XII. NIELINIOWE UKŁADY
XII. NIELINIOWE UKŁADY
REGULACJI
REGULACJI
XII. NIELINIOWE UKŁADY
XII. NIELINIOWE UKŁADY
REGULACJI
REGULACJI
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
2
W obiekcie nieliniowym
obiekcie nieliniowym
wielkości wyjściowe y są
związane z wielkościami wejściowymi u nieliniową
zależnością algebraiczną, różniczkową lub różnicową.
Dla obiektu nieliniowego nie jest spełniona zasada
superpozycji.
Sumie sygnałów sterujących, doprowadzonych na
wejście obiektu nieliniowego nie odpowiada suma
sygnałów wyjściowych, z których każdy jest wywołany
pojedynczym sygnałem wejściowym.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
3
Większość układów spotykanych w praktyce są
układami nieliniowymi. Traktowanie układów jako
liniowe jest wynikiem uproszczeń opisu procesów
regulacji.
W najogólniejszym przypadku sygnał sterujący u oraz
regulowanyy są, w przypadku układu ciągłego, związane
ze sobą zależnością opisującą niestacjonarny,
niestacjonarny,
nieliniowy układ dynamiczny
nieliniowy układ dynamiczny
:
W szczególnym przypadku, gdy nie występują
pochodne sygnału sterującego i sterowanego,
otrzymuje się nieliniowy, niestacjonarny układ
nieliniowy, niestacjonarny układ
statyczny
statyczny
:
0
t
,
dt
y
d
,
,
dt
dy
,
y
,
dt
u
d
,
,
dt
du
,
u
F
n
n
m
m
nd
0
t
,
y
,
u
F
ns
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
4
Jeżeli w równaniu nie wystąpi czas w postaci
argumentu, to otrzymuje się nieliniowy,
nieliniowy,
stacjonarny układ dynamiczny
stacjonarny układ dynamiczny
:
0
dt
y
d
,
,
dt
dy
,
y
,
dt
u
d
,
,
dt
du
,
u
F
n
n
m
sd
Analogicznie otrzymuje się stacjonarny układ
stacjonarny układ
statyczny
statyczny
:
F
ss
(u, y) = 0
opisany w postaci charakterystyki
charakterystyki
statycznej
statycznej
:
y =
f(u)
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
5
Elementy nieliniowe
Elementy nieliniowe
Przekaźnik dwupołożeniowy
Przekaźnik dwupołożeniowy
z histerezą
Przekaźnik trójpołożeniowy
Przekaźnik trójpołożeniowy z
histerezą
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
6
Element ze strefą nieczułości
Element z nasyceniem
Element ze strefą nieczułości
i nasyceniem
Element z luzem
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy
nieliniowe
7
Przykład: Przegub mechaniczny
Równanie charakterystyki statycznej:
u
sgn
a
u
y
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy
nieliniowe
8
Zastępcze charakterystyki statyczne
Zastępcze charakterystyki statyczne
podstawowych połączeń układów
podstawowych połączeń układów
nieliniowych
nieliniowych
Szeregowe połączenie elementów
Szeregowe połączenie elementów
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
9
Równoległe połączenie
Równoległe połączenie
elementów
elementów
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
10
Połączenie ze sprzężeniem
Połączenie ze sprzężeniem
zwrotnym:
zwrotnym:
y = f
1
[y
z
- f
2
(y)]
y = f
1
(e)
x = f
2
(y)
e = y
z
- x
y=f
1
(y
z
- x)
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
11
Stabilność układów
Stabilność układów
nieliniowych
nieliniowych
Rodzaje
Rodzaje
stabilności
stabilności
Układ regulacji opisany jest układem równań stanu:
n
2
1
n
n
n
2
1
k
k
n
2
1
2
2
n
2
1
1
1
x
...,
,
x
,
x
f
dt
dx
...
x
...,
,
x
,
x
f
dt
dx
...
x
...,
,
x
,
x
f
dt
dx
x
...,
,
x
,
x
f
dt
dx
n-wymiarowy układ współrzędnych
o osiach (x
1
,x
2
,...,x
n
) nosi nazwę
przestrzeni stanu
przestrzeni stanu
.
