Wprowadzenie mnożenia i

dzielenia (podział i

mieszczenie) oraz ich

własności.

MNOŻENIE

Dzieci klas pierwszych powinny

poznać i zrozumieć wszystkie

etapy dodawania i odejmowania

(pojęcia i związki między nimi),

które występują również przy

opracowaniu drugiej pary działań

wzajemnie odwrotnych – mnożenia

i dzielenia.

Mnożenie poznają dzieci w klasie

pierwszej jako skrócone dodawanie

jednakowych składników. Na

początku działamy na zadaniach już

znanych dzieciom na tzw.

konkretach w celu unaocznienia

związku mnożenia z dodawaniem

jednakowych składników.

+

+

+

=

8

2 + 2 + 2 +
2 = 8

4 x 2 = 8

Posłużymy się przy tym zadaniami

tekstowymi tak dobranymi, aby

działanie arytmetyczne – mnożenie

– było początkowo wyrażone

różnymi czynnościami

fizycznymi. Zapisując dodawaniem

jednakowych składników i krócej –

mnożeniem odpowiadające im

czynności, dzieci zaczynają

obejmować poznanym działaniem-

mnożeniem- ogół tych czynności.

3 + 3 =

2 x 3 =

+

Ile owoców położono w dwóch
koszyczkach?

Ile gruszek położono na trzech

talerzykach?

2 + 2 + 2 =

3 x 2 =

+

+

1) Mama dała trojgu dzieciom po 2 gruszki.
Ile gruszek rozdała?

W pracy z podręcznikiem

czynności efektywne zastępuje

obrazek, który jest podporą

dla wyobraźni matematycznej

dziecka.

2) Jola składała pieniądze na kwiaty

na imieniny mamy. W ciągu

pięciu dni wkładała do skarbonki po

4 złote. Ile pieniędzy zaoszczędziła

na kwiaty?

Dzieci ilustrują oszczędności Joli

krążkami i zapisują wzory:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

5 x 4 = 20

3) Dzieci w świetlicy zrobiły lalki ze

słomki i żołędzi. Ustawiły je na 2 półkach

i po 5 na każdej półce. Ile lalek zrobiły

dzieci?

5 + 5 = 10

2 x 5 = 10

Zadania te uprzytomniły dzieciom

pochodzenie formuły mnożenia, jej

związek z wielokrotnym

dodawaniem równych składników,

przybliżając w ten sposób dzieci

do zrozumienia istoty tego

działania arytmetycznego.

Dalsze ćwiczenia posłużą do

oderwania mnożenia od czynności

materialnej. Doprowadzą do tego

odpowiednio dobrane zadania

tekstowe na mnożenie, w którym

działanie arytmetyczne nie będzie

wyrażone żadną czynnością.

Przykłady:

1) W klasie jest 5 okien. Na każdym stoją po 3

doniczki kwiatów. Ile kwiatów ma do

podlewania dyżurny?

3 + 3 + 3 + 3 + 3= 15

5 x 3 = 15

2) Na wystawie sklepu z zabawkami są 4 rzędy

żołnierzyków, w każdym po 5 żołnierzyków. Ile

żołnierzyków jest na wystawie?

5+ 5+ 5 +5= 20

4 x 5 =20

3) Mama kupiła 3 bochenki chleba po 4 złote

bochenek. Ile zapłaciła?

4+4+4=12

3x4=12

Nietrudno zauważyć, że oderwanie się myśli

dziecka od czynnościowego pojmowania

mnożenia dokonuje się tutaj łatwo i

szybko, z uwagi na wyprowadzenie tego

działania z oddawania jednakowych

składników. Początkowo powiązanie

nowego pojęcia – mnożenia – ze znanym

już dzieciom działaniem – dodawaniem-

wspiera dodatkowo, odpowiednio dobrana

czynność. Trwa to jednak bardzo krótko

gdyż wiadomości wcześniej poznane,

są zasadniczą podstawą do poznania

mnożenia.

