OBLICZANIE PÓL FIGUR

GEOMETRYCZNYCH

METODY:
1. Analityczna;
2. Graficzna;
3. Analityczno-graficzna

(kombinowana);

4. Mechaniczna.

OBLICZANIE PÓL FIGUR METODĄ ANALITYCZNĄ

Metoda analityczna polega na obliczaniu pól figur na

podstawie długości i kątów pomierzonych w terenie lub na
podstawie współrzędnych obliczonych z miar uzyskanych w
terenie. Jest to jedyna metoda, którą możemy obliczać pola
figur przed sporządzeniem mapy. Obliczanie analityczne
pola powierzchni jest najdokładniejsze, gdyż jest obarczone
tylko błędami pomiaru elementów terenowych, jak długości i
kąty.

Pola małych działek (mających najczęściej kształt

czworoboków) dzieli się na trójkąty i oblicza za pomocą
najprostszych wzorów matematycznych. Pola większych
figur, o bardziej złożonych kształtach, oblicza się na
podstawie współrzędnych prostokątnych lub rzadziej
biegunowych.

OBLICZANIE POLA TRÓJKĄTA

Gdy pomierzono wszystkie boki trójkąta a, b, c, wówczas pole P

wyznaczamy ze wzoru Herona:

c)

-

(s

b)

-

(s

a)

-

(s

s



P

gdzie:

 
Gdy w trójkącie pomierzono podstawę i

wysokość, to:

 
2P = ah

a

= bh

b

= ch

c

Gdy pomierzono dwa boki i kąt między nimi

zawarty, to:

 
2P = absin  = bcsin  = acsin



 
Gdy pomierzono jeden bok i dwa kąty do

niego przyległe, np. a, p i y, to:

c)

b

(a

2

1







s





ctg

ctg

2

2





a

P

OBLICZANIE POLA CZWOROBOKU

Gdy nie możemy pomierzyć wszystkich boków czworoboku (np.

przeszkadza ogrodzenie), mierzymy przekątne e, f i kąt



między

nimi. Wówczas na podstawie wzoru:

2P = efsin



OBLICZANIE POLA FIGURY NA PODSTAWIE WSPÓŁRZĘDNYCH

PROSTOKĄTNYCH

Przy liczbie wierzchołków wieloboku większej od pięciu obliczamy i

wyrównujemy współrzędne wierzchołków poligonu, a następnie
obliczamy pole ze współrzędnych. Najbardziej uporządkowanym i
szybkim sposobem analitycznego obliczenia pola wieloboku jest
wyznaczenie go ze współrzędnych prostokątnych za pomocą
wzoru l'Huillera-Gaussa.

Wzór ten można wyprowadzić, przedstawiając np. pole czworoboku P

1234

(rys. 7.3) o znanych współrzędnych jako sumę pól dwu trapezów

pomniejszoną o sumę pól dwu innych trapezów:

P

1234

= P

l'122'

+ P

2'233'

- P

l'144'

- P

4'433'

=

Po wykonaniu działań i ich uporządkowaniu wg wzrastającej numeracji

rzędnych lub odciętych otrzymamy:
2P = y

1

(x

4

-x

2

)+y

2

(x

1

-x

3

)+y

3

(x

2

-x

4

)+y

4

(x

3

-x

1

)

lub

2P = -x

1

(y

4

-y

2

)- x

2

(y

1

-y

3

)- x

3

(y

2

-y

4

)- x

4

(y

3

-y

1

)

Wzory na obliczenie podwojonego pola, słuszne dla dowolnego wieloboku

mającego n wierzchołków, mają ogólną postać:

 

2P = [y

k

(x

k-1

-x

k+1

)]

1n

lub

- 2P = [x

k

(y

k-1

-y

k+1

)]

1n

 gdzie:
k = 1, 2, 3,..., n; oraz jeśli k = n, to (k + 1) = 1
jeśli k = 1, to (k - 1) = n.

















4

3

4

3

1

4

4

1

2

3

3

2

1

2

2

1

2

2

2

2

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x























OBLICZANIE POLA FIGURY NA PODSTA WIE WSPÓRZĘDNYCH

BIEGUNOWYCH

Pole figury, którą pomierzono metodą biegunową z jednego

stanowiska, można obliczyć ze współrzędnych biegunowych, którymi
są pomierzone w terenie długości r (tzw. promienie wodzące) i kąty
kierunkowe



.