Uproszczenie przestrzeni stanu do
dwóch wymiarów prowadzi do
płaszczyzny fazowej
płaszczyzny fazowej
.
Punkt charakteryzujący chwilowy
stan układu wraz z upływem czasu
będzie się poruszał po
t
rajektorii
,
tworzącej portret fazowy
portret fazowy
.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
12
Każdy z punktów przestrzeni stanu, dla którego:
f
k
(x
1
,
x
2
,...,
x
n
) = 0
nosi nazwę punktu równowagi
punktu równowagi
układu.
Dla układu nieliniowego może być jeden lub więcej
punktów równowagi.
Dokonuje się przesunięcia środka układu współrzędnych
do punktu równowagi.
Wówczas na osiach n-wymiarowego układu
współrzędnych przestrzeni lub płaszczyzny stanu będą
odłożone składowe przejściowe zmiennych stanu.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
13
Punkt równowagi nazywa się punktem stabilnym
punktem stabilnym
w
sensie Lapunowa, jeżeli dla okręgu o dowolnie przyjętym
promieniu można dobrać okrąg o promieniu takim,
aby dla wszystkich punktów wewnątrz okręgu o
promieniu przyjętych jako punkty początkowe
trajektorii, nie wychodziła z okręgu o promieniu .
Jeżeli dodatkowo trajektoria ze
wzrostem czasu dąży do środka układu
współrzędnych, a więc do punktu
równowagi, to punkt równowagi nosi
nazwę punktu stabilnego
punktu stabilnego
asymptotycznie
asymptotycznie
w sensie Lapunowa.
Lapunov Aleksandr Michajłowicz
(1857-1918)
Rosyjski matematyk.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
14
Układ nieliniowy jest stabilny lokalnie
stabilny lokalnie
w punkcie równowagi,
jeżeli jest stabilny dla warunków początkowych z
dostatecznie małego otoczenia
małego otoczenia
punktu równowagi.
Układ nieliniowy jest stabilny globalnie
stabilny globalnie
w obszarze
obszarze
ograniczonym
ograniczonym
, jeżeli jest stabilny dla warunków
początkowych, dla których punkt początkowy trajektorii leży
w tym obszarze.
Układ nieliniowy jest stabilny totalnie
stabilny totalnie
w obszarze
obszarze
nieograniczonym
nieograniczonym
, jeżeli jest stabilny dla dowolnych
warunków początkowych.
Stabilność układów nieliniowych w sposób istotny zależy
od
warunków początkowych oraz od rodzaju i wielkości
zakłóceń,
które wyprowadziły układ ze stanu równowagi.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
15
I metoda
I metoda
Lapunowa
Lapunowa
Nieliniowy układ jest stabilny asymptotycznie w punkcie
równowagi (stabilny lokalnie) wtedy, gdy jego liniowe przybliżenie
rozwinięcia w szereg Taylora jest stabilne asymptotycznie:
n
nn
2
2
n
1
1
n
n
x
a
...
x
a
x
a
dt
dx
Asymptotyczną stabilność liniowego przybliżenia
stwierdza się na podstawie lokalizacji pierwiastków
równania charakterystycznego przybliżenia:
0
s
a
...
a
a
...
a
...
s
a
a
a
...
