Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny

PODSTAWY AUTOMATYKI

część 11

Układy nieliniowe

Układy nieliniowe

Elementy i układy nieliniowe opisywane są za pomocą nieliniowych
równań różniczkowych, różnicowych lub algebraicznych.
Nie obowiązuje ich zasada superpozycji.

Ogólna postać równania opisującego nieliniowy, niestacjonarny układ:

F(y

(n)

,y

(n-1)

,...,y,u

(m)

,u

(m-1)

,...,u,t)=0

Ogólna postać równania opisującego nieliniowy, stacjonarny układ:

F(y

(n)

,y

(n-1)

,...,y,u

(m)

,u

(m-1)

,...,u)=0

Elementy i układy nieliniowe opisywane są za pomocą nieliniowych
równań różniczkowych, różnicowych lub algebraicznych.
Nie obowiązuje ich zasada superpozycji.

Ogólna postać równania opisującego nieliniowy, niestacjonarny układ:

F(y

(n)

,y

(n-1)

,...,y,u

(m)

,u

(m-1)

,...,u,t)=0

Ogólna postać równania opisującego nieliniowy, stacjonarny układ:

F(y

(n)

,y

(n-1)

,...,y,u

(m)

,u

(m-1)

,...,u)=0

Układem nieliniowym jest każdy układ zawierający chociaż jeden
element nieliniowy

Układem nieliniowym jest każdy układ zawierający chociaż jeden
element nieliniowy

Nieliniowe są wszystkie układy zawierające elementy o działaniu
przekaźnikowym lub elementy, w których uwzględniamy takie
zjawiska jak tarcie suche (Columba), luzy, histereza albo
mechaniczne ograniczenia ruchu.

Nieliniowe są wszystkie układy zawierające elementy o działaniu
przekaźnikowym lub elementy, w których uwzględniamy takie
zjawiska jak tarcie suche (Columba), luzy, histereza albo
mechaniczne ograniczenia ruchu.

W najprostszym przypadku, kiedy element nieliniowy można
traktować jako bezinercyjny, własności elementu są zdefiniowane
przez podanie jego charakterystyki statycznej

Układ nieliniowy statyczny (niestacjonarny) opisuje równanie:

F

1

(u,y,t)=0

Układ nieliniowy statyczny (stacjonarny) opisuje równanie:

F

1

(u,y)=0

W najprostszym przypadku, kiedy element nieliniowy można
traktować jako bezinercyjny, własności elementu są zdefiniowane
przez podanie jego charakterystyki statycznej

Układ nieliniowy statyczny (niestacjonarny) opisuje równanie:

F

1

(u,y,t)=0

Układ nieliniowy statyczny (stacjonarny) opisuje równanie:

F

1

(u,y)=0

Układy nieliniowe

Podstawowe charakterystyki statyczne

elementów nieliniowych

Charakterystyki statyczne elementów nieliniowych dzielimy na jednoznaczne i
wieloznaczne. Wieloznaczne są charakterystyki elementów z histerezą.

Złożone charakterystyki statyczne

elementów nieliniowych

Przykład

Przykład

Wyznaczanie charakterystyki statycznej

członów połączonych szeregowo

Wyznaczanie charakterystyki statycznej

członów połączonych równolegle

wejście

y

p

0

0,5

1

1

2

3

4

5

u

2

B

A=u

2

+B

y

p

=f(u

2

)

y

p

=f(B)

y

p

=f(A)

Wyznaczanie charakterystyki statycznej

członów układu s.z.

Przestrzeń stanów

Zachowanie układu nieliniowego może zależeć od rodzaju i wielkości zakłócenia,
mogą występować stany stałych drgań.

Podstawowa definicja sformułowana przez Lapunowa dotyczy stabilności punktu
równowagi układu i opiera się na pojęciu przestrzeni stanów (przestrzeni fazowej).

