PROGNOZOWANIE I SYMULACJE

Marcin Idzik

Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego

Wydział Ekonomiczno - Rolniczy

Katedra Ekonomiki Rolnictwa

i Międzynarodowych Stosunków Gospodarczych

Warszawa, 2005 r.

Modele ze

stałym poziomem

zmiennej prognozowanej:

Metoda naiwna;
Metoda średniej ruchomej prostej i ważonej;
Prosty model wygładzania wykładniczego;
Modele autoregresji i średniej ruchomej.

Modele z

tendencją rozwojową

zmiennej prognozowanej:

Analityczne modele trendu,
Model liniowy Holta, Browna II i III rzędu;
Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.

Modele z

wahaniami sezonowymi

zmiennej prognozowanej:

Metoda wskaźników;
Model Wintersa;
Metoda trendów jednoimiennych okresów;.
Analiza harmoniczna;
Metoda L.R Kleina ze zmiennymi zero-jedynkowymi.

Modele z

wahaniami cyklicznymi

zmiennej

prognozowanej

Modele autoregresji i średniej ruchomej

ARMA i ARIMA

METODY PROGNOZOWANIA NA PODSTAWIE

SZEREGÓW CZASOWYCH

Przyjazdy cudzoziemców do Polski według miesięcy (w tys osób)

Przyjazdy cudzoziemców do Polski według miesięcy (w tys osób)

D 10. Final seasonal factors

January

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

February

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

March

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

April

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

May

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

June

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

July

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

August

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

Septembr

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

October

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

November

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

December

Rok

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

SEZONOWOŚĆ (addytywna, multiplikatywna)

Sezonowość
multiplikatywna

Sezonowość
addytywna

Y

t

= T

t

+ S

t

+ I

t

Y

t

= T

t

.

S

t

.

I

t

Modele ze

stałym poziomem

zmiennej prognozowanej:

Metoda naiwna;
Metoda średniej ruchomej prostej i ważonej;
Prosty model wygładzania wykładniczego;
Modele autoregresji i średniej ruchomej.

Modele z

tendencją rozwojową

zmiennej prognozowanej:

Analityczne modele trendu,
Model liniowy Holta, Browna II i III rzędu;
Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.

Modele z

wahaniami sezonowymi

zmiennej prognozowanej:

Metoda wskaźników;
Model Wintersa;
Metoda trendów jednoimiennych okresów;.
Analiza harmoniczna;
Metoda L.R Kleina ze zmiennymi zero-jedynkowymi.

Modele z

wahaniami cyklicznymi

zmiennej

prognozowanej

Modele autoregresji i średniej ruchomej

ARMA i ARIMA

METODY PROGNOZOWANIA NA PODSTAWIE

SZEREGÓW CZASOWYCH

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

19

90

II

19

91

II

19

92

II

19

93

II

19

94

II

19

95

II

19

96

II

19

97

II

19

98

II

19

99

II

20

00

II

20

01

II

20

02

II

20

03

II

20

04

II

ty

s.

s

zt

Metoda trendów jednoimiennych okresów:

Metoda trendów jednoimiennych okresów:

Polega na oszacowaniu parametrów
analitycznej funkcji trendu oddzielnie dla
poszczególnych faz cyklu sezonowego

Prognozę otrzymuje się przez ekstrapolację
oszacowanej funkcji trendu dla każdej fazy
cyklu sezonowego.

 

lj

j

tj

u

l

f

y





j – fazy cyklu (1,...,m) [np.. dla kwartałów m=4]
l – cykl (1,..,n)

Horyzont

prognozy

II kw. = 2670,49 + -71,4541 t + 0,990191 t^2
R

2

=0,99, RMSE=37, MAPE=1,8%

IV kw. = 1874,5e-0,038t
R

2

= 0,912, RMSE=110, MAPE=6,4%

Idea metody trendów jednoimiennych okresów

Trend dla okresu jednoimiennego I

Modele ze

stałym poziomem

zmiennej prognozowanej:

Metoda naiwna;
Metoda średniej ruchomej prostej i ważonej;
Prosty model wygładzania wykładniczego;
Modele autoregresji i średniej ruchomej.

Modele z

tendencją rozwojową

zmiennej prognozowanej:

Analityczne modele trendu,
Model liniowy Holta, Browna II i III rzędu;
Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.