Wzór taki, np. dla pola czworoboku P

1234

można

wyprowadzić

na

podstawie

następujących zależności, wykorzystując
wzór na pole trójkąta: 

2P

1234

= 2P

B12

+ 2P

B23

+ 2P

B34

- 2P

B14

=

= r

1

r

2

sin (



– 



) + r

2

r

3

sin(



– 



) +

+ r

3

r

4

sin(



– 



) + r

4

r

1

sin(



– 



)

 Wzór na obliczenie podwojonego pola

słuszny

dla

wieloboku

mającego

n

wierzchołków, ma ogólną postać:

2P = [r

k

r

k+1

sin(

k

– 

k

)]

1

n

Gdy

biegun

jest

wewnątrz

figury,

wszystkie kąty we wzorze są dodatnie.

Kontrolę obliczenia kątów stanowi spełnienie równości:
[(

k

– 

k

)]

1

n

= 0

 

WNIOSKI:
1. Metoda analityczna ma dwie zalety - jest

najdokładniejsza i możemy ją stosować do obliczania
pól figur przed sporządzeniem mapy.

2. Metodę analityczną stosujemy do obliczania pola

całego

mierzonego

obszaru

i

poszczególnych

kompleksów.

3. Gdy wymagana jest duża dokładność wyznaczania pól

małych figur o prostych kształtach (do pięcioboków
włącznie) to obliczamy pola zazwyczaj za pomocą
prostych wzorów na pole trójkąta lub czworoboku
zależnie od elementów pomierzonych w terenie.

OBLICZANIE PÓL FIGUR METODĄ GRAFICZNĄ

Metoda graficzna polega na wykorzystaniu elementów liniowych

zmierzonych na mapie graficznie. Metodę tę stosujemy wówczas, gdy

nie dysponujemy danymi z terenu lub nie jest potrzebna tak duża

dokładność, jaką można osiągnąć metodą analityczną.

Wyniki obliczeń pól metodą graficzną są obarczone błędami:
- pomiaru w terenie,
- sporządzania mapy,
- skurczu papieru,
- pomiaru linii na mapie, które mają główny wpływ na dokładność

metody.

Pole trójkąta:

zaś błąd średni pola:
 

gdzie:
a, h - podstawa i wysokość trójkąta zmierzone na mapie,
m

a

, m

h

- średnie błędy graficznego określenia podstawy i wysokości na

mapie.

 

ah

P

2

1





 







2

2

2

1

h

a

p

am

hm

m





Ponieważ cechą metody graficznej jest m

a

= m

h

to:

 

Gdy dodatkowo h=a, to:
Zaś:

Zatem, błąd średni graficznego obliczenia pola trójkąta:

błąd średni graficznego obliczenia pola kwadratu:

błąd średni graficznego obliczenia pola trapezu:
we wzorach tych m

a

jest średnim błędem graficznego określenia długości na mapie.

Ogólny wzór na błąd średni graficznego wyznaczenia pola trójkąta jest następujący:

gdzie:

- współczynnik kształtu figury

 





2

2

2

1

h

a

m

m

a

p





2

2

1

a

m

p



P

m

P

m

a

m

m

a

a

a

p







4

2

1

2

2

1

2

P

m

m

a

P





P

m

m

a

P

2



2

3P

m

m

a

P



k

k

P

m

m

a

P

2

1

2





h

a

k 

OBLICZANIE PÓL FIGUR METODĄ ANALITYCZNO-GRAFICZNĄ

(KOMBINOWANĄ)

Rozpatrzmy dokładność obliczenia pola wydłużonej działki o
kształcie prostokąta przy czym szerokość działki a jest znacznie
mniejsza od jej długości b.
Szerokość działki powinna być pomierzona znacznie dokładniej i
dlatego w celu zwiększenia dokładności obliczenia pola korzystamy z
pomierzonych w terenie szerokości działek, natomiast długości
działek wyznaczamy graficznie z mapy.