Dotychczas dzieci poznały

jedynie wąski zakres treści

mnożenia, jako wielokrotne

dodawanie jednakowych

składników. Do pełnego

zrozumienia tego działania

dojdą, gdy poznają dzielenie

jako działanie odwrotne do

mnożenia.

DZIELENIE

Z poznanych dotychczas działań

najtrudniejsze dla dzieci klasy

pierwszej jest dzielenie. Trudność ta

jest nie tyle natury matematycznej,

co psychologicznej. Dzielenie bowiem,

jako działanie matematyczne jest

uogólnieniem dwóch praktycznych

przypadków dzielenia jako:

1) dzielenie

„ po kilka” (mieszczenie)

2) dzielenie

„na równe części”

(podział)

W sytuacjach życiowych NIE występuje

nigdy dzielenie „przez”

tylko albo dzielenie „po kilka”

np. Mama daje starszemu synkowi śliwki i

mówi: „podzielcie się po 3”,

albo dzielenie „na równe części”

np. Mama, dając dzieciom gruszki, może

polecić: „podzielcie je na 3 równe części

między siebie”.

Z jednym i drugim przypadkiem dzielenia

związana jest czynność efektywna, dlatego

te praktyczne działania, mieszczenia i

podziału, są dla dzieci dostępne.

Wprowadzając więc pojęcie

dzielenie w klasie pierwszej,

należy wyjść od znanych

dzieciom intuicyjnych dwóch

konkretnych przypadków

dzielenia,

mieszczenia

i

podziału

, i stopniowo

doprowadzić do abstrakcji, do

uogólnienia, to znaczy do

dzielenia „przez”.

Przy wprowadzaniu dzielenia

powinno się wyjść od zagadnień z

życia codziennego, a

wymagających takich działań jak

mieszczenie lub podział.

Opracowanie oby przypadków

dzielenie opieramy na

czynnościach wykonywanych

przez dzieci.

Rozpoczynamy od

mieszczenia, tj. dzielenia „po

kilka”,

jako łatwiejszego dla dzieci, po

opanowaniu którego przechodzimy

do

podziału, tj. dzielenia „na równe

części”.

Przykład: Przy wprowadzeniu
mieszczenia:

Mama rozdała dzieciom 20 orzechów. Każdemu dała po

5 orzechów. Ile dzieci obdzieliła orzechami?

Czynności dzielenie związane z zadaniem na

mieszczenia nie sprawiają dzieciom trudności, gdyż

wiadome jest ze zadania, że trzeba rozdać po 5

orzechów.

Przykład: Przy wprowadzeniu podziału:

Mama dała czworgu dzieciom po 20 orzechów do

równego podziału. Ile orzechów dostało każde

dziecko?

Przy zadaniu na podział dzieci stają przed

zagadnieniem: jak podzielić orzechy między czworo

dzieci, aby każde dziecko dostało po równo?

Dzieci po zastanowieniu się powinny

dojść do przekonania, że do

poprawnego rozwiązania zadania –

bez obawy popełnienia błędu-

dojdą wówczas, gdy najpierw

rozdadzą każdemu z czworga

dzieci po jednym orzechu, potem

znów po jednym itd.., aż do

wyczerpania całego zbioru

orzechów.

Różne czynności konkretnie w jednym i drugim

przypadku dzielenia ułatwią dzieciom jasne

rozróżnienie

mieszczenia

i

podziału

.

Rozwiązanie zadania zarówno na mieszczenie,

jak i na podział zapisują dzieci za pomocą

formuły arytmetycznej dzielenia.

Podane zadania na orzechach można zapisać

w

postaci następujących formuł:

20:5=4

i

20:4=5

.

Formułę mieszczenia

(20:5=4) uczeń czyta

w następujący sposób :

20

podzielić po

5

jest

4

części.

Formułę podziału

(20:4=5) czyta :

20

podzielić na

4

równe części jest po

5

części w każdej części.

Należy przestrzegać, aby uczniowie

odczytując

formułę wskazywali odpowiednie cyfry i znaki.

