OBLICZANIE PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH

METODY:
- analityczna;
- graficzna;
- analityczno - graficzna

(kombinowana);

- mechaniczna.

OBLICZANIE PÓL FIGUR

METODĄ ANALITYCZNĄ

Metoda analityczna polega na obliczaniu pól figur na

podstawie długości i kątów pomierzonych w terenie lub na
podstawie współrzędnych obliczonych z miar uzyskanych
w terenie. Jest to jedyna metoda, którą możemy obliczać
pola figur przed sporządzeniem mapy. Obliczanie
analityczne pola powierzchni jest najdokładniejsze, gdyż
jest obarczone tylko błędami pomiaru elementów
terenowych, takich jak długości i kąty.

Pola małych działek (mających najczęściej kształt

czworoboków) dzieli się na trójkąty i oblicza za pomocą
najprostszych wzorów matematycznych. Pola większych
figur,
o bardziej złożonych kształtach, oblicza się na podstawie
współrzędnych prostokątnych lub rzadziej biegunowych.

OBLICZANIE POLA TRÓJKĄTA

Gdy pomierzono wszystkie boki trójkąta a, b, c,

wówczas pole P wyznaczamy ze wzoru Herona:

c)

-

(s

b)

-

(s

a)

-

(s

s



P

gdzie:

 
Gdy w trójkącie pomierzono podstawę i

wysokość, to:

 
2P = a·h

a

= b

·

h

b

= c

·

h

c

Gdy pomierzono dwa boki i kąt między

nimi zawarty, to: 

2P = a

·

b

·

sin  = b

·

c

·

sin 

= a

·

c

·

sin



Gdy pomierzono jeden bok i dwa kąty do

niego przyległe, np. a, β i y, to:

c)

b

(a

2

1







s





ctg

ctg

2

2





a

P

OBLICZANIE POLA CZWOROBOKU

Gdy nie możemy pomierzyć wszystkich boków

czworoboku (np. przeszkadza ogrodzenie),
mierzymy przekątne e, f i kąt φ między nimi.
Wówczas pole P obliczymy na podstawie wzoru:

2P = e·f·sin φ

OBLICZANIE POLA FIGURY
NA PODSTAWIE WSPÓŁRZĘDNYCH
PROSTOKĄTNYCH

Przy liczbie wierzchołków wieloboku większej od

pięciu obliczamy i wyrównujemy współrzędne
wierzchołków poligonu,
a następnie obliczamy pole ze współrzędnych.
Najbardziej uporządkowanym i szybkim
sposobem analitycznego obliczenia pola
wieloboku jest wyznaczenie go ze
współrzędnych prostokątnych za pomocą wzoru
l'Huillera-Gaussa.

Wzór ten można wyprowadzić, przedstawiając np. pole

czworoboku P

1234

o znanych współrzędnych jako sumę pól dwu trapezów

pomniejszoną o sumę pól dwu innych trapezów:

P

1234

= P

l'122'

+ P

2'233'

- P

l'144'

- P

4'433'

=

Po wykonaniu działań i ich uporządkowaniu wg wzrastającej

numeracji rzędnych lub odciętych otrzymamy:
2P = y

1

(x

4

-x

2

)+y

2

(x

1

-x

3

)+y

3

(x

2

-x

4

)+y

4

(x

3

-x

1

)

lub

2P = -x

1

(y

4

-y

2

)- x

2

(y

1

-y

3

)- x

3

(y

2

-y

4

)- x

4

(y

3

-y

1

)

Wzory na obliczenie podwojonego pola, słuszne dla dowolnego

wieloboku mającego n wierzchołków, mają ogólną postać:

  2P = [y

k

(x

k-1

-x

k+1

)]

1n

lub

- 2P = [x

k

(y

k-1

-y

k+1

)]

1n

 gdzie: k = 1, 2, 3,..., n;

oraz jeśli k = n, to (k + 1) = 1

jeśli k = 1, to (k - 1) = n

















4

3

4

3

1

4

4

1

2

3

3

2

1

2

2

1

2

2

2

2

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x























WYPROWADZENIE

WZORU L'HUILLERA-GAUSSA

OBLICZANIE POLA FIGURY NA

PODSTAWIE WSPÓRZĘDNYCH

BIEGUNOWYCH

Pole figury, którą pomierzono metodą biegunową z

jednego
stanowiska, można obliczyć ze współrzędnych biegunowych,
którymi są pomierzone w terenie długości r (tzw. promienie
wodzące) i kąty kierunkowe



.

