Redukcja wyników
Redukcja wyników
pomiarów geodezyjnych
pomiarów geodezyjnych
na powierzchnię
na powierzchnię
odwzorowawczą
odwzorowawczą
.
.
Redukcja wyników
Redukcja wyników
pomiarów geodezyjnych
pomiarów geodezyjnych
na powierzchnię
na powierzchnię
odwzorowawczą
odwzorowawczą
.
.
Wszystkie naziemne obserwacje geodezyjne
Wszystkie naziemne obserwacje geodezyjne
i astronomiczne :
i astronomiczne :
•
długości boków;
•
kątów poziomych i pionowych;
•
długości i szerokości geograficzne czy
azymuty astronomiczne wykonywane są na
fizycznej powierzchni Ziemi.
Obliczenia :
•sieci triangulacyjnych;
•sieci trilateracyjnych;
•poligonizacji precyzyjnej, wykonywane są na
elipsoidzie odniesienia.
Dlatego też należy
wprowadzić redukcje do
wielkości obserwowanych,
aby elementy sieci
wyrównać na elipsoidzie.
Sposoby redukcji obserwacji z
Sposoby redukcji obserwacji z
powierzchni Ziemi do elipsoidy:
powierzchni Ziemi do elipsoidy:
•
metoda rozwijania
– elementy zredukowane z
powierzchni Ziemi na geoidę uważa się za równe
elementom na elipsoidzie – elementy te redukuje się
bezpośrednio na elipsoidę. Kolejność redukcji podana
została przez Helmerta.
•
metoda rzutowania
– w pierwszym etapie redukcji
elementy rzutuje się, po liniach pionu w rzeczywistym
polu siły ciężkości, z fizycznej powierzchni Ziemi na
geoidę, a następnie po normalnych na powierzchnię
elipsoidy odniesienia. Niezbędna jest tu znajomość
odstępów geoidy od elipsoidy, a także rozkład mas w
warstwie między geoidą i powierzchnią Ziemi. Są to
redukcje w systemie Pizzettiego.
Redukcja elementów liniowych sieci na
Redukcja elementów liniowych sieci na
elipsoidę odniesienia:
elipsoidę odniesienia:
Rys. 1.
Objaśnienia do rys.1:
Objaśnienia do rys.1:
•
punkty P i K
- końce bazy (boku) o długości L’;
•
punkty P’ i K’
- rzuty normalne końców bazy na
elipsoidę odniesienia odległe od siebie o długość
linii geodezyjnej ;
•
dl’
i
- element długości obserwowanej;
•
dl
i
- rzut elementu długości obserwowanej na
elipsoidę odniesienia;
•
Hi
- wysokość elementu dl’
i
nad geoidą;
•
N
i
- odstęp geoidy od elipsoidy dla elementu dl’
i;
_
L
Długość rzutu elementu na elipsoidę :
A
i
i
i
i
R
N
H
dl
dl
1
'
gdzie
R
A
– promień krzywizny przekroju normalnego elipsoidy w
azymucie boku.
Niech średnia wysokość bazy nad poziom geoidy wynosi H
S
, N
S
średni
odstęp geoidy. Można również przyjąć kulisty kształt elipsoidy
odniesienia. Dla długości otrzymamy :
A
S
S
i
A
S
S
i
R
N
H
L
dl
R
N
H
dl
L
1
'
'
1
'
_
'
_
L
Długość wymaga poprawki ze względu na odchylenia pionu w
punktach końcowych boku. Rzuty pionowe końców bazy na geoidę to
punkty
K
0
i P
0
,a rzuty normalne na elipsoidę to i
'
_
L
__
P
__
K
Składowe względnych odchyleń pionu w azymucie bazy -
AP
oraz
AK
.
Z
rysunku 1 wynikają zależności:
AK
K
AP
P
H
K
K
H
P
P
'
;
'
0
0
Ponieważ wielkości
P
0
P’ i K
0
K’
są bardzo małe, odstępy geoidy w
stosunku do R
A
są bardzo małe, można przyjąć że:
K'
K
K
K
;
P'
P
'
P
P
0
_
0
_
_
Długość zredukowaną oblicza się z wzoru:
AK
K
AP
p
A
S
A
S
H
H
R
N
L
R
H
L
L
L
'
'
'
_
Gdzie:
• pierwszy składnik to redukcja bazy na geoidę ;
• drugi to redukcja długości z geoidy na elipsoidę;
• trzeci to redukcja ze względu na odchylenia.
Redukcja szerokości i długości
Redukcja szerokości i długości
astronomicznej:
astronomicznej:
Rys. 2 .
