Zjawisko rozciągania

i ściskania tkanek,

naprężenia,

odkształcenia, prawo

Hook’a

Warszawa, 15

października 2009

Przedmiot wytrzymałości

materiałów

• Wytrzymałość materiałów zajmuje się

badaniem sił wewnętrznych w ciałach, aby
odpowiedzieć na pytanie, czy pod wpływem
danych obciążeń w jakimś obszarze ciała
siły wewnętrzne nie osiągną zbyt dużych
wartości czy ciało „wytrzyma” dane
obciążenie.

• Drugą, równie ważną dziedziną badań

wytrzymałości materiałów jest analiza
odkształceń ciał i konstrukcji.

Siły zewnętrzne i wewnętrzne

• Pod nazwą sił zewnętrznych

rozumiemy siły czynne, czyli
obciążenia, oraz siły bierne, czyli
reakcje działające z zewnątrz na
dane ciało. Mogą to być siły
skupione, siły powierzchniowe (np.
ciśnienia) lub siły objętościowe (np.
siły przyciągania ziemskiego.

• Siły wewnętrzne to siły z jakimi

jedne cząstki położone wewnątrz
ciała działają na drugie.

Odkształcenia

• Ciała ulegają odkształceniom pod wpływem

działających na nie sił zewnętrznych.
Odkształcenia mogą mieć charakter:

• Sprężysty – po ustąpieniu siły odkształcenia

ustępują, ciało przybiera pierwotną formę,

• Plastyczny – po ustąpieniu siły ciało nie

powraca do pierwotnej formy,

• Niszczące – dochodzi do zniszczenia

struktury, naruszona zostaje spoistość ciała.

Właściwości ciał

• Jeżeli właściwości elementarnej kostki

„wyciętej” z ciała są jednakowe niezależnie
od kierunku, to materiał, z którego
zbudowane jest ciało nazywamy
izotropowym (równokierunkowym) np.
metale, plastiki.

• Istnieją również materiały anizotropowe

(różnokierunkowe), to znaczy takie których
właściwości zależą od orientacji względem
płaszczyzn lub kierunków np kierunku
słojów (drewno) kierunku zbrojeń i sposobu
ułożenia warstw (materiały kompozytowe)
czy względem kierunków anatomicznych
(kości).

Definicja naprężenia

dS

dF





Jeżeli na nieskończenie małym przekroju
dS wypadkowa sił międzycząsteczkowych
wynosi dF, to iloraz siły dF przez pole dS
nazywamy naprężeniem σ.

Jednostki

• 1N = 1kg·1m/s

2

niuton

(jednostka siły)

• 1N·m = 1N·1m niutonometr

(jednostka momentu siły)

• 1Pa = 1N/m

2

paskal

(jednostka naprężenia)

• 1MPa = 1MN/m

2

= 10

6

N/m

2

=

1N/mm

2

Prawo Hooke’a

• W wyniku obserwacji rozciąganych

prętów pryzmatycznych Robert Hook

(1676) stwierdził, że wydłużenie Δl

pręta pryzmatycznego (pręt – długość

jest znacznie większa od pozostałych

wymiarów poprzecznych) jest wprost

proporcjonalne do siły rozciągającej F

i do długości początkowej l pręta, a

odwrotnie proporcjonalne do pola S

przekroju poprzecznego pręta.

Robert Hooke (1635-1703) – angielski

przyrodnik, jeden z największych

eksperymentatorów XVII wieku

.