Wzór taki, np. dla pola czworoboku P

1234

można wyprowadzić na podstawie
następujących zależności, wykorzystując
wzór na pole trójkąta: 

2P

1234

= 2P

B12

+ 2P

B23

+ 2P

B34

- 2P

B14

=

= r

1

r

2

sin (

2

– 

1

) + r

2

r

3

sin(

3

– 



) +

+ r

3

r

4

sin(

4

– 



) + r

4

r

1

sin(



– 



)

 Wzór na obliczenie podwojonego pola

słuszny dla wieloboku mającego n
wierzchołków, ma ogólną postać:

2P = [r

k

r

k+1

sin(

k1

– 

k

)]

1

n

Gdy biegun jest wewnątrz figury,

wszystkie kąty we wzorze są dodatnie.

Kontrolę obliczenia kątów stanowi spełnienie równości:
[(

k

– 

k

)]

1

n

= 0

 

WNIOSKI:

1. Metoda analityczna ma dwie zalety - jest
najdokładniejsza
i możemy ją stosować do obliczania pól figur przed
sporządzeniem mapy.
2. Metodę analityczną stosujemy do obliczania pola
całego mierzonego obszaru i poszczególnych
kompleksów.
3. Gdy wymagana jest duża dokładność wyznaczania pól
małych figur o prostych kształtach (do pięcioboków
włącznie), to obliczamy pola zazwyczaj za pomocą
prostych wzorów na pole trójkąta lub czworoboku
zależnie od elementów pomierzonych
w terenie.

OBLICZANIE PÓL FIGUR

METODĄ GRAFICZNĄ

Metoda graficzna polega na wykorzystaniu elementów liniowych

zmierzonych na mapie graficznie. Metodę tę stosujemy wówczas, gdy

nie dysponujemy danymi z terenu lub nie jest potrzebna tak duża

dokładność, jaką można osiągnąć metodą analityczną.

Wyniki obliczeń pól metodą graficzną są obarczone błędami:

- pomiaru w terenie,
- sporządzania mapy,
- skurczu papieru,
- pomiaru linii na mapie, które mają główny wpływ na dokładność

metody.

Pole trójkąta:

zaś błąd średni pola:
 

gdzie:
a, h - podstawa i wysokość trójkąta zmierzone na mapie,
m

a

, m

h

- średnie błędy graficznego określenia podstawy i wysokości na

mapie.

ah

P

2

1





 







2

2

2

1

h

a

p

am

hm

m





Ponieważ cechą metody graficznej jest m

a

= m

h

, to:

 

Gdy dodatkowo h = a, to:
Zaś:

Zatem, błąd średni graficznego obliczenia pola trójkąta:

błąd średni graficznego obliczenia pola kwadratu:

błąd średni graficznego obliczenia pola trapezu:
we wzorach tych m

a

jest średnim błędem graficznego określenia długości na

mapie.

Ogólny wzór na błąd średni graficznego wyznaczenia pola trójkąta jest

następujący:

gdzie:

- współczynnik kształtu figury

 





2

2

2

1

h

a

m

m

a

p





2

2

1

a

m

p



P

m

P

m

a

m

m

a

a

a

p







4

2

1

2

2

1

2

P

m

m

a

P





P

m

m

a

P

2



2

3P

m

m

a

P



k

k

P

m

m

a

P

2

1

2





h

a

k 

OBLICZANIE PÓL FIGUR METODĄ

ANALITYCZNO-GRAFICZNĄ

(KOMBINOWANĄ)

Rozpatrzmy dokładność obliczenia pola wydłużonej

działki o kształcie prostokąta, przy czym szerokość działki a jest
znacznie mniejsza od jej długości b.

Szerokość działki powinna być pomierzona znacznie

dokładniej i dlatego w celu zwiększenia dokładności obliczenia
pola korzystamy z pomierzonych w terenie szerokości działek,
natomiast długości działek wyznaczamy graficznie z mapy.

