OBLICZANIE PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH
METODY:
- analityczna;
- graficzna;
- analityczno - graficzna
(kombinowana);
- mechaniczna.
OBLICZANIE PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH
METODY:
- analityczna;
- graficzna;
- analityczno - graficzna
(kombinowana);
- mechaniczna.
OBLICZANIE PÓL FIGUR
METODĄ ANALITYCZNĄ
Metoda analityczna polega na obliczaniu pól figur na
podstawie długości i kątów pomierzonych w terenie lub na
podstawie współrzędnych obliczonych z miar uzyskanych
w terenie. Jest to jedyna metoda, którą możemy obliczać
pola figur przed sporządzeniem mapy. Obliczanie
analityczne pola powierzchni jest najdokładniejsze, gdyż
jest obarczone tylko błędami pomiaru elementów
terenowych, takich jak długości i kąty.
Pola małych działek (mających najczęściej kształt
czworoboków) dzieli się na trójkąty i oblicza za pomocą
najprostszych wzorów matematycznych. Pola większych
figur,
o bardziej złożonych kształtach, oblicza się na podstawie
współrzędnych prostokątnych lub rzadziej biegunowych.
OBLICZANIE POLA TRÓJKĄTA
Gdy pomierzono wszystkie boki trójkąta a, b, c,
wówczas pole P wyznaczamy ze wzoru Herona:
c)
-
(s
b)
-
(s
a)
-
(s
s
P
gdzie:
Gdy w trójkącie pomierzono podstawę i
wysokość, to:
2P = a·h
a
= b
·
h
b
= c
·
h
c
Gdy pomierzono dwa boki i kąt między
nimi zawarty, to:
2P = a
·
b
·
sin = b
·
c
·
sin
= a
·
c
·
sin
Gdy pomierzono jeden bok i dwa kąty do
niego przyległe, np. a, β i y, to:
c)
b
(a
2
1
s
ctg
ctg
2
2
a
P
OBLICZANIE POLA CZWOROBOKU
Gdy nie możemy pomierzyć wszystkich boków
czworoboku (np. przeszkadza ogrodzenie),
mierzymy przekątne e, f i kąt φ między nimi.
Wówczas pole P obliczymy na podstawie wzoru:
2P = e·f·sin φ
OBLICZANIE POLA FIGURY
NA PODSTAWIE WSPÓŁRZĘDNYCH
PROSTOKĄTNYCH
Przy liczbie wierzchołków wieloboku większej od
pięciu obliczamy i wyrównujemy współrzędne
wierzchołków poligonu,
a następnie obliczamy pole ze współrzędnych.
Najbardziej uporządkowanym i szybkim
sposobem analitycznego obliczenia pola
wieloboku jest wyznaczenie go ze
współrzędnych prostokątnych za pomocą wzoru
l'Huillera-Gaussa.
Wzór ten można wyprowadzić, przedstawiając np. pole
czworoboku P
1234
o znanych współrzędnych jako sumę pól dwu trapezów
pomniejszoną o sumę pól dwu innych trapezów:
P
1234
= P
l'122'
+ P
2'233'
- P
l'144'
- P
4'433'
=
Po wykonaniu działań i ich uporządkowaniu wg wzrastającej
numeracji rzędnych lub odciętych otrzymamy:
2P = y
1
(x
4
-x
2
)+y
2
(x
1
-x
3
)+y
3
(x
2
-x
4
)+y
4
(x
3
-x
1
)
lub
2P = -x
1
(y
4
-y
2
)- x
2
(y
1
-y
3
)- x
3
(y
2
-y
4
)- x
4
(y
3
-y
1
)
Wzory na obliczenie podwojonego pola, słuszne dla dowolnego
wieloboku mającego n wierzchołków, mają ogólną postać:
2P = [y
k
(x
k-1
-x
k+1
)]
1n
lub
- 2P = [x
k
(y
k-1
-y
k+1
)]
1n
gdzie: k = 1, 2, 3,..., n;
oraz jeśli k = n, to (k + 1) = 1
jeśli k = 1, to (k - 1) = n
4
3
4
3
1
4
4
1
2
3
3
2
1
2
2
1
2
2
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
WYPROWADZENIE
WZORU L'HUILLERA-GAUSSA
OBLICZANIE POLA FIGURY NA
PODSTAWIE WSPÓRZĘDNYCH
BIEGUNOWYCH
Pole figury, którą pomierzono metodą biegunową z
jednego
stanowiska, można obliczyć ze współrzędnych biegunowych,
którymi są pomierzone w terenie długości r (tzw. promienie
wodzące) i kąty kierunkowe
.