a
s
a
nn
2
n
1
n
n
2
22
21
n
1
12
11
Jeżeli pierwiastki s
1
,
s
2
,
...,s
n
tego równania leżą w lewej
półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, to liniowe
przybliżenie jest stabilne asymptotycznie.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
16
II metoda
II metoda
Lapunowa
Lapunowa
Jeżeli dla pewnej funkcji V(x
1
, x
2
, ..., x
n
) zwanej funkcją
Lapunowa:
• dodatnio określonej w pewnym obszarze zawierającym środek
układu współrzędnych n-wymiarowej przestrzeni
• dążącej do nieskończoności dla (x
1
, x
2
, ...,x
n
)
dążących do
nieskończoności,
• jej pochodna względem czasu dV/dt jest funkcją ujemnie
określoną w tym obszarze,
to wtedy nieliniowy układ jest stabilny asymptotycznie
stabilny asymptotycznie
w tym
obszarze (stabilność globalna lub totalna).
Jeżeli zaś pochodna dV/dt jest funkcją niedodatnio określoną w
tym obszarze, to rozpatrywany nieliniowy układ jest stabilny, ale
nie asymptotycznie.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
17
II metoda Lapunowa podaje jedynie warunki wystarczające,
które nie zawsze są warunkami koniecznymi stabilności
układu.
Dla tego samego stabilnego nieliniowego układu można dobrać
w ogólnym przypadku wiele różnych funkcji Lapunowa, przy
czym każdej z nich może odpowiadać inny warunek
wystarczający stabilności układu, określający pewien obszar
dopuszczalnych punktów początkowych trajektorii fazowej.
Często jako funkcję Lapunowa przyjmuje się:
2
n
2
2
2
1
x
...
x
x
2
1
V
Do szczegółowej analizy układów nieliniowych
najczęściej używane są metody:
• płaszczyzny fazowej,
• funkcji opisującej.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
18
Płaszczyzna
Płaszczyzna
fazowa
fazowa
Metoda polega na badaniu zachowania się układu na
płaszczyźnie, której osią odciętych jest uchyb e regulacji, a
osią
rzędnych jest pochodna uchybu względem czasu .
Metodę stosuje się w przypadku gdy charakterystykę
statyczną f(e) opisującą element nieliniowy można
aproksymować odcinkami prostymi oraz gdy część
liniowa układu opisana jest przez transmitancję G(j).
e
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
19
W każdej chwili czasowej uchyb i jego pochodna wyznaczają na
płaszczyźnie fazowej punkt.
W miarę upływu czasu punkt ten porusza się na płaszczyźnie
fazowej po krzywej, noszącej nazwę trajektorii fazowej.
Kształt trajektorii fazowej na płaszczyźnie fazowej umożliwia
dokonanie oceny własności rozpatrywanego układu
nieliniowego.
W przestrzeni fazowej można badać nie tylko przebiegi w
układach swobodnych, lecz także odpowiedzi układu na
wymuszenie skokowe, liniowo narastające oraz na
dowolne kombinacje tego typu wymuszeń.
Czas jest zawarty pośrednio w trajektorii fazowej i może
być odtworzony z wykresu.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
20
Prz
Prz
ykłady trajektorii fazowych
ykłady trajektorii fazowych
w przestrzeni
w przestrzeni
trójwymiarowej
trójwymiarowej
:
:
zakończonych
punktem równowagi
zdążających
do nieskończoności
zakończonych
cyklem
granicznym
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
21
Na płaszczyźnie fazowej można rozważać tylko układy
pierwszego rzędu oraz te układy drugiego rzędu, których
równanie:
i dają się sprowadzić do postaci:
0
e
,
e
,
e
F
,
e
,
e
P
dt
e
d
e
dt
de
lub:
e
e
,
e
P
de
e
d
Osiami płaszczyzny fazowej są e
oraz .
Kierunek przesuwania się
punktu po krzywej całkowej
przy wzrastającym czasie t jest
zgodny z ruchem wskazówek
zegara.
e
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
22
Krzywe łączące na płaszczyźnie fazowej punkty o
jednakowym nachyleniu krzywych całkowych tworzą
izokliny
izokliny
:
C
const
e
e
,
e
P
tg
Zmieniając wartość stałej C, tzn. kąt , otrzymuje się
rodzinę izoklin dostatecznie gęsto pokrywających
płaszczyznę fazową tak, aby znane było nachylenie
krzywych całkowych w każdym punkcie płaszczyzny.