Pole działki:
P=f(a,b)=ab przy czym a<<b

Błąd średni pola:



 











2

2

2

2

Pb

Pa

b

a

p

m

m

am

bm

m









Błąd wyznaczenia pola jest najmniejszy, gdy:

bm

a

= am

b

Skąd:

Ponieważ:

a<<b więc m

a

<< m

b

Pomiar szerokości wydłużonych działek musi być wykonany ze znacznie

większą

dokładnością od pomiaru długości działek m

a

<< m

b.

Dlatego też

wykorzystujemy do obliczeń pola pomierzone w terenie szerokości działek

(tzw. czołówka), natomiast długości działek określamy graficznie z mapy.

Błąd wyznaczenia pola w skali 1:5000 będzie najmniejszy, gdy szerokości

(czołówki) działek będą około 10 razy krótsze od ich długości. Metodę

analityczno-graficzną stosujemy do obliczenia pól wydłużonych działek lub

dróg o stałej szerokości.

Pola wydłużonych działek obliczamy zazwyczaj metodą kombinowaną.

Podobnie jak w metodzie graficznej, dla kontroli obliczeń pola działek

dzielimy dwukrotnie na coraz inne trójkąty.

b

a

m

m

b

m

a

m

b

a

b

a





,

OBLICZANIE PÓL FIGUR METODĄ MECHANICZNĄ

Pola figur o nieregularnych, krzywoliniowych granicach, oblicza się prze ważnie metodą

mechaniczną, za pomocą przyrządów zwanych planimetrami. Najczęstsze

zastosowanie znajduje planimetr biegunowy kompensacyjny.

Planimetr biegunowy składa się z dwu ramion połączonych przegubowo: biegunowego

R o długości stałej, na końcu którego znajduje się biegun B, oraz ramienia wodzącego

R

1

którego długość można zmieniać. Na końcu ramienia wodzącego znajduje się

wodzik W z uchwytem. Na korpusie planimetru, na osi równoległej do ramienia

wodzącego, jest osadzone kółko całkujące K z podziałem na 100 części i z noniuszem.

Ruch osi kółka jest przenoszony za pomocą przekładni ślimakowej na tarczę

wskazującą pełne obroty kółka. Kółko całkujące jest zasadniczym elementem

planimetru. Oś obrotu kółka całkującego musi być równoległa do osi ramienia

wodzącego. Odstęp płaszczyzny kółka od przegubu O jest stały i wynosi 

 

Wyznaczanie wielkości pola danej figury płaskiej, czyli tzw.

planimetrowanie, polega na oprowadzeniu po jej obwodzie wodzika
W, przy unieruchomionym biegunie B. Podczas obwodzenia figury
obraca się kółko całkujące, ślizgając się po papierze, a liczba jego
obrotów jest proporcjonalna do wielkości obwiedzionego pola.

Aby otrzymać wzór na pole całej figury wyznaczone planimetrem

biegu nowym, określimy uprzednio pole elementarne d" = BOMNO’,
które zostało splanimetrowane, gdy wodzik planimetru przesunął
się z punktu M do nieskończenie bliskiego punktu N, a przegub
zakreślił elementarny łuk OO'. Pole

to składa się z trzech

elementów, a mianowicie:

-          - z wycinka kołowego dpl = (1/2)R2dcx
-          - z równoległoboku

dp2 = Rl dh,

-          - z wycinka kołowego dp3 = (1/2) Rf d/l
 

Pole przy biegunie umieszczonym wewnątrz figury przyjmuje postać:
  P = C(n

2

- n

l

) + C

1

a wzór na pole przy biegunie na zewnątrz figury
   P = C(n

2

- n

l

)

Gdzie:
n

l

, n

2

- odczyt początkowy i końcowy z licznika kółka całkującego z

biegunem ustawionym na zewnątrz figury;

C – stała mnożenia, wartość terenowa wyrażona w m

2

;

C

1

– stała dodawania, wartość terenowa wyrażona w m

2 ;

Stałą mnożenia C obliczamy na podstawie wzoru:

Gdzie:
P – pole kwadratu siatki pierworysu wyrażone w jednostkach

terenowych

Stałą dodawania C

1

obliczamy na podstawie wzoru:

C

1

= C[(n

2

- n

l

) - (n’

2

– n’

l

)]

n’

l

, n’

2

- odczyt początkowy i końcowy z licznika kółka całkującego z

biegunem ustawionym wewnątrz figury

1

2

n

n

P

C





ZASTOSOWANIE METODY MECHANICZNEJ

Metoda mechaniczna jest najmniej dokładna z metod obliczania pól. W

związku z tym wyznaczamy planimetrem pola użytków gruntowych lub

konturów kJasyf1kacyjnych mające najczęściej granice nieregularne.