Mieszczenie

poznają dzieci jako

działanie odwrotne do mnożenia. W

związku z tym punktem wyjścia powinno

być zadanie na mnożenie.

Przykład:
Do babci w odwiedziny przyszło czterech
wnuków. Babcia
poczęstowała ich pączkami. Każdy dostał po 2
pączki. Ile
pączków zjedli wnukowie?

Nauczyciel w trakcie podawania zadania ilustruje na tablicy.
Uczniowie w ten sam sposób przedstawiają zadania na swoich
stolikach. Zamiast sylwetek dzieci kładą patyczki,
przyporządkowują do każdego patyczka po 2 kółka (pączki) i
podają odpowiedź. Chłopcy zjedli 8 pączków.

Następnie ujmują zadania we wzór:

4 x 2 = 8

który odczytują najpierw zgodnie z

treścią zadania:

„Czterej chłopcy zjedli po 2

pączki, dostali więc od babci 8

pączków”,

a następnie bez treści:

„ 4 razy po 2 jest 8”.

Podział:

Nauczyciel przekształca wyjściowe

zadanie następująco:

Do babci przyszli wnukowie. Babcia miała 8
pączków i podzieliła je sprawiedliwie, dała
po 2 każdemu wnukowi. Dla ilu wnuków
starczyło pączków?

Dzieci inscenizują to zadanie. Jedna z dziewczynek jest

„babcią”, która daje - wybranym przez siebie spośród klasy
dzieciom - po 2 pączki (kasztany). Dzieci obdarowane

pączkami

wychodzą i stają przed ławkami, klasa widzi, że pączków

starczyło

dla 4 wnuków.

Czynność dzielenia 8 pączków po 2 każdemu wnukowi

wykonują wszystkie dzieci: odliczają 8 krążków i

rozdzielają je

(odstępami) po 2.

Następnie ujmują wykonywane czynności

w słowa:

„8 pączków babcia podzieliła po 2

każdemu wnukowi, obdzieliła 4

wnuków

(8 pączków podzielić po 2 jest 4).

Na tym etapie pojawia się

problem.

Jak to zapisać?

Podobnie jak przy wprowadzeniu znaku

minus- nie jest ważne kto znak

dzielenia ostatecznie poda: nauczyciel

czy uczniowie, ważne jest natomiast

aby uczniowie odczuli potrzebę

nowego znaku i przyjęli go ze

zrozumieniem.

Dzielenie (mieszczenie)

zapisują

uczniowie pod mnożeniem i pod

przestawieniem graficznym

mnożenia.

Przykłady zadań na mnożenie i

działanie odwrotne- dzielenie.

Np. Dzieci odrabiały lekcje. Nagle zgasło światło.

Mama postawiła 3 świeczniki i włożyła do

każdego po 2 świece i zapaliła. Ile świec zapaliła?

3 * 2 = 6

Np. Dzieci odrabiały lekcje. Nagle zgasło światło.

Mam przyniosła 6 świec, wstawiła po 2 do

każdego świecznika. Ile było świeczników?

6 : 3 = 6

Gdy dzieci zaczną dostrzegać

związki miedzy mieszczeniem i

mnożeniem nadszedł moment aby

wprowadzić podział.

Sposób opracowania tego przypadku dzielenia

praktycznego – podziału- przebiega podobnie

jak mieszczenia. Punktem wyjścia jest zadanie

na mnożenie, które dzieci przekształcają w

zadanie na mieszczenie a to z kolei wg

podanej przez nauczyciela formuły – w

zadanie na podział. Dzieci początkowo

kojarzą podział na równe części z czynnością

wykonywaną, a potem określoną słownie.

Chcąc przyspieszyć proces

abstrahowania mnożenia i dzielenia

jako działań wzajemnie odwrotnych

nauczyciel stosuje ćwiczenia

podobne jak przy opracowywaniu

związków dodawania z

odejmowaniem.

Przykłady:
1)Franek wyciął z kolorowego papieru

koguciki i nalepił je na 3 paskach

papieru po 5 na każdym pasku. Ile

kogucików wyciął?