Na podstawie rodziny izoklin wykreśla się przebieg
krzywych całkowych jako portret fazowy
portret fazowy
.
Z twierdzenia Cauchy’ego o jednoznaczności rozwiązania
układu równań różniczkowych z danymi warunkami
początkowymi wynika, że przez jeden punkt płaszczyzny
fazowej może przechodzić tylko jedna krzywa całkowa.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
23
Wyjątek stanowią punkty osobliwe
punkty osobliwe
, dla których
jednocześnie zachodzi: ,
0
e
,
e
P
0
e
czyli: ,
0
de
e
d
0
dt
de
Punkty osobliwe reprezentują punkty równowagi układu
punkty równowagi układu
,
nazywane też punktami równowagi statycznej.
Układy nieliniowe mogą mieć więcej punktów równowagi,
a mianowicie tyle, ile jest pierwiastków równania:
0
e
,
e
P
0
e
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
24
Punkty osobliwe:
Punkty osobliwe:
środek (stabilny)
siodło (niestabilne)
węzeł niestabilny
węzeł stabilny
ognisko niestabilne
ognisko stabilne
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
25
Jeżeli krzywa całkowa nie dochodzi do punktu równowagi, lecz
przechodzi w krzywą zamkniętą otaczającą ten punkt, to występuje
wówczas cykl graniczny jako zjawisko drgań nietłumionych układu
wokół położenia równowagi:
Cykl stabilny
Cykl
niestabilny
Jeżeli dla cyklu granicznego stabilnego warunki początkowe są tak
dobrane, że trajektoria fazowa rozpoczyna się wewnątrz cyklu, to
układ zachowuje się jak niestabilny i amplituda drgań rośnie, aż do
pokrycia się tej trajektorii z cyklem granicznym.
Jeżeli warunki początkowe wyznaczają punkt na zewnątrz cyklu
granicznego, to układ zachowuje się jak stabilny i amplituda drgań
maleje, aż do pokrycia się trajektorii fazowej z cyklem granicznym.
W stanie ustalonym istnieją drgania periodyczne i taki układ jest
stabilny dla dużych zakłóceń.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
26
Przykład
Przykład
Konstrukcja portretu fazowego metodą izoklin dla układu
regulacji kursu statku:
0
kMB
e
de
e
d
e
T
p
de
e
d
0
kMB
e
e
Tp
1
Tp
kMB
e
1
Tp
kB
e
1
Tp
kB
e
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
27
Rodzinę izoklin stanowią proste równoległe do osi
odciętych, a każdej z prostych jest przyporządkowana
wartość nachylenia trajektorii fazowych:
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
28
Funkcja
Funkcja
opisująca
opisująca
Własności elementu
nieliniowego wyraża
funkcja opisująca
jako
stosunek wartości zespolonej
amplitudy pierwszej
harmonicznej sygnału
wyjściowego do wartości
zespolonej amplitudy
sinusoidalnego sygnału
wejściowego:
e
u
harm
I
A
J
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
29
Zazwyczaj używa się tę metodę gdy nieliniowy element
(np. regulator przekaźnikowy) jest elementem
statycznym, opisanym nieliniową charakterystyką
statyczną, a część liniowa układu posiada własności filtru
dolnoprzepustowego (inercyjny obiekt regulacji):
e(t) = A sinψ
ψ = ωt
Rozwinięcie w szereg Fouriera wielkości
wyjściowej:
1
k
k
k
0
k
cos
C
k
sin
B
B
sin
A
f
t
u
2
0
0
d
sin
A
f
2
1
B
d
k
sin
sin
A
f
1
B
2
0
k
2
0
k
d
cos
sin
A
f
1
C
Fourier Joseph
(1768-1830)
Francuski matematyk.