Pola te wyrównujemy do powierzchni kompleksów obliczonych wcześniej

analitycznie. Jako dopuszczalną odchyłkę przyjmujemy zazwyczaj 1/100

obliczanego pola i odchyłkę tę rozrzucamy proporcjonalnie do wielkości

pól planimetrowanych konturów.

Przy starannym wyznaczeniu stałej mnożenia C, odchyłki w kompleksach

powinny być rzędu 1/300-1/500 pól kompleksów i najczęściej o różnych

znakach. Przy mniej precyzyjnym wyznaczaniu stałej C odchyłki mogą

osiągać wartość do 1/100 pól kompleksów, ale wtedy powinny mieć

jednakowe znaki, co będzie świadczyło o wpływie nie usuniętych błędów

systematycznych, a więc przede wszystkim skurczu papieru arkusza, na

którym wykonano mapę. Natomiast odchyłki w kompleksach duże i o

różnych znakach świadczą o błędach w planimetrowaniu lub o pomyłkach

w kartowaniu osnowy czy szczegółów sytuacyjnych.

DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH

DOKŁADNOŚĆ METODY ANALITYCZNEJ:

Wyznaczone pole prostokąta:

P = f (a, b) = ab
 
przyrost funkcji:

dP = b da + a db
 
zaś błąd średni pola:

m

P

2

= (b m

a

)

2

+ (a m

b

)

2

Dzieląc obie strony przez P

2

= (a b)

2

,

otrzymujemy:
 
 

2

2

2









































b

m

a

m

P

m

b

a

P

DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH

DOKŁADNOŚĆ METODY GRAFICZNEJ I KOMBINOWANEJ:

Wzór empiryczny ma błąd średni wyznaczanego pola wg Jordana-Eggerta

wynosi:

Na mapie w skali 1:1

zaś w warunkach terenowych

Dla metody graficznej: a h, k = a/h = 1, m

a

= m

k

=+/-1 m.

Dla metody kombinowanej: m

a

/m

k

=a/h=k=1/10,

m

a

=+/-1m

m

k

=+/-1m

P

m

m

a

p



2

2

,

0

mm

P

m

p



2

0002

,

0

m

P

M

m

p



DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH

DOKŁADNOŚĆ METODY MECHANICZNEJ:

Wzór empiryczny ma błąd średni wyznaczanego pola wg Jordana-Eggerta wynosi:

Gdzie:

P, m

p

– w m

2

Wzór na błąd średni pola jest taki sam, jak w metodzie graficznej, można zatem przyjąć, że w skali

mapy 1 : 5000 dokładność metody mechanicznej kształtuje się podobnie, jak w metodzie graficznej -

w granicach od 1/50 do 1/400 wyznaczanego pola, ale pod warunkiem starannego wyznaczania

stałej mnożenia planimetru i uważnego planimetrowania.

Wzór ten nie uwzględnia błędów systematycznych popełnionych przy wyznaczaniu pola. W

metodzie mechanicznej jest trudniejszy do wykrycia błąd systematyczny (spowodowany np.

skurczem mapy) niż w metodzie graficznej, w której łatwiej go wykryć i wyeliminować przez

sprawdzenie długości poszczególnych kwadratów siatki mapy na podziałce poprzecznej. Ponadto, na

zmniejszenie dokładności wyznaczenia pola planimetrem wpływają znaczne nieraz nierówności

arkusza papieru, na którym sporządzono mapę. Dlatego przyjmujemy, że metoda mechaniczna jest

na ogół nieco mniej dokładna od graficznej.

P

M

m

p

0002

,

0

