TOMOGRAFIA POZYTONOWA

POSITRON EMISSION TOMOGRAPHY

(PET)

ANIHILACJA POZYTONÓW

Zjawisko anihilacji pozytonów

W roku 1930 P.A.M.Dirac przewidział istnienie pozytonu,
natomiast w 1932 r. J.Anderson wykrył pozytony w
promieniowaniu kosmicznym. Następnie J.Curie i F.Joliot
stwierdzili, że pozytony są emitowane przez niektóre
jądra w procesie rozpadu promieniotwórczego.
Masa pozytonu równa się masie elektronu :

kg

10

9.31

m

m

31

-

e

e

-

+







a ładunek elektryczny równy jest co do wartości
bezwzględnej ładunkowi elektronu :

C

19

-

e

e

10

1.6

q

q

-

+







Spin i moment magnetyczny pozytonu i elektronu mają te
same wartości równe s=1/2 i  = B, z tym, że moment

magnetyczny pozytonu jest równoległy do jego spinu, a
moment magnetyczny elektronu antyrównoległy.

Jeżeli pozyton zderzy się ze swobodnym
elektronem

to

wówczas

następuje

anihilacja tych cząstek z jednoczesną
emisją parzystej lub nieparzystej liczby
kwantów gamma:

e

+

+ e

-

= 2 n 

e

+

+ e

-

= (2n + 1) 

 

gdzie n - liczba całkowita;

n = 1,2,3....

Ślad pozytonu kosmicznego o energii 69 MeV
otrzymany przez Andersona w komorze Wilsona:
w środku komory znajduje się płyta ołowiana o
grubości 6 mm, średnica komory 16,5 cm, pole
magnetyczne o natężeniu 15 kGs.
 

Tory pary pozyton-elektron otrzymanej w
komorze Wilsona przez naświetlanie promieniami
 o energii 17,6 MeV płytki ołowianej o grubości

0,33 mm, pole magnetyczne o natężeniu 2,5 kGs.

Ślady pary elektronowej (negatonu i pozytonu) i
elektronu odrzutu (fotografia stereoskopowa)

Jak się okazuje w wyniku anihilacji swobodnej
pary e+ e

-

z największym prawdopodobieństwem

następuje emisja dwóch lub trzech kwantów
gamma. Obliczone zostały przekroje czynne
anihilacji dwu- i trójkwantowej wynoszące
odpowiednio:

gdzie:

r

0

= e

2

/ mc

2

= 2.8 10

-15

- klasyczny promień

elektronu;

c = 3 x 10

8

m/ - prędkość światła;

 = 1 / 137 - stała struktury

subtelnej;

v – prędkość elektronu
Z - liczba atomowa.

v

c

r

2

0

2

















c

r

v

9

3

4

2

0

2

3





Powyższe wzory odnoszą się do pozytonów, których
prędkość jest dużo mniejsza od prędkości światła .
Stosunek przekrojów czynnych anihilacji 3 i 2

wynosi:

372

1

3

)

9

(

4

2

2

3





















Powyższy wynik wskazuje, że w przypadku anihilacji
pozytonów poprzez zderzenia z elektronami swobodnymi,
spośród 373 pozytonów aż 372 anihiluje dwukwantowo a
jeden trójkwantowo.

W ośrodkach, w których anihilacja jest swobodna
zdecydowanie przeważa proces anihilacji dwukwantowej.

Wyznaczono

wartości

czasów

życia

pozytonów

swobodnych w próżni i tak dla anihilacji dwukwantowej i
dla anihilacji trójkwantowej :



2

= 4.5 x 10

-10

s



3

= 1.7 x 10

-7

s

Oprócz anihilacji swobodnej może istnieć także anihilacja
pozytonu z elektronem w stanie związanym. Następuje
ona wtedy, gdy pozyton utworzy z elektronem atom
wodoropodobny zwany pozytem Ps .

Istnienie pozytu teoretycznie przewidział w 1934 r.
S.Moharovic, a eksperymentalnie stwierdził istnienie
pozytu w 1951 r. M.Deutsh. Z przeprowadzonych badań i
obliczeń wynika, że pozyt jest analogiem atomu wodoru,
w którym rolę protonu odgrywa pozyton.

eV

6.77

E

Ps
w



Energia wiązania pozytu, jego promień i masa opisane są
z zadowalającym przybliżeniem, w/g teorii budowy atomu
Bohra.