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
30
W praktyce część liniowa układu jest filtrem
dolnoprzepustowym, więc można w przybliżeniu przyjąć,
że poza składową stałą i pierwszą harmoniczną
wszystkie dalsze harmoniczne zostaną na tyle stłumione,
że można je pominąć.
Jeżeli założyć ponadto, że charakterystyka statyczna
nieliniowego elementu jest charakterystyką symetryczną
względem środka układu współrzędnych, to w układzie nie
wystąpi składowa stała.
cos
C
sin
B
)
t
(
u
1
1
B
C
B
2
1
2
1
cos
C
B
B
2
1
2
1
1
sin
C
B
C
2
1
2
1
1
j
j
e
Be
Im
sin
B
t
u
j
Ae
Im
t
e
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
31
Funkcja opisująca J(A)
Funkcja opisująca J(A)
charakteryzuje w sposób przybliżony
własności elementu nieliniowego i jest odpowiednikiem
transmitancji widmowej elementu liniowego G(j).
Opis własności elementu nieliniowego za pomocą funkcji
opisującej J(A) jest wynikiem linearyzacji harmonicznej
linearyzacji harmonicznej
.
Jeżeli charakterystyka statyczna elementu nieliniowego jest
funkcją jednoznaczną, to funkcja opisująca J(A) staje się
funkcją
rzeczywistą, gdyż C
1
=0.
2
0
j
1
1
j
d
e
sin
A
f
A
j
A
jC
B
e
A
B
A
J
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
32
Przykład
Przykład
Wyznaczenie funkcji opisującej elementu nieliniowego
o charakterystyce statycznej histerezy:
1
1
m
2
j
j
0
j
m
2
0
j
sin
j
cos
A
u
4
d
e
d
e
d
e
A
ju
d
e
sin
A
f
A
j
A
J
1
1
1
1
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
33
1
sin
A
a
A
a
sin
1
2
2
1
A
a
1
cos
)
A
(
j
2
2
m
e
)
A
(
B
A
a
j
A
a
1
A
u
4
A
J
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
34
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista
Dla amplitudy A wymuszenia sinusoidalnego elementu
nieliniowego o jednoznacznej i symetrycznej
charakterystyce statycznej, zgodnie z opisaną metodą
linearyzacji harmonicznej, można go zastąpić członem
proporcjonalnym o nachyleniu charakterystyki J(A).
Układ nieliniowy stanie się wtedy układem liniowym,
dzięki czemu można zastosować znane dla układów
liniowych kryterium stabilności Nyquista.
Zgodnie z tym kryterium, w układzie powstaną drgania
sinusoidalne o amplitudzie A, o ile charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego będzie
przechodziła przez punkt krytyczny (-1, j0), czyli gdy
będzie spełniona zależność:
0
1
j
G
A
J
czyli
A
J
1
j
G
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
35
Jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa części
liniowej G(jω) nie obejmuje wykresu krytycznego
wykresu krytycznego
(
), wówczas zgodnie z kryterium Nyquista układ jest
zawsze stabilny
stabilny
dla dowolnych amplitud wymuszenia:
A
J
1
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
36
Jeżeli krzywa G(jω) obejmuje w całości krzywą ( ), to układ
jest niestabilny dla dowolnych amplitud wymuszenia początkowego:
A
J
1
prof. Józef Lisowski
PODSTAWY AUTOMATYKI_XII_Układy nieliniowe
37
Jeżeli krzywa G(jω) przecina się z krzywą ( ) w dwóch
punktach P
1
i P
2
, którym odpowiadają amplitudy i pulsacje A
1
i
ω
1
oraz A
2
i ω
2
, to można wykazać, że punktowi P
1
odpowiadają
drgania niestabilne w układzie, punktowi P
2
zaś drgania stabilne.
A
J
1