Obserwowane wielkości szerokości
’
długości
‘
geograficznych określają kierunek styczny do linii pionu na
powierzchni Ziemi. Elementy wchodzące do obliczenia sieci
podstawowych powinny odnosić się do punktów na powierzchni
geoidy. Astronomiczną szerokość
’
i długość
’
redukujemy więc
do geoidy uwzględniając krzywiznę linii pionu na tym odcinku.
Wyrażenia na kąt zawarty między stycznymi do linii pionu w
punkcie
P
na powierzchni Ziemi i w punkcie
P
0
na geoidzie:
XZ
X
W
g
H
Ponad to z rys.2 .:
x
g
g
H
_
_
Wartość jest wartością przeciętną dla odcinka
PP
0
,
wysokość
H
jest ortometrycznym wzniesieniem punktu
P
ponad geoidę.
_
g
Podobnie rzutując rozważany odcinek linii pionu
PP
0
na
płaszczyznę równoleżnika; otrzymamy analogiczne wyrażenie na
redukcję obserwowanej długości geograficznej do geoidy:
y
g
g
H
y
y
_
_
gdzie
;
'
sec
Dla modelu pola ciężkości właściwego systemowi wysokości
ortometrycznych :
H
y
g
H
x
g
H
'
sec
00021
'
'
,
0
00021
'
'
,
0
'
2
sin
000171
'
'
,
0
_
_
W systemie wysokości normalnych wartości redukcji równe są
odpowiednio:
0
'
2
sin
000171
'
'
,
0
N
H
Wzory dotyczące redukcji z geoidy na elipsoidę
odniesienia wynikają z wzorów na względne odchylenia pionu
:
ag
i
i
a
i
ag
i
a
i
ag
L
L
B
B
cos
Ostatecznie szerokość geodezyjna
B
i długość
L
wyrażą się
jako:
L
L
B
B
'
'
Redukcja azymutu
Redukcja azymutu
astronomicznego :
astronomicznego :
W myśl zasady rzutowania w procesie redukcji
azymutu wyróżnia się następujące etapy:
1.
określenie skręcenia płaszczyzny południka
astronomicznego i wertykału ze względu na przejście
od kierunku linii pionu w punkcie na powierzchni Ziemi
P do kierunku tej linii w punkcie
P
0
na geoidzie, czyli
uwzględnienie wpływu krzywizny linii pionu na azymut
kierunku
PK
;
2.
uwzględnienie odchylenia pionu w punkcie
P
0
na
geoidzie;
3.
uwzględnienie wichrowatości normalnych do
elipsoidy odniesienia w
P
0
i K
;
4.
uwzględnienie odchylenia pionu w punkcie
K
0
na
geoidzie;
5.
redukcja kierunku
P
0
K
0
na elipsoidę odniesienia ze
względu na skręcenie wertykału
P
0
K
0
względem
przekroju normalnego elipsoidy.
Ad.1.
Rys. 3.
Oznaczenia:
•
Z
a
– zenit astronomiczny
dla punktu na powierzchni
Ziemi;
•
Z
0
a
– zenit
astronomiczny dla punktu
na geoidzie;
•
‘
– obserwowana
wartość azymutu;
•
koło wielkie Z
a
BH
B
’
–
południk astronomiczny;
•
koło wielkie Z
a
KH
K
’
–
wertykał punktu K;
•
– odchylenie zenitu
astronomicznego punktu
P-Z
a
od zenitu punktu P
0
-
Z
0
a
(spowodowane
krzywizną linii pionu na
odcinku PP
0
;
•
- składowe .
Wpływ skręcenia południka wynosi:
cos
'
gdzie
;
tg
p
Skręcenie wertykału w rzucie na powierzchnię poziomą w
P
:
'
'
'
cos
'
sin
gdzie
tgh
H
Z zależności azymutu
’
obserwowanego i azymutu
0
’
odniesionego
do zenitu
Z
0
a
mamy:
H
p
'
'
0
Ad.2.
Oznaczenia:
•
P
– względne odchylenie
pionu w punkcie P
0;
• płaszczyzna wertykału
zdefiniowana przez prostą
PP
0
i punkt (cel)
K
–
przecina ona oś elipsoidy w
punkcie
E
P
;
•
K
1
– punkt przebicia
geoidy prostą KE
P
;
•
P
0
K
1
– wertykał o
azymucie
0
’
;
•
K
0
– rzut normalny
punktu K na geoidę przy
czym KK
0
– wichrowate
względem PP
0;
•
0
azymut
astronomiczny kierunku
P
0
K
0
Różnicę (
’) znajduje się jako różnicę kierunków wertykałów
astronomicznych przeprowadzonych przez punkty K
0
i K
1.