Modele z

wahaniami sezonowymi

zmiennej prognozowanej:

Metoda wskaźników;
Model Wintersa;
Metoda trendów jednoimiennych okresów;.
Analiza harmoniczna;
Metoda L.R Kleina ze zmiennymi zero-jedynkowymi.

Modele z

wahaniami cyklicznymi

zmiennej

prognozowanej

Modele autoregresji i średniej ruchomej

ARMA i ARIMA

METODY PROGNOZOWANIA NA PODSTAWIE

SZEREGÓW CZASOWYCH

Dekompozycja sezonowa

podstawowe wyróżniki:

•

zmienność szeregu determinowana przez

sezonowość, lub/i trend, wahania przypadkowe;

•

wyszczególnienie sezonowości, trendu, wahań

przypadkowych;

•

ekstrapolacja trendu + korekta sezonowa;

•

prognozy średniookresowe;

•

wysoka wartość poznawcza

•

prognoza wg. zasady status quo, postawa

pasywna.

METODA WSKAŹNIKÓW - Census I

Metoda wskaźników sezonowości



Prognozę wyznaczamy jako ekstrapolację dotychczasowej

tendencji korygowanej wskaźnikiem sezonowości….

etap pośredni …



Wyznaczenie bezwzględnych wahań sezonowych lub

wskaźników sezonowości dla poszczególnych faz cyklu

sezonowego.

Prognoza z modelu addytywnego (amplituda wahań
sezonowych jest stała):

 

j

lj

Tlj

g

T

f

y





wartość funkcji trendu
w okresie prognozowanym

bezwzględne
odchylenie sezonowe
dla j-tej fazy cyklu

Etapy postępowania

(gdy szereg zawiera T, S, I):

Krok 1:

Identyfikacja cykli i faz występujących w cyklach.

Krok 2:

Wyznaczenie tendencji rozwojowej metodą

analityczną lub średniej ruchomej.

Krok 3:

Wyznaczenie wartości wskaźników sezonowości jako

ilorazu lub różnicy wartości rzeczywistych i wartości
teoretycznych.

Krok 4:

Wyznaczenie surowych wskaźników sezonowości

przez wyznaczenie średniej arytmetycznej tych
wartości, które odpowiadają jednoimiennym

okresom.

METODA WSKAŹNIKÓW - Census I

Etapy postępowania

(gdy szereg zawiera T, S, I):

Krok 5:

Obliczenie średniej arytmetycznej surowych

wskaźników sezonowości dla jednoimiennych okresów.

Krok 6:

Wyznaczenie czystych wskaźników sezonowości jako

ilorazów lub różnic surowych wskaźników sezonowości

i

wielkości.

Krok 7:

Eliminacja sezonowości z szeregu czasowego danych

empirycznych.

Krok 8:

Wyznaczenie prognozy funkcji trendu na podstawie

szeregu skorygowanego sezonowo.

Krok 9:

Korekta prognozy funkcji trendu za pomocą czystego

wskaźnika sezonowości dla danej fazy cyklu.

METODA WSKAŹNIKÓW - Census I

0

200

400

600

800

1000

1200

st

y-

90

lip

-9

0

st

y-

91

lip

-9

1

st

y-

92

lip

-9

2

st

y-

93

lip

-9

3

st

y-

94

lip

-9

4

st

y-

95

lip

-9

5

st

y-

96

lip

-9

6

st

y-

97

lip

-9

7

st

y-

98

lip

-9

8

st

y-

99

lip

-9

9

st

y-

00

lip

-0

0

01

-s

ty

01

-li

p

02

-s

ty

02

-li

p

03

-s

ty

03

-li

p

04

-s

ty

04

-li

p

m

ln

l.

Skup mleka

TC skup mleka (średnia ruchoma)

Y

t

= (T

t

*S

t

*I

t

)/SR

t

= S

t

*I

t

SKŁADNIKI ZMIENNOŚCI SKUPU MLEKA

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

st

y-

90

lip

-9

0

st

y-

9

1

lip

-9

1

st

y-

92

lip

-9

2

st

y-

93

lip

-9

3

st

y-

94

lip

-9

4

st

y-

95

lip

-9

5

st

y-

96

lip

-9

6

st

y-

97

lip

-9

7

st

y-

98

lip

-9

8

st

y-

99

lip

-9

9

st

y-

0

0

lip

-0

0

01

-s

ty

01

-li

p

02

-s

ty

02

-li

p

03

-s

ty

03

-li

p

04

-s

ty

04

-li

p

m

ln

l.

