułowi wektora

polaryzacji. W związku z tym

(4.48)

gdzie jest wektorem jednostkowym normalnym do
powierzchni S.
W celu uzyskania ogólnej sumy ładunków związanych,
znajdujących się wewnątrz zamkniętej powierzchni S,
należy wyrażenie (4.48) scałkować po powierzchni S

(4.49)

W związku z tym, twierdzenie Gaussa dla dowolnej
substancji spolaryzowanej, zgodnie ze wzorem (4.47),
zapisujemy w postaci

,

stąd

(4.50)

e

o

p

N

S

d

P

S

n

P

S

cos

P

q

e

e

e

zwią



































n

S

d

P

q

S

e

zwią















S

d

P

q

S

d

E

S

e

swob

S

o





































swob

S

e

o

q

S

d

P

E





















swob

S

e

o

q

S

d

P

E









Wstawiając tu

z równania (4.45) otrzymujemy

Ponieważ równanie to powinno być spełnione dla
dowolnej zamkniętej powierzchni S, przeto

(4.51)

Uwzględniając (4.42) mamy

(4.52)



swob

q















S

S

e

o

S

d

D

S

d

P

E













e

o

P

E

D

















E

E

E

D

e

o

e

o

o



























1

E

E

N

P

o

o

o

e



















Z drugiej strony, w myśl definicji (4.43), wektor
równy jest

Zatem

(4.53)

Stała

dielektryczna

równa

się

podatności

dielektrycznej zwiększonej o 1

. Obydwie te

wielkości są bezwymiarowe. Dla próżni

, a

.

D



E

D

r

o











e

r







1

1



r



0



e