Rys. 4.
Pierwszy etap to uwzględnienie odchylenia pionu w punkcie
P
0
na
kierunek południka
1 wertykału P
0
K
1
.
Normana do elipsoidy w punkcie
P
0
przecina oś elipsoidy w punkcie
N
P
i tworzy kąt równy odchyleniu pionu
P
z
prostą
PP
0
. Prosta KN
P
przebija geoidę w punkcie
K
2
. Kąt
K
1
P
0
K
2
stanowiący
część kąta
K
1
P
0
K
0
, znajdziemy w oparciu o rys. 5 . Szukany kąt to
, czyli
kąt
H
K
g
P
0
H
K
a
. Płaszczyźnie
P
0
N
P
K
pokazanej na rys. 4 odpowiada łuk koła
Z
g
KH
K
a
na rys. 5.
Rys. 5.
Odchylenie pionu
Q
P
rozkładamy na składowe
P
i
P
.
Wpływ odchylenia pionu określa się podobnie jak
poprzednio kąt
(
0
’-’)
:
tgh
P
P
'
cos
'
sin
0
0
Kąt
h
oznacza wysokość celu ponad horyzontem punktu
P
0
. Wartość kąta
zależy od wysokości punktu
K
ponad
geoidę. Jeżeli
s
oznacza odległość
P
0
K
0
w przybliżeniu
równe
P
0
K
1
to :
s
H
h
tg
K
Natomiast wpływ odchylenia pionu
P
na kierunek
południka w procesie przejścia od płaszczyzny południka
astronomicznego na geoidzie w punkcie P
0
do płaszczyzny
południka geodezyjnego (elipsoidalnego) przedstawia kąt
P
na
rys. 5 . Analogicznie jak w punkcie 1 możemy otrzymać:
tg
tg
A
p
P
P
sin
Zatem redukcja azymutu na geoidzie ze względu na
astronomiczno-geodezyjne odchylenie pionu w
P
0
wyniesie:
'
0
p
G
gdzie
G
jest azymutem liczonym od południka geodezyjnego
na geoidzie do kierunku
P
0
K
2.
Równanie to nosi nazwę
równania Laplac’e.
Ad.
3.
Rys. 6.
Poprowadzona z
punktu
K
(celu)
normalna do elipsoidy
odniesienia przebija
geoidę w punkcie
K
3
.
Punkt
N
K
to punkt
przecięcia się tej
normalnej z osią obrotu
elipsoidy. Miarą
wichrowości normalnych
do elipsoidy
poprowadzonych z
punktu
K
i
P
0
jest
odcinek
N
P
N
K
.
Z geometrii elipsoidy obrotowej z wystarczającą
dokładnością można przyjąć że:
śr
P
K
P
K
P
K
ae
ae
N
N
cos
sin
sin
2
2
gdzie:
a
– równikowa półoś elipsoidy ;
e
2
– mimośród
elipsoidy.
Z kolei, ponieważ odległość jest stosunkowo niewielka w
porównaniu z półosią elipsoidy
:
cos
cos
oraz
cos
2
Śr
P
K
P
K
s
e
N
N
a
s
Z trójkąta płaskiego
N
P
N
K
K
przy założeniu
:
a
K
N
P
P
K
P
K
N
N
a
H
K
K
cos
3
2
Z kolei szukaną wartość kąta
znajdujemy z zależności
sin
3
2
s
K
K
Ostatecznie otrzymamy :
2
sin
cos
2
2
2
K
H
a
e
Ad. 4.
Kąt
K
3
P
0
K
0
to wpływ odchylenia pionu w punkcie
K
0
na
geoidzie. Odcinek
K
3
K
0
wyznaczymy na podstawie
wartości
K
i wysokości
H
K
punktu
K
(celu) ponad geoidą.
Z rys. 6. wynika:
K
0
K
3
=H
K
K
.
Natomiast kąt
K
3
P
0
K
0
otrzymamy ze wzoru:
cos
sin
0
0
3
K
K
K
s
H
K
P
K
Zastąpienie tak w równaniu na
z punktu 3 jak i w
równaniu na kąt
K
3
P
0
K
0
wartości
0
przez a czy ’ nie
spowoduje większych błędów ze względu małe wartości
poprawek. Łatwo zauważyć, że gdy cel K leży na poziomie
morza to zarówno
,
jak i kąt
K
3
P
0
K
0
są równe zeru.