Skup mleka skorygowany sezonowo

Wahania

nieregularne

3%

Trend-cykl

15%

Sezonowość

82%

Y

t

/S

t

= (T

t

*S

t

*I

t

)/S

t

= T

t

*I

t

SKŁADNIKI ZMIENNOŚCI - skupu mleka

Przyjazdy cudzoziemców do Polski według miesięcy (w tys osób)

Styczeń 70%
-1354 tys osób.

Sierpień 125%

1208 tys osób

Rok Kw.

Wartości

zmiennej

Średnia

ruchoma

SR l=4

Średnia

scentr.

SRc

Efekty

sezonowe

addytywnym

Yt-SRc

I

14

II

13,6

14,1

III

14

14,43

-0,44

14,7

IV

15,1

14,98

0,11

15,2

I

16,1

15,56

0,54

15,8

II

15,9

16,15

-0,25

16,4

III

16,3

16,71

-0,41

16,9

IV

17,5

17,16

0,34

17,3

I

18,2

17,51

0,69

17,6

II

17,4

17,73

-0,34

17,8

III

17,6

IV

18

2001

2002

2003

Surowe
wskaźniki
sezonowości

Oczyszczone
wskaźniki
sezonowości

Kwartał I

0,61

0,58

Kwartał II

-0,29

-0,32

Kwartał III

-0,42

-0,45

Kwartał IV

0,22

0,20

suma

0,12

Korekta

0,03

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA - aspekt techniczny

Y= 513,165+1,4835t +0,00479498t^2
R

2

= 0,70, RMSE=15,79, MAPE=2,2%

PROGNOZA METODA WSKAŹNIKÓW

1

1

1

ˆ

*

ˆ

ˆ









t

t

t

S

T

Y

Modele ze

stałym poziomem

zmiennej prognozowanej:

Metoda naiwna;
Metoda średniej ruchomej prostej i ważonej;
Prosty model wygładzania wykładniczego;
Modele autoregresji i średniej ruchomej.

Modele z

tendencją rozwojową

zmiennej prognozowanej:

Analityczne modele trendu,
Model liniowy Holta, Browna II i III rzędu;
Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.

Modele z

wahaniami sezonowymi

zmiennej prognozowanej:

Metoda wskaźników;
Model Wintersa;
Metoda trendów jednoimiennych okresów;.
Analiza harmoniczna;
Metoda L.R Kleina ze zmiennymi zero-jedynkowymi.

Modele z

wahaniami cyklicznymi

zmiennej

prognozowanej

Modele autoregresji i średniej ruchomej

ARMA i ARIMA

METODY PROGNOZOWANIA NA PODSTAWIE

SZEREGÓW CZASOWYCH

Analiza harmoniczna

Postać ogólna modelu w analizie harmonicznej:

 













t

b

t

a

t

f

X

i

i

i

i

t





2

cos

2

sin

gdzie:
Xt - estymator analizowanego procesu
- częstotliwość w radianach na jednostkę czasu, tj.1/okres wahań,
- parametry poszczególnych harmonik,
- funkcja trendu.



i

i

b

a ,

 

t

f

2

2

i

i

i

b

a

A





Amplituda oraz przesunięcie fazowe wyznaczamy ze wzoru:

i

i

i

b

a

arctg





Analiza harmoniczna

Ponieważ poszczególne harmoniki nie są skorelowane wartości
parametrów a

i

oraz b

i

można wyznaczać ze wzorów:

Udział każdej harmoniki w zmienności zmiennej y

1

2

,

,

1

)

2

cos(

2

1

2

,

,

1

)

2

sin(

2

1

1

























n

i

dla

n

i

t

y

n

b

n

i

dla

n

i

t

y

n

a

n

t

t

i

n

t

t

i









2

2

2

/

2

/

2

2

1

1

2

,

,

1

2

s

A

n

i

dla

s

A

n

n

i















Analiza harmoniczna

Okres obserwacji (tygodnie)

C

e

n

a

p

ro

si

ą

t

zł

/2

sz

t.