3 * 5 = 15

2) Franek wyciął 15 kogucików z

kolorowego papieru i nalepił je po

równo na 3 jednakowych paskach

papieru. Po ile kogucików nalepił na

każdym pasku papieru?

15 : 3 = 5

3) Franek wyciął 15 kogucików z

kolorowego papieru i nalepił je po 5

na paskach papieru. Ile potrzebował

pasków papieru?

15 : 5 = 3

Podczas rozwiązywania działań na liczbach pojawia

się problem jak odczytać wynik: jako

mieszczenie (np. 24 podzielić po 8 jest 3),

czy jako

podział ( np. 24 podzielić 8 równych

części jest po 3).

Dzieci ukierunkowane przez

nauczyciela powinny dojść do wniosku, że bez

zadania tekstowego nie wiadomo jak odczytać

zapis dzielenia. Może on oznaczać zarówno

mieszczenie (dzielenie na równe części)

jak i

podział (dzielenie po kilka).

Dzieci odczuwają potrzebę innego

odczytywania dzielenia na samych liczbach,

niż gdy jest ono wzorem rozwiązywania

zadania tekstowego, dlatego przyjmą podaną

przez nauczyciela formułę „ 24 podzielić

przez 8 równa się 3” ze zrozumieniem.

WŁASNOŚCI

DZIAŁAŃ

MNOŻENIE

Prawo przemienności

Prawo przemienności

mnożenia

mnożenia

a

•

b = b

•

a

Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu

Slajd 4

W mnożeniu możemy zmieniać kolejność

czynników,

a iloczyn się nie zmieni.

Na przykład: 9 • 7 = 7 •

9

Prawo

łączności

mnożenia

a

•

(b

•

c) = (a

•

b)

•

c

Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu

Slajd 9

W mnożeniu kilku liczb możemy łączyć czynniki

w grupy,

a iloczyn się nie zmieni.

Na przykład:

6 • 2 • 5 = 6 • ( 2 • 5) = (6 • 2) •

5 = 60

Dla łatwiejszego obliczenia iloczynu

kilku liczb często wykorzystujemy

jednocześnie prawo przemienności i

łączności mnożenia.

Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu

Slajd 10

Na przykład:

4 • 9 • 25 = (4 • 25) • 9 = 100 • 9

= 900

Prawo rozdzielności

mnożenia względem

dodawania

a

•

(b +

c) = a

•

b

+ a

•

c

Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu

Slajd 19

Aby pomnożyć sumę przez daną liczbę,

możemy pomnożyć każdy składnik tej sumy

przez tę liczbę

i otrzymane iloczyny dodać.

Na przykład:

4 • (10 + 6) = 8 • 10 + 8 • 6 = 80

+ 48 = 128

ZERO W MNOŻENIU

ZERO W MNOŻENIU

a • 0 = 0 • a = 0

Jeżeli w mnożeniu jeden z czynników jest

zerem,

to iloczyn jest równy zeru.

Na przykład:

15 • 0 = 0, 3 • 0 • 6 • 5 = 0

Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu

Slajd 21

JEDYNKA W MNOŻENIU

a • 1 = 1 • a = 1

Jeżeli w mnożeniu dwóch czynników,

jeden z czynników jest równy 1,

to iloczyn równy jest drugiemu czynnikowi.

Na przykład:

39 • 1 = 39,

63 • 1 = 63,

3 • 8 • 1 = 3 • 8

Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu

Slajd 21

WŁASNOŚCI

DZIAŁAŃ

DZIELENIE

Prawo rozdzielności

dzielenia względem

dodawania.

Aby sumę podzielić przez liczbę różną od

zera, możemy każdy składnik tej sumy

podzielić przez liczbę i otrzymane ilorazy

dodać.

(a + b) : c = a : c + b : c    c różne od

0   

(54+18):9=.....

(42-24):6=.....

(63+21):7=.....

(63-42):7=.....

(45+15):3=.....

(72-56):8=.....