Wzór taki, np. dla pola czworoboku P
1234
można wyprowadzić na podstawie
następujących zależności, wykorzystując
wzór na pole trójkąta:
2P
1234
= 2P
B12
+ 2P
B23
+ 2P
B34
- 2P
B14
=
= r
1
r
2
sin (
2
–
1
) + r
2
r
3
sin(
3
–
) +
+ r
3
r
4
sin(
4
–
) + r
4
r
1
sin(
–
)
Wzór na obliczenie podwojonego pola
słuszny dla wieloboku mającego n
wierzchołków, ma ogólną postać:
2P = [r
k
r
k+1
sin(
k1
–
k
)]
1
n
Gdy biegun jest wewnątrz figury,
wszystkie kąty we wzorze są dodatnie.
Kontrolę obliczenia kątów stanowi spełnienie równości:
[(
k
–
k
)]
1
n
= 0
WNIOSKI:
1. Metoda analityczna ma dwie zalety - jest
najdokładniejsza
i możemy ją stosować do obliczania pól figur przed
sporządzeniem mapy.
2. Metodę analityczną stosujemy do obliczania pola
całego mierzonego obszaru i poszczególnych
kompleksów.
3. Gdy wymagana jest duża dokładność wyznaczania pól
małych figur o prostych kształtach (do pięcioboków
włącznie), to obliczamy pola zazwyczaj za pomocą
prostych wzorów na pole trójkąta lub czworoboku
zależnie od elementów pomierzonych
w terenie.
OBLICZANIE PÓL FIGUR
METODĄ GRAFICZNĄ
Metoda graficzna polega na wykorzystaniu elementów liniowych
zmierzonych na mapie graficznie. Metodę tę stosujemy wówczas, gdy
nie dysponujemy danymi z terenu lub nie jest potrzebna tak duża
dokładność, jaką można osiągnąć metodą analityczną.
Wyniki obliczeń pól metodą graficzną są obarczone błędami:
- pomiaru w terenie,
- sporządzania mapy,
- skurczu papieru,
- pomiaru linii na mapie, które mają główny wpływ na dokładność
metody.
Pole trójkąta:
zaś błąd średni pola:
gdzie:
a, h - podstawa i wysokość trójkąta zmierzone na mapie,
m
a
, m
h
- średnie błędy graficznego określenia podstawy i wysokości na
mapie.
ah
P
2
1
2
2
2
1
h
a
p
am
hm
m
Ponieważ cechą metody graficznej jest m
a
= m
h
, to:
Gdy dodatkowo h = a, to:
Zaś:
Zatem, błąd średni graficznego obliczenia pola trójkąta:
błąd średni graficznego obliczenia pola kwadratu:
błąd średni graficznego obliczenia pola trapezu:
we wzorach tych m
a
jest średnim błędem graficznego określenia długości na
mapie.
Ogólny wzór na błąd średni graficznego wyznaczenia pola trójkąta jest
następujący:
gdzie:
- współczynnik kształtu figury
2
2
2
1
h
a
m
m
a
p
2
2
1
a
m
p
P
m
P
m
a
m
m
a
a
a
p
4
2
1
2
2
1
2
P
m
m
a
P
P
m
m
a
P
2
2
3P
m
m
a
P
k
k
P
m
m
a
P
2
1
2
h
a
k
OBLICZANIE PÓL FIGUR METODĄ
ANALITYCZNO-GRAFICZNĄ
(KOMBINOWANĄ)
Rozpatrzmy dokładność obliczenia pola wydłużonej
działki o kształcie prostokąta, przy czym szerokość działki a jest
znacznie mniejsza od jej długości b.
Szerokość działki powinna być pomierzona znacznie
dokładniej i dlatego w celu zwiększenia dokładności obliczenia
pola korzystamy z pomierzonych w terenie szerokości działek,
natomiast długości działek wyznaczamy graficznie z mapy.