Przyjmijmy, że współrzędne punktu równowagi X

0

zostały sprowadzone do początku

układu współrzędnych:

A

Stabilność lokalna wg Lapunowa

Jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek:

to dany punkt nazywa się stabilnym asymptotycznie.

Punkt równowagi nazywa się stabilnym, jeżeli dla każdego, dowolnie
małego obszaru

ε odchyleń od stanu równowagi można dobrać taki obszar η

warunków początkowych, że cała trajektoria startująca z obszaru

η będzie

zawarta wewnątrz obszaru

ε.

Punkt równowagi nazywa się stabilnym, jeżeli dla każdego, dowolnie
małego obszaru

ε odchyleń od stanu równowagi można dobrać taki obszar η

warunków początkowych, że cała trajektoria startująca z obszaru

η będzie

zawarta wewnątrz obszaru

ε.

Stabilność lokalna i globalna

Stabilność lokalna - dotyczy stabilności układu w małym otoczeniu punktu

równowagi.

Stabilność globalna –dotyczy punktu równowagi przy dowolnie dużych
warunkach początkowych

Niestabilny punkt równowagi

Stabilność lokalna

Stabilność globalna

Pierwsza metoda Lapunowa

Metoda ta formułuje warunki stabilności lokalnej układu, którego równania mogą być

linearyzowane:

Przyjmijmy, że stan równowagi znajduje się w początku układu współrzędnych i układ

nieliniowy opisany jest za pomocą równań stanu:

Funkcję można w otoczeniu punktu równowagi rozwinąć w szereg Taylora:

A

Pierwsza metoda Lapunowa

Pomijając (przyrównując do zera) nieliniowe części R

i

rozwinięcia oraz biorąc pod

uwagę, że w punkcie równowagi f

i

(0,0,...,0)=0, możemy liniowe przybliżenie układu

równań przedstawić w postaci:

Do badania stabilności tego układu możemy zastosować znane kryteria stabilności
układów liniowych.
Podstawowe tezy pierwszej metody Lapunowa:
1. Jeżeli zastępczy układ liniowy opisany równaniami B jest stabilny asymptotycznie,
to układ nieliniowy opisany równaniami A jest równie stabilny asymptotycznie ( i
odwrotnie).
2. Jeżeli zastępczy układ liniowy jest na granicy stabilności, to układ nieliniowy
może być zarówno stabilny jak i niestabilny. Decydujący wpływ na stabilność układu
mają wtedy części

R

i

rozwinięcia w szereg Taylora, pominięte w równaniach A

B

Przykład

0

)

(

2

2

2

=

+

+

+

t

d

y

d

c

y

t

d

y

d

T

t

d

y

d

t

d

y

d

x

y

x

=

=

2

1

,

2

2

2

1

2

2

1

cx

Tx

x

t

d

x

d

x

t

d

x

d

−

−

−

=

=

2

1

2

2

1

Tx

x

t

d

x

d

x

t

d

x

d

−

−

=

=

T

A

−

−

=

1

1

0

0

1

1

1

2

=

+

+

=

−

−

−

−

Ts

s

s

T

s

0

>

T

Dla T>0 układ jest stabilny
asymptotycznie w punkcie (0,0)

Druga metoda Lapunowa

Metoda ta nazywana jest bezpośrednią. Wykazuje ona analogię do metod
rozpatrujących dynamikę układu na podstawie analizy zmagazynowanej energii.

Jeśli szybkość zmiany energii układu swobodnego jest wartością ujemną dla
wszystkich możliwych stanów układu z wyjątkiem pojedynczego punktu
równowagi, to energia układu maleje, aż do chwili osiągnięcia wartości
minimalnej w punkcie równowagi.

Nie zawsze można wyznaczyć energię układu, dlatego stosowana jest funkcja
Lapunowa, będąca skalarną funkcją stanu układu:

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

V

Funkcja powinna być dodatnio określona w obszarze D zawierającym początek
układu współrzędnych, jeśli w każdym punkcie tego obszaru, różnym od
początku układu współrzędnych przyjmuje wartości dodatnie.