Jest odkrywcą

Jest odkrywcą

podstawowego prawa

podstawowego prawa

sprężystości (prawo

sprężystości (prawo

Hooke'a), wykonał wiele

Hooke'a), wykonał wiele

obserwacji mikroskopowych

obserwacji mikroskopowych

i teleskopowych (odkrył

i teleskopowych (odkrył

m.in. istnienie gwiazd

m.in. istnienie gwiazd

podwójnych, Wielkiej

podwójnych, Wielkiej

Czerwonej Plamy na

Czerwonej Plamy na

Jowiszu), wykonał też szkice

Jowiszu), wykonał też szkice

powierzchni Marsa użyte

powierzchni Marsa użyte

200 lat potem do

200 lat potem do

oszacowania szybkości

oszacowania szybkości

rotacji tej planety

rotacji tej planety

Prawo Hooke’a

ES

Fl

l 



l

l







S

F





E







Współczynnik proporcjonalności E – moduł
sprężystości przy rozciąganiu (Moduł
Younga, 1807)

l

l

S

F

gdzie: l – wydłużenie
F – siła,
l – długość początkowa,
E – moduł Younga,
S – pole przekroju

poprzecznego

Thomas Young

ur. 1773 w Milverton, zm. 1829 w Londynie

Wyjaśnił mechanizm

Wyjaśnił mechanizm

akomodacji oka ludzkiego,

akomodacji oka ludzkiego,

opisał astygmatyzm oraz

opisał astygmatyzm oraz

podał teorię widzenia barw

podał teorię widzenia barw

Moduł Younga (E) – inaczej

Moduł Younga (E) – inaczej

moduł odkształcalności

moduł odkształcalności

liniowej albo moduł

liniowej albo moduł

sprężystości podłużnej –

sprężystości podłużnej –

wielkość uzależniająca

wielkość uzależniająca

odkształcenie liniowe ε

odkształcenie liniowe ε

materiału od naprężenia σ,

materiału od naprężenia σ,

jakie w nim występuje w

jakie w nim występuje w

zakresie odkształceń

zakresie odkształceń

sprężystych.

sprężystych.

Wykres rozciągania

St3

σ

ε

A

B

C D

K

L

Wykres rozciągania

• 0A – linia prosta σ

prop

• 0B – σ

spręż

• B – granica sprężystości
• BD – odkształcenia plastyczne
• D – granica plastyczności
• K – wytrzymałość na rozciąganie R

m

Wytrzymałość na

rozciąganie

• Największe naprężenia,

jakie mogła przenieść
badana próbka,
nazywamy
wytrzymałością na
rozciąganie lub
wytrzymałością doraźną
materiału i oznaczamy
R

m

. Wytrzymałość na

rozciąganie R

m

jest więc

ilorazem maksymalnej
siły F

max

przez pole S

przekroju początkowego
próbki.

S

F

R

m

max



Naprężenia dopuszczalne

• W celu zabezpieczenia

się przed zniszczeniem
konstrukcji (złamaniem
kości) należy przyjąć
pewną nieprzekraczalną
wartość naprężenia
zwaną naprężeniem
dopuszczalnym k

r

.

• Obliczone naprężenia

badanego elementu
muszą spełniać warunek:

• n

m

= współczynnik

bezpieczeństwa dla
rozciągania

r

k

S

F







m

m

r

n

R

k 

Wytrzymałość kości

• Właściwości mechaniczne kości i

innych tkanek zależą istotnie od wieku.

• Wytrzymałość kości jest największa w

wieku 30-40 lat, a następnie maleje.

• Wytrzymałość kości jest większa na

ściskanie niż na rozciąganie.

• Wytrzymałość kości na zginanie jest

większa niż na skręcanie.

Wytrzymałość kości

udowej

• Średnia wytrzymałość części zbitej

ludzkiej kości udowej u ludzi
dorosłych wynosi:

• Na rozciąganie 107 MPa
• Na ściskanie 139 MPa
• Na zginanie 160 MPa
• Na skręcanie 53 MPa

Wydłużenie graniczne

• Maksymalne wydłużenie

względne w zależności od
rodzaju kości wynosi 1,4 - 1,5 %.

• Wraz z wiekiem wartość ta

zmniejsza się co oznacza, że
kości osób starszych są bardziej
kruche i mniej wytrzymałe.

Inne tkanki

• Wytrzymałość mięśni na rozciąganie
0,1-0,3 MPa.
• Wytrzymałość kości gąbczastej na

rozciąganie 1-2 MPa.

• Wytrzymałość chrząstki szklistej 1-40

MPa.

• Wytrzymałość ścięgien 40-100 MPa.