Pole działki:
P = f (a, b) = a·b, przy czym a « b
Błąd średni pola:
2
2
2
2
Pb
Pa
b
a
p
m
m
am
bm
m
Błąd wyznaczenia pola jest najmniejszy, gdy:
b·m
a
= a·m
b
Skąd
Ponieważ a « b, więc m
a
« m
b
Pomiar szerokości wydłużonych działek musi być wykonany ze
znacznie większą dokładnością od pomiaru długości działek m
a
« m
b.
Dlatego też wykorzystujemy do obliczeń pola pomierzone w terenie
szerokości działek (tzw. czołówka), natomiast długości działek
określamy graficznie z mapy.
Błąd wyznaczenia pola w skali 1:5000 będzie najmniejszy, gdy
szerokości (czołówki) działek będą około 10 razy krótsze od ich długości.
Metodę analityczno-graficzną stosujemy do obliczenia pól wydłużonych
działek lub dróg o stałej szerokości.
Pola wydłużonych działek obliczamy zazwyczaj metodą
kombinowaną.
Podobnie jak w metodzie graficznej, dla kontroli
obliczeń pola działek dzielimy dwukrotnie na coraz inne trójkąty.
b
a
m
m
b
m
a
m
b
a
b
a
,
OBLICZANIE PÓL FIGUR
METODĄ MECHANICZNĄ
Pola figur o nieregularnych, krzywoliniowych granicach, oblicza się przeważnie
metodą mechaniczną, za pomocą przyrządów zwanych planimetrami.
Najczęstsze zastosowanie znajduje planimetr biegunowy kompensacyjny.
Planimetr biegunowy składa się z dwu ramion połączonych przegubowo:
biegunowego R o długości stałej, na końcu którego znajduje się biegun B, oraz
ramienia wodzącego R
1
którego długość można zmieniać. Na końcu ramienia
wodzącego znajduje się wodzik W z uchwytem. Na korpusie planimetru, na osi
równoległej do ramienia wodzącego, jest osadzone kółko całkujące K z
podziałem na 100 części i z noniuszem. Ruch osi kółka jest przenoszony za
pomocą przekładni ślimakowej na tarczę wskazującą pełne obroty kółka. Kółko
całkujące jest zasadniczym elementem planimetru. Oś obrotu kółka
całkującego musi być równoległa do osi ramienia wodzącego. Odstęp
płaszczyzny kółka od przegubu O jest stały i wynosi
Wyznaczanie wielkości pola danej figury płaskiej, czyli
tzw. planimetrowanie, polega na oprowadzeniu po jej obwodzie
wodzika W, przy unieruchomionym biegunie B. Podczas obwodzenia
figury obraca się kółko całkujące, ślizgając się po papierze, a liczba
jego obrotów
jest proporcjonalna do wielkości obwiedzionego pola.
Aby otrzymać wzór na pole całej figury wyznaczone
planimetrem
biegunowym, określimy uprzednio pole elementarne d" = BOMNO’,
które zostało
splanimetrowane, gdy wodzik planimetru przesunął się z punktu M do
nieskończenie
bliskiego punktu N, a przegub zakreślił elementarny łuk OO'. Pole to
składa się z trzech
elementów, a mianowicie:
- z wycinka kołowego dP
l
= (1/2)Rdcx
- z równoległoboku dP
2
= R
l
dh,
- z wycinka kołowego dP
3
= (1/2) Rf d/l
Pole przy biegunie umieszczonym wewnątrz figury przyjmuje postać:
P = C·(n
2
- n
l
) + C
1
a wzór na pole przy biegunie na zewnątrz figury
P = C·(n
2
- n
l
)
gdzie:
n
l
, n
2
- odczyt początkowy i końcowy z licznika kółka całkującego z
biegunem ustawionym na zewnątrz figury;
C – stała mnożenia, wartość terenowa wyrażona w m
2
;
C
1
– stała dodawania, wartość terenowa wyrażona w m
2 ;
Stałą mnożenia C obliczamy na podstawie wzoru:
gdzie:
P – pole kwadratu siatki pierworysu wyrażone w jednostkach
terenowych
Stałą dodawania C
1
obliczamy na podstawie wzoru:
C
1
= C·[(n
2
- n
l
) - (n’
2
– n’
l
)]
n’
l
, n’
2
- odczyt początkowy i końcowy z licznika kółka całkującego z
biegunem ustawionym wewnątrz figury
1
2
n
n
P
C
ZASTOSOWANIE METODY
MECHANICZNEJ
Metoda mechaniczna jest najmniej dokładna z metod obliczania pól.