2

2

2

2

1

...

n

x

x

x

V

+

+

+

=

Twierdzenie Lapunowa

I.

Twierdzenie o stabilności

Układ nieliniowy opisany równaniami stanu jest stabilny asymptotycznie w
obszarze D zawierającym początek układu współrzędnych, jeżeli można
dobrać taką funkcję

V

dodatnio określoną w obszarze D, której pochodna

względem czasu jest funkcją ujemnie określoną w tym obszarze.

Jeżeli

dV/dt

jest funkcją niedodatnio określoną w obszarze D, to

rozpatrywany układ nieliniowy jest stabilny, ale nie asymptotycznie.

II

Twierdzenie o niestabilności

Układ nieliniowy opisany równaniami stanu, dla którego istnieje

rzeczywista funkcja ciągła

V

, mająca ujemnie określoną pochodną

dV/dt =W

, jest niestabilny w tym ograniczonym obszarze przestrzeni stanów,

w którym

V

nie jest nieujemnie określona.

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

V

Druga metoda Lapunowa

Tw. Lapunowa podają warunki dostateczne, ale nie konieczne.

Dla danego ukladu można stworzyć wiele funkcji

Jeśli pewna funkcja nie pozwoli stwierdzić, czy układ jest stabilny, to nie
wyklucza to możliwości znalezienia innej funkcji

V

, która pozwoli na ocenę

stabilności układu.

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

V

Układ nieliniowy

-

f(e)

G(s)

e

x

y

f(e)=

-B dla e<=a,

de>0

B dla e>a,

de>0

B dla e>=-a,

de<0

-B dla e<-a,

de<0

np.: G(s)=k/s(Ts+1)

Przestrzeń stanów (fazowa)

n – wymiarowa przestrzeń w układzie współrzędnych
kartezjańskich, na którego osiach odkładamy kolejno

:

y(t), y’(t), y’’(t),..., y

(n-1)

(t).

y

y’

y’’

dla n=3:

W praktyce posługujemy się szczególnym przypadkiem

przestrzeni, mianowicie płaszczyzną fazową.

Charakterystyczny jest wybór współrzędnych stanu

:

x

1

=y(t), x

2

= y’(t), x

3

= y’’(t),...

Trajektoria fazowa (krzywa całkowa)

Trajektoria fazowa - zbiór kolejnych stanów dynamicznych układu
(punktów w przestrzeni fazowej)

Wychodzi z punktu przedstawiającego warunki początkowe.

Wyznaczenie trajektorii fazowej umożliwia ocenę stabilności układu
(lokalnej lub globalnej) oraz charakteru przebiegów przejściowych
i niektórych własności statycznych.

Wyróżniamy trzy przypadki zachowania się krzywych:

kończy się w punkcie

równowagi

zmierza do

nieskończoności

przechodzi w krzywą

zamkniętą (cykl graniczny)

y

y’

y’’

y

y’

y’’

y

y’

y’’

Opis matematyczny analizowanych układów

Za pomocą trajektorii fazowych możemy rozważać na płaszczyźnie
fazowej tylko układy pierwszego rzędu oraz te układy drugiego rzędu:

F(

y

, y’,y’’)=0

,

których równania dają się sprowadzić do postaci:

y’’=P

(

y

, y’)=0

eliminując czas mamy:

y

y

y

P

y

d

y

d

&

&

&

)

,

(

=

y

t

d

y

d

y

y

P

t

d

y

d

&

&

&

=

=

)

,

(

Własności trajektorii fazowych

Kierunek przesuwania się punktu po trajektorii fazowej jest zawsze

dy>0

w górnej półpłaszczyźnie i

dy<0

w dolnej półpłaszczyźnie.

