Uwzględnienie niejednorodności badanego obszaru
|
Załóżmy, że w tym samym rozpatrywanym przypadku element 1 jest podobszarem o konduktywności , natomiast element 2 - podobszarem o konduktywności . W tym przypadku przy formowaniu macierzy stanu należy uwzględnić para-metry materiałowe (konduktywności elementów). |
Macierze: - elementu o konduktywności i - elementu o konduktywności , będą miały postać:
, . (21)
Macierz stanu H takiego obszaru obliczymy ze wzoru:
(22)
Transformacja elementu do lokalnego układu współrzędnych
W celu wyznaczenia macierzy stanu elementu należy ustalić granice całkowania w obszarze. Dla uproszczenia dokonuje się sprowadzenia dowolnego elementu czworo-kątnego do tzw. czworokąta unormowanego |
|
Dowolny czworokąt z obszaru D w układzie prostokątnym (x, y), zwanym globalnym, ma wierzchołki P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), P4(x4,y4), natomiast czworokąt unormowany jest położony w układzie współrzędnych (ξ, η), zwanym lokalnym. Jest to kwadrat, którego boki mają długości jednostkowe. Proces takiego przekształcenia nazywa się transformacją do układu lokalnego.
Transformacji dokonujemy za pomocą wzorów:
, . (23)
Po przekształceniu otrzymamy wzory na funkcje kształtu:
, ,
, .
W celu obliczenia całki we wzorze (14) w lokalnym układzie współrzędnych należy:
wyrazić , przez , ,
wyrazić element powierzchni dxdy elementem powierzchni dd,
zmienić granice całkowania (będą one stałe i jednostkowe).
Z reguł różniczkowania cząstkowego wynika, że:
. (24)
Różniczkując podobnie po otrzymamy układ równań:
. (25)
Macierz nazywana jest jakobianem przekształcenia (transformacji do układu lokalnego). Obowiązuje też zależność:
(26)
Element powierzchni dxdy można opisać wzorem:
, (27)
gdzie jest współczynnikiem zmiany krotności powierzchni elementu przy przechodzeniu z układu do .
Wzór (14) w układzie lokalnym (dla kx=ky) będzie miał postać:
(28)
.
Analogicznie postępuje się przy transformacji innych typów elementów (jedno-, dwu- i trójwymiarowych).
Element skończony prostokątny
W przypadku TK, w procesie dyskretyzacji obszarów dwuwy-miarowych wygodne jest użycie elementu skończonego o kształ-cie prostokątnym, gdyż jest on naturalnym odzwierciedleniem punktu na ekranie. Jest to istotne w procesie konstrukcji obrazów tomograficznych.
|
Wymiary elementu:
gdzie: - współrzędne węzła 1, - współrzędne węzła 3.
|
Transformację do lokalnego układu współrzędnych dla elementu prostokątnego można zapisać wzorami:
, . (29)
Jakobian takiego przekształcenia ma postać:
, . (30)
Natomiast wyznacznik jakobianu jest równy:
. (31)
Uwzględniając zależność (28) i, j-ty element macierzy stanu można więc opisać wzorem:
. (32)
Macierz stanu elementu prostokątnego po scałkowaniu symbolicznym przy pomocy pakietu Mathematica ma postać:
. (33)
Formowanie pasmowego układu równań
W przypadku pasmowego układu równań istotny jest fakt, że elementy macierzy K o wymiarze r×r spełniają zależność:
dla (34)
gdzie d = 2m+1 jest szerokością pasma macierzy (d<r).
Macierz K ma n2 elementów. Jeśli jest ona symetryczna, w pamięci wystarczy przechowywać połowę pasma razem z główną przekątną, czyli (m+1)n elementów.
Jeśli pełny układ równań dany jest wzorem (19):
to układ pasmowy ma postać:
(35)
Układ można rozwiązać przy niewielkiej modyfikacji metody Gaussa.
27