Pole działki:

P = f (a, b) = a·b, przy czym a « b

Błąd średni pola:



 











2

2

2

2

Pb

Pa

b

a

p

m

m

am

bm

m









Błąd wyznaczenia pola jest najmniejszy, gdy:

b·m

a

= a·m

b

Skąd

Ponieważ a « b, więc m

a

« m

b

Pomiar szerokości wydłużonych działek musi być wykonany ze

znacznie większą dokładnością od pomiaru długości działek m

a

« m

b.

Dlatego też wykorzystujemy do obliczeń pola pomierzone w terenie

szerokości działek (tzw. czołówka), natomiast długości działek

określamy graficznie z mapy.

Błąd wyznaczenia pola w skali 1:5000 będzie najmniejszy, gdy

szerokości (czołówki) działek będą około 10 razy krótsze od ich długości.
Metodę analityczno-graficzną stosujemy do obliczenia pól wydłużonych

działek lub dróg o stałej szerokości.

Pola wydłużonych działek obliczamy zazwyczaj metodą

kombinowaną.

Podobnie jak w metodzie graficznej, dla kontroli

obliczeń pola działek dzielimy dwukrotnie na coraz inne trójkąty.

b

a

m

m

b

m

a

m

b

a

b

a





,

OBLICZANIE PÓL FIGUR

METODĄ MECHANICZNĄ

Pola figur o nieregularnych, krzywoliniowych granicach, oblicza się przeważnie

metodą mechaniczną, za pomocą przyrządów zwanych planimetrami.

Najczęstsze zastosowanie znajduje planimetr biegunowy kompensacyjny.

Planimetr biegunowy składa się z dwu ramion połączonych przegubowo:

biegunowego R o długości stałej, na końcu którego znajduje się biegun B, oraz

ramienia wodzącego R

1

którego długość można zmieniać. Na końcu ramienia

wodzącego znajduje się wodzik W z uchwytem. Na korpusie planimetru, na osi

równoległej do ramienia wodzącego, jest osadzone kółko całkujące K z

podziałem na 100 części i z noniuszem. Ruch osi kółka jest przenoszony za

pomocą przekładni ślimakowej na tarczę wskazującą pełne obroty kółka. Kółko

całkujące jest zasadniczym elementem planimetru. Oś obrotu kółka

całkującego musi być równoległa do osi ramienia wodzącego. Odstęp

płaszczyzny kółka od przegubu O jest stały i wynosi 

Wyznaczanie wielkości pola danej figury płaskiej, czyli

tzw. planimetrowanie, polega na oprowadzeniu po jej obwodzie
wodzika W, przy unieruchomionym biegunie B. Podczas obwodzenia
figury obraca się kółko całkujące, ślizgając się po papierze, a liczba

jego obrotów

jest proporcjonalna do wielkości obwiedzionego pola.

Aby otrzymać wzór na pole całej figury wyznaczone

planimetrem

biegunowym, określimy uprzednio pole elementarne d" = BOMNO’,

które zostało

splanimetrowane, gdy wodzik planimetru przesunął się z punktu M do

nieskończenie

bliskiego punktu N, a przegub zakreślił elementarny łuk OO'. Pole to

składa się z trzech

elementów, a mianowicie:
- z wycinka kołowego dP

l

= (1/2)Rdcx

- z równoległoboku dP

2

= R

l

dh,

- z wycinka kołowego dP

3

= (1/2) Rf d/l

 

Pole przy biegunie umieszczonym wewnątrz figury przyjmuje postać:

  P = C·(n

2

- n

l

) + C

1

a wzór na pole przy biegunie na zewnątrz figury

   P = C·(n

2

- n

l

)

gdzie:
n

l

, n

2

- odczyt początkowy i końcowy z licznika kółka całkującego z

biegunem ustawionym na zewnątrz figury;
C – stała mnożenia, wartość terenowa wyrażona w m

2

;

C

1

– stała dodawania, wartość terenowa wyrażona w m

2 ;

Stałą mnożenia C obliczamy na podstawie wzoru:

gdzie:
P – pole kwadratu siatki pierworysu wyrażone w jednostkach

terenowych
Stałą dodawania C

1

obliczamy na podstawie wzoru:

C

1

= C·[(n

2

- n

l

) - (n’

2

– n’

l

)]

n’

l

, n’

2

- odczyt początkowy i końcowy z licznika kółka całkującego z

biegunem ustawionym wewnątrz figury

1

2

n

n

P

C





ZASTOSOWANIE METODY

MECHANICZNEJ

Metoda mechaniczna jest najmniej dokładna z metod obliczania pól.