)

0

(

,

>

=

⇒

=

dt

y

dy

dt

dt

dy

y

&

&

y

y’

Własności trajektorii fazowych

0

=

= y

dt

dy

&

Trajektorie przecinają oś

y

pod kątem prostym:

y

y’

Własności trajektorii fazowych

Przez dany punkt płaszczyzny fazowej może przechodzić jedna
krzywa całkowa.

Wyjątek stanowią punkty osobliwe, przez które przechodzi kilka
krzywych całkowych albo żadna, w których:

0

0

)

,

(

=

=

y

oraz

y

y

P

&

&

tangens nachylenia stycznej do krzywej całkowej jest nieoznaczony:

0

0

=

y

d

y

d &

y

y

y

P

y

d

y

d

&

&

&

)

,

(

=

Własności trajektorii fazowych

Równanie jest podstawą tzw. metody izoklin

Izoklina jest krzywą łącząca punkty o jednakowym nachyleniu
stycznych do trajektorii fazowej

Równanie izoklin:

α

tg

y

y

y

P

y

d

y

d

=

=

&

&

&

)

,

(

C

const

tg

y

y

y

P

=

=

=

α

&

&)

,

(

Zmieniając wartość

C

, tzn. kąt

α

, otrzymamy siatkę izoklin pozwalającą

wykreślić przebieg krzywych całkowych i wyznaczyć tzw. portret
fazowy.

Izokliny

Izokliny są to krzywe łączące na płaszczyźnie fazowej punkty o jednakowym

nachyleniu krzywych całkowych

y

y’

izokliny

znaczniki nachylenia

trajektorie fazowe

Dlaczego rys. jest niepoprawny?

Własności trajektorii fazowych

Punkty osobliwe reprezentują punkty (stany) równowagi układu.
W układach liniowych istnieje tylko jeden punkt równowagi (0,0):

0

)

,

(

=

+

=

y

b

ay

y

y

P

&

&

W układach nieliniowych punktów równowagi jest tyle, ile
pierwiastków równania:

0

)

,

(

0

=

=

y

y

y

P

&

&

Punkty osobliwe

Przykłady punktów osobliwych: ognisko, węzeł, siodło, środek

Cykle graniczne

Analiza własności układu

Z portretu fazowego możemy określić:

- rodzaj przebiegu przejściowego

- liczbę przeregulowań

- stabilność układu

- amplitudę cyklu granicznego (jeśli istnieje)

Przykład 1

Określić trajektorię fazową układu określonego równaniem:

2

2

=

+ y

y&

1

2

y&

y

Określić czas przejścia od punktu o współrzędnej y=0 do y=1:

y

dy

dt

y

dt

dy

&

&

=

=

2

/

1 y

y

−

=

&

4

ln

=

t

∫

=

1

0

y

dy

t

&

Przykład 2

Schemat blokowy badanego układu nadążnego (serwomechanizmu)

Przyjmijmy, że wzmacniacz jest elementem bezinercyjnym o
współczynniku proporcjonalności A, natomiast silnik ma moment
bezwładności I oraz tarcie suche, którego moment ma wartość
bezwzględną K i znak zależy od znaku prędkości kątowej.

Charakterystyka tarcia suchego

Przykład

Przykład

Przykład

Przykład

Przykład

Przykład

Własności trajektorii fazowych

Czas przejścia odcinka AB na trajektorii fazowej:

Własności trajektorii fazowych

Prędkość na trajektorii fazowej w punkcie

)

,

( y

y &

0

)

,

(

0

=

=

y

y

y

P

&

&

składowe prędkości

Przykład

)

(

2

1

2

2

2

1

x

x

V

+

=

)

(

2

2

2

2

2

1

1

cx

T

x

dt

dx

x

V

dt

dx

x

V

dt

dV

+

−

=

∂

∂

+

∂

∂

=

0

0

>

>

c

i

T

2

2

2

1

2

2

1

cx

Tx

x

t

d

x

d

x

t

d

x

d

−

−

−

=

=