Reasumując dotychczasowe rozważania na temat
redukcji azymutu stwierdzamy, że zmiana azymutu na
geoidzie, czyli kąt
(
0
’-’)
wyniesie:
Sytuacja na tym etapie przedstawia się następująco
:punkt
P
0
(stanowisko) i
K
0
(cel) leżą na geoidzie, a
krawędzią kąta dwuściennego (azymutu) jest normalna do
elipsoidy odniesienia. Płaszczyzną początkową liczenia
azymutu jest południk astronomiczny na geoidzie.
2
sin
cos
2
cos
sin
'
2
2
0
0
K
P
K
P
K
K
H
a
e
s
H
przy założeniu że tg h=H
K
/s.
Ad. 5.
Rys. 7.
Poprawka azymutu
astronomicznego ze
względu na przejście od
powierzchni geoidy na
powierzchnię elipsoidy
odniesienia wynika jedynie
ze skręcenia wertykału
P
0
K
0
do
P’’K’’
.
Na rys. 7. :
•
P’’
i
K’’
- rzuty punktów
P
0
i
K
0
na powierzchnię
elipsoidy;
•
N
P
- punkt przecięcia
normalnej do elipsoidy w
punkcie
P
0
z osią elipsoidy;
•
K’
jest punktem
przebicia powierzchni
elipsoidy prostą
K
0
N
P
.
•
P
0
K
0
i
P’’K’ -
linie
leżące w płaszczyźnie tego
samego przekroju
normalnego.
Zatem azymut astronomiczny kierunku
P’’K’
wynosi
0
.
Zredukowana wartość azymutu astronomicznego
kierunku
P’’K’’ różni się od azymutu
o kąt
K’P’’K’’
. Jest on
spowodowany wichrowatością normalnych do elipsoidy
odniesienia
P
0
P’’
i
K
0
K’’
. Zatem różnica
(
)
wyniesie:
2
sin
cos
2
''
''
'
2
2
0
N
a
e
K
P
K
gdzie:
N
– odstęp geoidy od elipsoidy w pkt
K
0
.
Całkowita redukcja azymutu
astronomicznego :
2
sin
cos
2
cos
sin
cos
sin
'
2
2
N
H
a
e
s
H
tgh
tg
K
P
K
P
K
K
Redukcja kierunku i kąta poziomego:
Redukcja kierunku i kąta poziomego:
Redukcja kierunku pomierzonego na powierzchni Ziemi
na elipsoidę wynika ze skręcenia płaszczyzny wertykału
w kolejnych etapach rzutowania. Jeżeli
’
oznacza
kierunek obserwowany
PK
,
kierunek zredukowany
P’’K’’
na elipsoidę odniesienia, to redukcja kierunku w
terenie płaskim wyrazi się wzorem:
2
sin
cos
2
cos
sin
'
2
2
N
H
a
e
s
H
K
P
K
P
K
K
Redukcja kąta zaobserwowanego na stanowisku do
powierzchni elipsoidy odniesienia równa jest różnicy
redukcji odpowiednich kierunków.
Redukcja odległości
Redukcja odległości
zenitalnej:
zenitalnej:
• 90
0
-h
a
- obserwowana odległość zenitalna (astronomiczna);
•
90
0
-h
g
- zredukowana odległość zenitalna (geodezyjna) odniesiona do
elipsoidy;
•
Z
g
Z
a
- względne odchylenie pionu;
•
’
- azymut obserwowany na geoidzie (kierunku P
0
K);
•
- azymut zredukowany ze względu na odchylenie pionu.
Rys. 8.
Wyprowadzany zostanie wzór ujmujący wpływ odchyleń pionu
na pomierzoną odległość zenitalną. Pominięta została tutaj
kwestia przejścia z powierzchni Ziemi na powierzchnię geoidy.
Wartość redukcji z tego tytułu jest nieporównywalnie mała w
porównaniu z błędami pomiaru kąta pionowego.
Z trójkąta sferycznego
KZ
g
Z
a
:
cos
sin
sin
cos
cos
cos
g
g
a
z
z
z
Ponieważ wartość
jest mała, więc:
cos
sin
cos
cos
:
zatem
cos
;
sin
g
g
a
z
z
z
Po dokonaniu przekształcenia
g
g
a
g
g
a
g
a
z
z
z
z
z
z
z
z
sin
cos
cos
cos
otrzymamy:
cos
ag
g
a
z
z
Korzystając z zależności całkowitego odchylenia
pionu
i jego składowych
ag
i
ag
otrzymamy:
PK
ag
PK
ag
g
a
z
z
sin
cos