Energia wiązania pozytu jest dwukrotnie mniejsza niż
wodoru. Natomiast promień borowski pozytu jest
dwukrotnie większy niż atomu wodoru.

Jeżeli mamy do czynienia z oddziaływaniem powolnych
pozytonów z elektronami, kiedy moment orbitalny l=0,
oraz w zależności od tego czy spiny obu cząstek są
równoległe czy antyrównoległe mamy do czynienia ze
stanem tripletowym 3S

1

(dla którego całkowity mement

będący sumą momentu orbitalnego i spinowego J=1) lub
singletowego 1S

0

(dla którego całkowity moment J=0).

Parytet ładunkowy układu pozyton - elektron Pc równa
się:

P

c

= P

i

P

l

P



 

gdzie :

Pi

- parytet wewnętrzny,

P

l

- parytet przestrzenny,

P

- parytet spinowy.

wodór

pozyt

Masa zredukowana: ≈ m

e

m

e

/2

Promień Bohra: 0,53Å
1,06Å
Energia jonizacji: 13,6 eV
6,8 eV

Dla układu cząstka - antycząstka parytet wewnętrzny P

i

= -1, parytet przestrzenny P

l

= (-1)l, parytet spinowy P



= -(-1)  . W związku z tym dla stanu tripletowego parytet

ładunkowy P

c

będzie:

-1

=

-(-1)

[

(-1)

(-1)

=

P

1

0

c





1

=

[-(-1)

(-1)

(-1)

=

P

0

0

c







Ponieważ parytet ładunkowy n fotonów wynosi Pc=(-1)n
zatem z zasady zachowania parytetu wynika, że
anihilacja ze stanu tripletowego

3

S

1

zachodzi na

nieparzystą

liczbę

kwantów

gamma

(najbardziej

prawdopodobna 3 ), natomiast dla stanu singletowego

1

S

0

na parzystą liczbę kwantów gamma (najbardziej

prawdopodobna 2 ).

a dla stanu singletowego:

Ze względu na to, że mamy różne ustawienia spinów pary
e

+

e

-

wyróżniamy dwie odmiany pozytu: parapozyt p-Ps o

antyrównoległym ustawieniu spinów (stan

1

S

0

) oraz

ortopozyt o-Ps o równoległym ustawieniu spinów (stan

3

S

1

) .

Anihilacja parapozytu (a) i ortopozytu (b)

Całkowity momement pędu ortopozytu J=1, przy czym są
możliwe trzy sposoby realizacji tego stanu : a mianowicie
dla magnetycznej liczby kwantowej m=0, m=+1, m=-1.
Dla parapozytu, gdzie całkowity moment pędu J=0,
możliwy jest tylko jeden przypadek dla m=0. Z tego
wynika, że w procesie tworzenia się pozytu w 75%
powstaje ortopozyt, a w 25% parapozyt.

2

2

0

s

s

(0)

c

r

4

1











Obliczono teoretyczne wartości stałych rozpadu i czasów
życia pozytonów ze stanów związanych o-Ps i p-Ps.

Dla p-Ps stała rozpadu wyraża się wzorem :

gdzie:



s

- średni czas życia p-Ps;

(0 - gęstość funkcji falowej elektronu w obszarze

zajmowanym przez pozyton w stanie podstawowym
(n=1).;

r

0

- klasyczny promień elektronu; c - prędkość

światła. 

gdzie:


t

- średni czas życia o-Ps;



- stała struktury subtelnej;

s

- stała rozpadu p-Ps.

s

t

t

9)

-

(

9

4

=

1

=











s

10

1.4

=

s

10

7.14

=

s

10

1.25

=

s

10

8

=

7

-

t

1

-

6

t

10

-

s

1

-

9

s

















Dla o-Ps:

Otrzymane stąd wartości stałych rozpadu i średnich
czasów życia wynoszą odpowiednio:

wartości te są w dobrej zgodności z danymi
doświadczalnymi dla wielu substancji .

Gdy orientacja spinów elektronu i pozytonu jest
antyrównoległa to z zasady zachowania energii, pędu i
parzystości następuje emisja parzystej liczby kwantów o
energii: 0,51 MeV każdy:



n

2









e

e

przy czym najbardziej prawdopodobna jest anihilacja
dwukwantowa:



2









e

e

Gdy orientacja spinów elektronu i pozytonu jest
równoległa to zasady zachowania są spełnione tylko w
przypadku emisji nieparzystej liczby kwantów zgodnie ze
wzorem:



)

1

n

2

(











e

e

przy czym najbardziej prawdopodobna jest anihilacja
trójkwantowa:



3









e

e

Anihilacja w której powstałby jeden kwant jest możliwa
jedynie w obecności trzeciego ciała przejmującego pęd
odwrotny:

M

M

e

e















W 1949 r. A.Ore opracował teorię opisującą
oddziaływanie pozytonów z gazami.