60

100

140

180

220

260

300

9

4

9

5

9

6

9

7

9

8

9

9

Analiza harmoniczna

Skł. harmoniczne nr:

H2

H1

H3

H4

Okres wahań (tygodnie)

A

m

p

lit

u

d

a

o

kr

e

so

w

y

ch

w

a

h

a

ń

c

e

n

p

ro

si

ą

tz

ł/

2

sz

t.

-35

-25

-15

-5

5

15

25

35

I

II

III

9

4

I

V

I

II

III

9

5

I

V

I

II

III

9

6

I

V

I

II

III

9

7

I

V

I

II

III

9

8

I

V

I

II

III

9

9

I

V

I

Analiza harmoniczna

Skł. harmoniczne nr:

H5

H7

H13

H8

Okres wahań (tygodnie)

A

m

p

lit

u

d

a

w

a

h

a

ń

o

kr

e

so

w

y

ch

c

e

n

p

ro

si

ą

t

zł

/2

sz

t.

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

I

II

III

IV

I

II

III

IV

Analiza harmoniczna

Budowa prognozy

 













t

b

t

a

t

f

X

i

i

i

i

t





2

cos

2

sin

gdzie:
Xt - estymator analizowanego procesu
- częstotliwość w radianach na jednostkę czasu, tj.1/okres wahań,
- parametry poszczególnych harmonik,
- funkcja trendu.



i

i

b

a ,

 

t

f

Przykład

Ct = 0,34889*SIN(2*0,000842*t) + 0,1429*COS(2*0,000842*t) - 0,1359*SIN(2*0,000421*t) -

0,32*COS(2*0,000421*t) + 0,1709*SIN(2*0,002949*t) + 0,00809*COS(2*0,002949*t)

-0,0627*SIN(2*0,001264*t) + 0,13318*COS(2*0,001264*t) -0,1408*SIN(2*0,001685*t) +

0,01315*COS(2*0,001685*t) -0,0405*SIN(2*0,005476*t) + 0,07759*COS(2*0,005476*t)

-0,0771*SIN(2*0,002527*t) - 0,0257*COS(2*0,002527*t) + 0,0563*SIN(2*0,004634*t) +

0,04466*COS(2*0,004634*t) -0,0051*SIN(2*0,008425*t) + 0,07117*COS(2*0,008425*t)

-0,0228*SIN(2*0,005897*t) - 0,0365*COS(2*0,005897*t) -0,0152*SIN(2*0,005055*t) +

0,02822*COS(2*0,005055*t) -0,0317*SIN(2*0,00337*t)+ 0,00237*COS(2*0,00337*t) -

0,0082*SIN(2*0,006318*t) -0,0294*COS(2*0,006318*t)

Modele ze

stałym poziomem

zmiennej prognozowanej:

Metoda naiwna;
Metoda średniej ruchomej prostej i ważonej;
Prosty model wygładzania wykładniczego;
Modele autoregresji i średniej ruchomej.

Modele z

tendencją rozwojową

zmiennej prognozowanej:

Analityczne modele trendu,
Model liniowy Holta, Browna II i III rzędu;
Model trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.

Modele z

wahaniami sezonowymi

zmiennej prognozowanej:

Metoda wskaźników;
Model Wintersa;
Metoda trendów jednoimiennych okresów;.
Analiza harmoniczna;
Metoda L.R Kleina ze zmiennymi zero-jedynkowymi.

Modele z

wahaniami cyklicznymi

zmiennej

prognozowanej

Modele autoregresji i średniej ruchomej

ARMA i ARIMA

METODY PROGNOZOWANIA NA PODSTAWIE

SZEREGÓW CZASOWYCH

METODA WSKAŹNIKÓW

METODA WSKAŹNIKÓW

(wariant T,C,S,I)

(wariant T,C,S,I)

METODA WSKAŹNIKÓW

METODA WSKAŹNIKÓW

(wariant T,C,S,I)

(wariant T,C,S,I)