(72+32):8=.....

(100-24):4=.....

(36+48):12=.....

(99-33):11=.....

Zadanie 1

Oblicz stosując prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania i odejmowania:

 

Prawo rozdzielności

dzielenia względem

odejmowania.

Aby różnicę podzielić przez liczbę różną

od zera, możemy odjemną i odjemnik

podzielić przez tę liczbę i otrzymane

ilorazy odjąć.

(a - b) : c = a : c - b : c    c różne od 0

Dzielna o wartości

równej „0”

Jeżeli dzielna równa się zero, to

iloraz równa się zero:

0 : a = 0

Dzielenie przez zero

Dzielenie przez zero jest niewykonalne,

gdyż nie ma takiej liczby, która

pomnożona przez zero dałaby dzielną.

a : 0 =

Dzielnik o wartości

równej „1”

Jeżeli dzielnik jest równy 1, to iloraz jest

równy dzielnej.

a : 1 = a

Dzielna równa

dzielnikowi

Jeżeli dzielna jest równa dzielnikowi, to

iloraz jest równy 1.

a : a = 1

MNOŻENIE I

DZIELENIE W

ZAKRESIE TABELI

MNOŻENIA

W klasie drugiej przy powtarzaniu wiadomości

wyniesionych z klasy pierwszej wskazane jest

zaznajomienie dzieci z drugim mnogościowym

sposobem interpretowania mnożenia.

Zaczynamy od kombinatoryki. Mamy dwa zbiory: zbiór A

składający się z elementów a i zbiór B składający się z

elementów b mamy określić liczbę par, w których na

pierwszym miejscu stoją elementy zbioru B. liczba

wszystkich par jest iloczynem zbioru ab.

Na materiale powtórzeniowym poznają dzieci

klasy drugiej nazwy liczb w mnożeniu i

dzieleniu oraz własności mnożenia:

łączność i przemienność.

Tabele mnożenia i dzielenia opracowujemy

łącznie na zasadzie zachodzących miedzy tymi

działaniami zależności wzajemnie odwrotnych.

Zanim przystąpimy do rozszerzania tabeli

mnożenia i dzielenia do pełnego jej

wyczerpania, należy zmechanizować technikę

rachunkową tych działań w zakresie

przerobionym w klasie pierwszej. Posłużą one

za podstawę do opracowywania odnośnych

działań na większych liczbach przy stosowaniu

rozdzielności mnożenia i dzielenia względem

dodawania.

Na przykład liczbę

kratek w prostokącie

można obliczyć

różnymi sposobami.

Dzieci analizują

rysunek i zapisują

przedstawione na nim

sposoby mnożenia:

7 x 6 = (5+2) x 6 = 5 x 6 + 2 x 6 = 30

+12 =42

7 x 6 = 7 x (3+3) = 7 x 3 + 7 x 3 = 21 +

21 =42

7 x 6 = (4+3) x 6 = 4 x 6 + 3 x 6 =24 +

18 =42

Porównują podane sposoby

obliczania iloczynu i

wybierają łatwiejszy.

Posłużyły się tutaj

praktycznie, bez

teoretycznych uogólnień

prawem rozdzielności

mnożenia względem

dodawania w celu ułatwienia

obliczania iloczynu w

trudniejszych przypadkach

tabeli mnożenia

Tę samą sytuację możemy

zilustrować na osi liczbowej.

Po przerobieniu szeregu tego rodzaju ćwiczeń z

podręcznika zdobędą dzieci umiejętności posługiwania

się rozdzielnością przy obliczaniu iloczynu. W podobny

sposób opracowujemy analogicznie do mnożenia

przypadki dzielenia, posługując się rozdzielnością

dzielenie względem dodawania.

W klasie drugiej nie kładziemy nacisku na

zmechanizowanie mnożenia i dzielenia w zakresie tabeli

mnożenia, nastąpi to dopiero w klasie trzeciej. Tutaj

doprowadzimy do wprawy w obliczaniu iloczynu i ilorazu,

tzn. do umiejętności rachunkowych. Łączne

opracowywanie tych działań na zasadzie logicznych

związków między nimi doprowadzi niejako boczni, bez

specjalnych ćwiczeń pamięciowych, do sprawności

rachunkowych.

