TOMOGRAF, WYKLAD3, Pojęcia wstępne


Uwzględnienie niejednorodności badanego obszaru

Załóżmy, że w tym samym rozpatrywanym przypadku element 1 jest podobszarem o konduktywności , natomiast element 2 - podobszarem o konduktywności .

W tym przypadku przy formowaniu macierzy stanu należy uwzględnić para-metry materiałowe (konduktywności elementów).

Macierze: - elementu o konduktywności i - elementu o konduktywności , będą miały postać:

, . (21)

Macierz stanu H takiego obszaru obliczymy ze wzoru:

(22)

Transformacja elementu do lokalnego układu współrzędnych

W celu wyznaczenia macierzy stanu elementu należy ustalić granice całkowania w obszarze. Dla uproszczenia dokonuje się sprowadzenia dowolnego elementu czworo-kątnego do tzw. czworokąta unormowanego

Dowolny czworokąt z obszaru D w układzie prostokątnym (x, y), zwanym globalnym, ma wierzchołki P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), P4(x4,y4), natomiast czworokąt unormowany jest położony w układzie współrzędnych (ξ, η), zwanym lokalnym. Jest to kwadrat, którego boki mają długości jednostkowe. Proces takiego przekształcenia nazywa się transformacją do układu lokalnego.

Transformacji dokonujemy za pomocą wzorów:

, . (23)

Po przekształceniu otrzymamy wzory na funkcje kształtu:

, ,

, .

W celu obliczenia całki we wzorze (14) w lokalnym układzie współrzędnych należy:

Z reguł różniczkowania cząstkowego wynika, że:

. (24)

Różniczkując podobnie po  otrzymamy układ równań:

. (25)

Macierz nazywana jest jakobianem przekształcenia (transformacji do układu lokalnego). Obowiązuje też zależność:

(26)

Element powierzchni dxdy można opisać wzorem:

, (27)

gdzie jest współczynnikiem zmiany krotności powierzchni elementu przy przechodzeniu z układu do .

Wzór (14) w układzie lokalnym (dla kx=ky) będzie miał postać:

(28)

.

Analogicznie postępuje się przy transformacji innych typów elementów (jedno-, dwu- i trójwymiarowych).

Element skończony prostokątny

W przypadku TK, w procesie dyskretyzacji obszarów dwuwy-miarowych wygodne jest użycie elementu skończonego o kształ-cie prostokątnym, gdyż jest on naturalnym odzwierciedleniem punktu na ekranie. Jest to istotne w procesie konstrukcji obrazów tomograficznych.

Wymiary elementu:

gdzie:

- współrzędne węzła 1,

- współrzędne węzła 3.

Transformację do lokalnego układu współrzędnych dla elementu prostokątnego można zapisać wzorami:

, . (29)

Jakobian takiego przekształcenia ma postać:

, . (30)

Natomiast wyznacznik jakobianu jest równy:

. (31)

Uwzględniając zależność (28) ij-ty element macierzy stanu można więc opisać wzorem:

. (32)

Macierz stanu elementu prostokątnego po scałkowaniu symbolicznym przy pomocy pakietu Mathematica ma postać:

. (33)

Formowanie pasmowego układu równań

W przypadku pasmowego układu równań istotny jest fakt, że elementy macierzy K o wymiarze r×r spełniają zależność:

dla (34)

gdzie = 2m+1 jest szerokością pasma macierzy (d<r).

Macierz K ma n2 elementów. Jeśli jest ona symetryczna, w pamięci wystarczy przechowywać połowę pasma razem z główną przekątną, czyli (m+1)n elementów.

Jeśli pełny układ równań dany jest wzorem (19):

to układ pasmowy ma postać:

(35)

Układ można rozwiązać przy niewielkiej modyfikacji metody Gaussa.

27



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
TOMOGRAF, WYKLAD2, Pojęcia wstępne
Wykład 7 Pojęcie i?chy osobowości
2)WYKŁAD 5 POJĘCIE ZARZADZANIA ŚRODOWISKOWEGO
wyklad 2 pojecie inteligencji
Badania marketingowe [ pojęcia wstępne], badania marketingowe, Temat: Badania marketingowe -pojęcia
Badania marketingowe [ pojęcia wstępne], badania marketingowe, Temat: Badania marketingowe -pojęcia
wykład I Pojęcie finansów Finanse jako nauka
mikroekonomia wykłady-pojęcia (6 str), Ekonomia, ekonomia
Pojęcie i model wykładni, Pojęcie i model wykładni
KP11 Ekonomika Pojecia wstepne
Transport pojecia wstępne podział i klasyfikacje na slajdy prgot, Transport pollub, Systemy transpor
APP 01 Pojecia Wstepne 2010
wykład 2 pojęcie kultury, socjologia, antropologia
zajecia teoret nr 1 pojecia wstepne i kc, SM UKSW I, I s, TI, ustawy
Algebra 0 01 pojęcia wstępne
2)WYKŁAD 5 POJĘCIE ZARZADZANIA ŚRODOWISKIEM
2)WYKŁAD 5 POJĘCIE POLITYKI ŚRODOWISKOWEJ

więcej podobnych podstron