Technika Cyfrowa Ćwiczenie 5 Przemysław Burzawa
1. Opis teoretyczny arytmetyki systemów dwójkowych.
a) NKB
Zasady arytmetyki w systemie binarnym są identyczne jak w dobrze nam znanym systemie dziesiętnym.
Zaletą arytmetyki binarnej jest jej prostota, dzięki czemu można ją tanio realizować za pomocą układów
elektronicznych.
Poniżej opisujemy zasady wykonywania podstawowych działań arytmetycznych wraz z odpowiednimi
przykładami.
Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania
każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania
jest niezwykle prosta i składa się tylko z 4 pozycji:
Dodawanie
Sumowane liczby zapisujemy jedna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na
pozycjach o tych samych wagach (identycznie postępujemy w systemie dziesiętnym zapisując liczby w
słupkach przed sumowaniem):
Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie
Jeśli wynik sumowania jest dwucyfrowy (1 + 1 = 10), to pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1
przechodzi do następnej kolumny - dodamy ją do wyniku sumowania cyfr w następnej kolumnie
Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera. Pamiętajmy o przeniesieniach.
Odejmowanie
Odejmując 0 - 1 otrzymujemy wynik 1 i pożyczkę (ang. borrow) do następnej pozycji. Pożyczka oznacza
konieczność odjęcia 1 od wyniku odejmowania cyfr w następnej kolumnie. Identycznie postępujemy w
systemie dziesiętnym, tyle że tam jest to o wiele bardziej skomplikowane.
Obie liczby umieszczamy jedna pod drugą tak, aby ich cyfry znalazły się w kolumnach o tych samych wagach:
Odejmowanie rozpoczynamy od cyfr ostatniej kolumny. Wyniki zapisujemy pod kreskÄ…
Według tych zasad kontynuujemy odejmowanie cyfr w pozostałych kolumnach. Pamiętaj o pożyczkach! Jeśli
w krótszej liczbie zabraknie cyfr, to możemy kolumny wypełnić zerami:
b) BCD
Ponieważ liczby w kodzie BCD nie są naturalnymi liczbami dwójkowymi, zatem nie można nad nimi
wykonywać normalnych działań arytmetycznych
Po wykonaniu standardowej operacji nad liczbami w kodzie BCD należy sprawdzić i w razie potrzeby
skorygować wynik. Dla dodawania i odejmowania korekcja będzie potrzebna wtedy, gdy dana grupa bitów
reprezentujących cyfrę dziesiętną ma wartość większą od 9 (binarnie 1001). W takiej sytuacji do grupy tej
należy dodać (dla odejmowania odjąć) wartość binarną 0110 (dziesiętnie 6).
Technika Cyfrowa Ćwiczenie 5 Przemysław Burzawa
Korekcja musi również wystąpić, gdy w trakcie dodawania wystąpiło przeniesienie (przy odejmowaniu
pożyczka) do sąsiedniej grupy bitów
c) ZM
Musimy przyjąć dodatkowe założenia (o ile nie chcemy zmieniać dobrych zasad arytmetyki dwójkowej).
Przede wszystkim w działaniach uczestniczą tylko moduły liczb. Bity znaków pełnią różne funkcje decyzyjne.
Ponieważ liczby zapisane w systmie ZM posiadają ustalony format(ilość bitów jest stała), to przy wykonywaniu
operacji arytmetycznych może dochodzić do nadmiarów (wynik większy niż można przedstawić za pomocą
dostępnych bitów modułu) lub niedomiarów. Przy dodawaniu i odejmowaniu wg opisanych reguł dla liczb ZM
nadmiar(niedomiar) można wykryć, jeśli wystąpiło przeniesienie(lub pożyczka) na pozycję znakową.
2. 3 Przykłady operacji arytmetycznych
a) NKB
150/2 75 0
75/2 37 1
37/2 18 1
18/2 9 0
9/2 4 1
4/2 2 0
2/2 1 0
1/ 2 ½ 1
147/2 73 1
73/2 36 1
36/2 18 0
18/2 9 0
9/2 4 1
4/2 2 0
2/2 1 0
1 /2 ½ 1
10010110 + 10010011 = 100101001
L(100101001) = 256 + 32 + 8 + 1 = 297
150 + 147 = 297
Technika Cyfrowa Ćwiczenie 5 Przemysław Burzawa
170/2 85 0
85/2 42 1
42/2 21 0
21/2 10 1
10/2 5 0
5/2 2 1
2/2 1 0
1 /2 ½ 1
150/2 75 0
75/2 37 1
37/2 18 1
18/2 9 0
9/2 4 1
4/2 2 0
2/2 1 0
1 /2 ½ 1
10101010 + 10010110 = 10100000
L(10100000) = 256 + 64 = 320
170+150 = 320
200/2 100 0
100/2 50 0
50/2 25 0
25/2 12 1
12/2 6 0
6/2 3 0
3/2 1 1
1 /2 ½ 1
170/2 85 0
85/2 42 1
42/2 21 0
21/2 10 1
10/2 5 0
5/2 2 1
Technika Cyfrowa Ćwiczenie 5 Przemysław Burzawa
2/2 1 0
1 /2 ½ 1
11001000 + 10101010 = 101110010
L(101110010) = 256 + 64 + 32 + 16 + 2 = 370
200 + 170 = 370
b) BCD
1 3 1 = 0001 0011 0001
1 4 7 = 0001 0100 0111
0001 0011 0001 + 0001 0100 0111 = 0010 0111 1000
0010 = 2 0111 = 7 1000 = 8
131 + 147 = 278
1 4 7 = 0001 0100 0111
1 3 1 = 0001 0011 0001
0001 0100 0111  0001 0011 0001 = 0000 0001 0110
0000 = 0 0001 = 1 0110 = 6
147  131 = 16
1 3 1 = 0001 0011 0001
1 2 0 = 0001 0010 0000
0001 0011 0001  0001 0010 0000 = 0000 0001 0001
0000 = 0 0001 = 1 0001 = 1
131  120 = 11
Technika Cyfrowa Ćwiczenie 5 Przemysław Burzawa
c ) ZM
160/2 80 0
80/2 40 0
40/2 20 0
20/2 10 0
10/2 5 0
5/2 2 1
2/2 1 0
1 /2 ½ 1
200/2 100 0
100/2 50 0
50/2 25 0
25/2 12 1
12/2 6 0
6/2 3 0
3/2 1 1
1 /2 ½ 1
0 1100100 + 0 1010000 = 0 101101000
L(0 101101000) = 256 + 64 + 32 + 8 = 360
200 + 160 = 360
200 = 0 11001000
160 = 0 10100000
0 11001000  0 10100000 = 0 00101000
L(0 00101000) = 32 + 8 = 40
200  160 = 40
Technika Cyfrowa Ćwiczenie 5 Przemysław Burzawa
170/2 85 0
85/2 42 1
42/2 21 0
21/2 10 1
10/2 5 0
5/2 2 1
2/2 1 0
1 /2 ½ 1
150/2 75 0
75/2 37 1
37/2 18 1
18/2 9 0
9/2 4 1
4/2 2 0
2/2 1 0
1 /2 ½ 1
0 10101010  0 10010110 = 0 00010100
L(0 00010100) = 16 + 4 = 20
170  150 = 20