Z przemienności mnożenia będziemy korzystać w

ćwiczeniach techniki rachunkowej dopiero wtedy, gdy

dzieci już umieją obliczać iloczyn posługiwać się prawem

rozdzielności mnożenia względem dodawania. Unikniemy

w ten sposób wyłącznie pamięciowego przyswojenia

tabeli mnożenia i dzielenia zanim zdobędą dzieci

umiejętności samodzielnego obliczania iloczynu i ilorazu.

Dziękujemy

!

Notatka dla grupy:

MNOŻENIE, DZIELENIE ORAZ ICH WŁASNOŚCI

Gdy uczniowie posługują się liczbami w zakresie do 25

można zacząć zapoznawać ich z nowym działaniem- mnożeniem.
Mnożenie uczniowie klasy pierwszej poznają jako skrócone
dodawanie jednakowych składników. Początkowo mnożenie
wyrażone jest różnymi czynnościami fizycznymi. Zapisując
dodawaniem jednakowych składników i krócej mnożeniem,
odpowiadające im czynności, uczniowie zaczynają obejmować
poznanym działaniem- mnożeniem- ogół tych czynności. Dalsze
ćwiczenia służą do oderwania mnożenia od czynności materialnej.
Oderwanie się myślami ucznia od czynnościowego pojmowania
mnożenia dokonuje się łatwo i szybko z uwagi na wprowadzenie
tego działania z dodawania jednakowych składników.

W pierwszej klasie wprowadzenie dzielenia wykorzystujemy

do pogłębienia mnożenia i wykazania związku między tymi
działaniami. Dzielenie jest działaniem arytmetycznym stosunkowo
trudnym. Łączy ono dwa typy zagadnień: dzielenia „po kilka”, czyli
mieszczenia oraz dzielenia „na kilka równych części”, czyli podział.
Wprowadzając dzielenie należy wyjść od znanych uczniom
intuicyjnie dwóch przypadków dzielenia (mieszczenie i podział) i
stopniowo doprowadzać do abstrakcji i uogólnienia, to znaczy
dzielenia „przez”.

WŁASNOŚCI MNOŻENIA I DZIELENIA
Mnożenie liczb (iloczyn) a · b = c
Liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami (a, b), wynik mnożenia
to iloczyn (c).
Mnożenie oznaczamy symbolem kropki ·, czasami w miejsce kropki
używa się znaku krzyżyka ×.
Mnożenie liczb jest rozszerzeniem dodawania dla liczb naturalnych,
określonego jako:
a · b = a + a + ... + a,
gdzie a występuje b razy. Mnożenie jest więc dodawaniem tych
samych składników.

Własności:

• Liczba 1 jest elementem neutralnym w mnożeniu liczb:

a · 1 = a

• Przemienność mnożenia:

a · b = b · a

• Łączność mnożenia:

(a · b) · c = a · (b · c)

• Rozdzielność mnożenia względem dodawania:

a · (b + c) = a · b + a · c

Dzielenie liczb (iloraz)
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.
a : b = c, gdzie b ≠ 0
Liczbę, którą dzielimy nazywamy dzielną (a), liczba, przez
którą dzielimy to dzielnik (b). Wynik dzielenia to iloraz (c).
Dzielnik nie może być równy zero. Dzielenie przez zero jest
niewykonalne.
Symbol działania: :, /, ÷

Własności:

•Iloraz dwóch jednakowych liczb jest zawsze równy jeden:

a : a = 1

•Jeżeli dowolną liczbę podzielimy przez 1, to liczba ta nie
zmieni się:

a : 1 = a

•Jeżeli zero podzielimy przez dowolną liczbę, to wynik jest
równy zero.

0 : a = 0

• Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.
 

Jeżeli b ≠ 0, to a : b = c ⇔a = b · c