W związku z tym wyznaczamy planimetrem pola użytków gruntowych lub
konturów klasyfikacyjnych mające najczęściej granice nieregularne. Pola
te wyrównujemy do powierzchni kompleksów obliczonych wcześniej
analitycznie. Jako dopuszczalną odchyłkę przyjmujemy zazwyczaj 1/100
obliczanego pola i odchyłkę tę rozrzucamy proporcjonalnie do wielkości
pól planimetrowanych konturów.
Przy starannym wyznaczeniu stałej mnożenia C, odchyłki w kompleksach
powinny być rzędu 1/300-1/500 pól kompleksów i najczęściej o różnych
znakach. Przy mniej precyzyjnym wyznaczaniu stałej C odchyłki mogą
osiągać wartość do 1/100 pól kompleksów, ale wtedy powinny mieć
jednakowe znaki, co będzie świadczyło o wpływie nie usuniętych błędów
systematycznych, a więc przede wszystkim skurczu papieru arkusza, na
którym wykonano mapę. Natomiast odchyłki w kompleksach duże i o
różnych znakach świadczą o błędach w planimetrowaniu lub o pomyłkach
w kartowaniu osnowy czy szczegółów sytuacyjnych.
DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA
PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH
DOKŁADNOŚĆ METODY ANALITYCZNEJ:
Wyznaczone pole prostokąta:
P = f (a, b) = a·b
przyrost funkcji:
dP = b·da + a·db
zaś błąd średni pola:
m
P
2
= (b·m
a
)
2
+ (a·m
b
)
2
Dzieląc obie strony przez P
2
= (a·b)
2
,
otrzymujemy:
2
2
2
b
m
a
m
P
m
b
a
P
DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA
PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH
DOKŁADNOŚĆ METODY GRAFICZNEJ I KOMBINOWANEJ
:
Wzór empiryczny ma błąd średni wyznaczanego pola wg Jordana-Eggerta
wynosi:
Na mapie w skali 1:1
zaś w warunkach terenowych
Dla metody graficznej: a h, k = a/h = 1, m
a
= m
k
=+/-1 m.
Dla metody kombinowanej: m
a
/m
k
=a/h=k=1/10, m
a
=+/-
1m
m
k
=+/-1m
P
m
m
a
p
2
2
,
0
mm
P
m
p
2
0002
,
0
m
P
M
m
p
DOKŁADNOŚĆ WYZNACZANIA
PÓL FIGUR GEOMETRYCZNYCH
DOKŁADNOŚĆ METODY MECHANICZNEJ:
Wzór empiryczny ma błąd średni wyznaczanego pola wg Jordana-Eggerta
wynosi:
gdzie: P, m
p
– w m
2
Wzór na błąd średni pola jest taki sam, jak w metodzie graficznej, można
zatem przyjąć, że w skali mapy 1 : 5000 dokładność metody mechanicznej
kształtuje się podobnie, jak w metodzie graficznej - w granicach od 1/50 do
1/400 wyznaczanego pola, ale pod warunkiem starannego wyznaczania stałej
mnożenia planimetru i uważnego planimetrowania.
Wzór ten nie uwzględnia błędów systematycznych popełnionych przy
wyznaczaniu pola. W metodzie mechanicznej jest trudniejszy do wykrycia błąd
systematyczny (spowodowany np. skurczem mapy) niż w metodzie graficznej,
w której łatwiej go wykryć i wyeliminować przez sprawdzenie długości
poszczególnych kwadratów siatki mapy na podziałce poprzecznej. Ponadto na
zmniejszenie dokładności wyznaczenia pola planimetrem wpływają znaczne
nieraz nierówności arkusza papieru, na którym sporządzono mapę. Dlatego
przyjmujemy, że metoda mechaniczna jest na ogół nieco mniej
dokładna od graficznej.
P
M
m
p
0002
,
0