Jednakże model Ore dotyczący oddziaływania pozytonów
z gazami nie może być w pełni stosowany w przypadku
oddziaływania pozytonów z ciałami stałymi i cieczami.

Mogensen założył, że pozyton przy wytracaniu
ostatnich 10-50 eV swojej energii przebywa
drogę tego samego rzędu i wtedy może nastąpić
reakcja tworzenia pozytu z jednym z uwolnionych
elektronów towarzyszących niejako pozytonowi.

Dla tych substancji poprawny model przedstawił w 1974
r. O.E.Mogensen.

Stwierdził on, że pozyton wytraca ostatnie 100-200 eV
swojej energii na jonizację atomów ośrodka, przy czym
wytworzone elektrony posiadają energię rzędu 10-50 eV.

Elektrony te termalizując się (czyli wytracając swoją
energię) przebywają pewną drogę w ośrodku.

Z poprzednich obliczeń (parytetu parzystości i
momentów pędu) wynikało, że w przypadku
utworzenia

pozytu

prawdopodobieństwo

powstania ortopozytu trzykrotnie przewyższa
prawdopodobieństwo powstania parapozytu.

Jednakże liczne oddziaływania pozytu z materią
powodują, że stosunek liczby atomów o-Ps do
liczby atomów p-Ps w momencie anihilacji może
być różny od trzech.

Procesy prowadzące do zmiany tego stosunku
nazywa się procesami gaszenia pozytu .

Podstawowym procesem gaszącym jest proces
"pick-off". Polega on na tym, że pozyton związany
z elektronem (w atomie pozytu) nie anihiluje z
tym elektronem, lecz z jednym z elektronów
otoczenia.

Następuje tutaj zerwanie wiązania pozytu i
natychmiastowa

anihilacja

pozytonu

z

elektronem wywołującym to zerwanie. Ze
względu na krótki czas życia parapozytu, proces
"pick-off" dotyczy głównie ortopozytu.

Anihilacja ortopozytu poprzez proces "pick-off"
prowadzi zwykle do emisji dwóch kwantów
gamma, jako że anihilacji pozytonu z elektronem
wywołującym

ten

proces

jest

anihilacją

swobodną.





-

-

+

-

m o l e k u la

p o z y t

Proces pick-off

 

Konsekwencją wystąpienia procesu "pick-off"
jest skróceniem o-Ps. Polega on na tym, że
pozyton związany z elektronem (w atomie
pozytu) nie anihiluje z czasem życia
o-Ps.

Przyjmuje się zgodnie z pomiarami czasu życia
pozytonów, że anihilacja o-Ps poprzez proces
"pick-off" nastąpi po czasie około 10

-9

s.

Istnieje szereg dalszych procesów gaszących
pozyt, które jednak nie występują w przypadku
stosowania PET :

konwersja wewnętrzna i zewnętrzna występujące
przy oddziaływaniu na próbkę silnymi polami
magnetycznymi

i

elektromagnetycznymi

i

paramagnetykami

oraz

szereg

reakcji

chemicznych jak: utlenianie, reakcje wymiany i
przyłączania.

Ze względu na bardzo skomplikowany charakter
anihilacji tych procesów, należy je rozpatrywać
dla indywidualnych przypadków. Mogą tworzyć
się pewne straty pośrednie, prowadzące w
konsekwencji do rozpadu poprzez proces "pick-
off".

Czasy życia pozytonów  w próbce są

bezpośrednio

związane

z

koncentracją

elektronów n

e

dostępnych dla danego typu

anihilacji

(anihilacji

swobodnej,

anihilacji

parapozytu czy anihilacji gaszenia ortopozytu),
następującym wzorem:





c

r

1

n

2

e



gdzie:

n

e

- koncentracja elektronów dostępnych dla danego

typu anihilacji,

r

- klasyczny promień elektronów,

c

- prędkość światła,



- składowa czasu życia pozytonów danego typu

anihilacji.

Na

22

 Ne

22

+ 

+

+ 

e