W związku z tym wyznaczamy planimetrem pola użytków gruntowych lub

konturów klasyfikacyjnych mające najczęściej granice nieregularne. Pola

te wyrównujemy do powierzchni kompleksów obliczonych wcześniej

analitycznie. Jako dopuszczalną odchyłkę przyjmujemy zazwyczaj 1/100

obliczanego pola i odchyłkę tę rozrzucamy proporcjonalnie do wielkości

pól planimetrowanych konturów.

Przy starannym wyznaczeniu stałej mnożenia C, odchyłki w kompleksach

powinny być rzędu 1/300-1/500 pól kompleksów i najczęściej o różnych

znakach. Przy mniej precyzyjnym wyznaczaniu stałej C odchyłki mogą

osiągać wartość do 1/100 pól kompleksów, ale wtedy powinny mieć

jednakowe znaki, co będzie świadczyło o wpływie nie usuniętych błędów

systematycznych, a więc przede wszystkim skurczu papieru arkusza, na

którym wykonano mapę. Natomiast odchyłki w kompleksach duże i o

różnych znakach świadczą o błędach w planimetrowaniu lub o pomyłkach

w kartowaniu osnowy czy szczegółów sytuacyjnych.

DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA

PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH

DOKŁADNOŚĆ METODY ANALITYCZNEJ:

Wyznaczone pole prostokąta:

P = f (a, b) = a·b
 
przyrost funkcji:

dP = b·da + a·db
 
zaś błąd średni pola:

m

P

2

= (b·m

a

)

2

+ (a·m

b

)

2

Dzieląc obie strony przez P

2

= (a·b)

2

,

otrzymujemy:
 
 

2

2

2









































b

m

a

m

P

m

b

a

P

DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA

PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH

DOKŁADNOŚĆ METODY GRAFICZNEJ I KOMBINOWANEJ

:

Wzór empiryczny ma błąd średni wyznaczanego pola wg Jordana-Eggerta

wynosi:

Na mapie w skali 1:1

zaś w warunkach terenowych

Dla metody graficznej: a h, k = a/h = 1, m

a

= m

k

=+/-1 m.

Dla metody kombinowanej: m

a

/m

k

=a/h=k=1/10, m

a

=+/-

1m
m

k

=+/-1m

P

m

m

a

p



2

2

,

0

mm

P

m

p



2

0002

,

0

m

P

M

m

p



DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA

PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH

DOKŁADNOŚĆ METODY MECHANICZNEJ:

Wzór empiryczny ma błąd średni wyznaczanego pola wg Jordana-Eggerta

wynosi:

gdzie: P, m

p

– w m

2

Wzór na błąd średni pola jest taki sam, jak w metodzie graficznej, można

zatem przyjąć, że w skali mapy 1 : 5000 dokładność metody mechanicznej

kształtuje się podobnie, jak w metodzie graficznej - w granicach od 1/50 do

1/400 wyznaczanego pola, ale pod warunkiem starannego wyznaczania stałej

mnożenia planimetru i uważnego planimetrowania.

Wzór ten nie uwzględnia błędów systematycznych popełnionych przy

wyznaczaniu pola. W metodzie mechanicznej jest trudniejszy do wykrycia błąd

systematyczny (spowodowany np. skurczem mapy) niż w metodzie graficznej,

w której łatwiej go wykryć i wyeliminować przez sprawdzenie długości

poszczególnych kwadratów siatki mapy na podziałce poprzecznej. Ponadto na

zmniejszenie dokładności wyznaczenia pola planimetrem wpływają znaczne

nieraz nierówności arkusza papieru, na którym sporządzono mapę. Dlatego

przyjmujemy, że metoda mechaniczna jest na ogół nieco mniej

dokładna od graficznej.

P

M

m

p

0002

,

0