Etapy postępowania (model multiplikatywny):

a. obliczyć średnią ruchomą

b. wyodrębnić z szeregu wahania sezonowe

c. dokonać odpowiedniej korekty surowych wskaźników
wahań sezonowych tak by S

t

= L

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA

t

t

t

t

t

I

S

C

T

Y









t

t

C

T

SR





t

t

t

t

t

t

t

t

t

I

S

C

S

I

S

C

T

SR

Y















Etapy postępowania (model multiplikatywny):

d. wyeliminować z szeregu czasowego wahania sezonowe

e. obliczyć funkcję trendu najlepiej opisująca szereg
czasowy po wyeliminowaniu sezonowości

f. wyodrębnić wahania cykliczne

g. wyodrębnić wahania przypadkowe

h. Zbudować prognozę

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA

DEKOMPOZYCJA SEZONOWA

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

I

C

T

S

I

S

C

T

S

Y















t

t

t

t

t

C

T

C

T

T

SR







t

t

t

t

t

t

t

t

t

I

C

T

I

C

T

SR

I

C

T















0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

st

y

-9

0

lip

-9

0

st

y-

91

lip

-9

1

s

ty

-9

2

lip

-9

2

s

ty

-9

3

lip

-9

3

st

y

-9

4

lip

-9

4

s

ty

-9

5

lip

-9

5

st

y

-9

6

lip

-9

6

s

ty

-9

7

lip

-9

7

st

y

-9

8

lip

-9

8

st

y-

99

lip

-9

9

s

ty

-0

0

lip

-0

0

0

1-

s

ty

01

-li

p

02

-s

ty

02

-l

ip

0

3-

s

ty

0

3-

lip

04

-s

ty

04

-l

ip

z

ł/k

g

Ceny skupu żywca wieprzowego bez sezonowości
TC cena skupu żywca wieprzowego

01/9
9

01/9
3

05/9
5

01/0
3

06/9
4

11/9
7

10/0
1

10/0
4

Y

t

-S

t

=T

t

+C

t

+S

t

+I

t

-S

t

=T

t

+C

t

+I

t

05/0
4

CENY SKUPU ŻYWCA WIEPRZOWEGO W POLSCE -

cechy morfologiczne cyklu

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

st

y-

90

lip

-9

0

st

y-

91

lip

-9

1

st

y-

92

lip

-9

2

st

y-

93

lip

-9

3

st

y-

94

lip

-9

4

st

y-

95

lip

-9

5

st

y-

96

lip

-9

6

st

y-

97

lip

-9

7

st

y-

98

lip

-9

8

st

y-

99

lip

-9

9

st

y-

00

lip

-0

0

01

-s

ty

01

-li

p

02

-s

ty

02

-li

p

03

-s

ty

03

-li

p

04

-s

ty

04

-li

p

z

ł/k

g

Wahania cykliczne, sezonowe i nieregularne
Wahania cykliczne i nieregularne
Wahania cykliczne

Y

t

-S

t

-T

t

=T

t

+C

t

+S

t

+I

t

-S

t

-T

t

=C

t

+I

t

WAHANIA CEN SKUPU ŻYWCA WIEPRZOWEGO W POLSCE

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

st

y

-9

0

lip

-9

0

st

y-

91

lip

-9

1

s

ty

-9

2

lip

-9

2

s

ty

-9

3

lip

-9

3

st

y

-9

4

lip

-9

4

s

ty

-9

5

lip

-9

5

st

y

-9

6

lip

-9

6

s

ty

-9

7

lip

-9

7

st

y

-9

8

lip

-9

8

st

y-

99

lip

-9

9

s

ty

-0

0

lip

-0

0

0

1-

s

ty

01

-li

p

02

-s

ty

02

-l

ip

0

3-

s

ty

0

3-

lip

04

-s

ty

04

-l

ip

z

ł/k

g

Ceny skupu żywca wieprzowego bez sezonowości

TC cena skupu żywca wieprzowego

Y

t

-S

t

=T

t

+C

t

+S

t

+I

t

-S

t

=T

t

+C

t

+I

t

01/9
9

01/9
3

05/9
5

01/0
3

06/9
4

11/9
7

10/0
1

CENY SKUPU ŻYWCA WIEPRZOWEGO W POLSCE

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

dr inż. Marcin Idzik

Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego

Wydział Ekonomiczno - Rolniczy

Katedra Ekonomiki Rolnictwa

i Międzynarodowych Stosunków Gospodarczych

e-mail: [e-mail]