PRAWA LOGIKI

PRAWA LOGIKI

RACHUNKU ZDAŃ

RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

ZDAŃ

FUNKCJA LOGICZNA

FUNKCJA LOGICZNA
funkcja zdaniowa, która

zbudowana jest jedynie z stałych
logicznych i zmiennych

(zdaniowych lub nazwowych).

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

ZDAŃ

STAŁE LOGICZNE
to inaczej funktory

prawdziwościowe (spójniki).

ZMIENNE ZDANIOWE
oznaczane symbolami p, q, r, s …

reprezentują dowolne zdania w
sensie logicznym.

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

ZDAŃ

p . q

p . q

Wrocław leży nad Odrą i Warszawa

Wrocław leży nad Odrą i Warszawa

leży nad Wisłą.

leży nad Wisłą.

Wrocław leży nad Wisłą i Warszawa

Wrocław leży nad Wisłą i Warszawa

leży nad Odrą.

leży nad Odrą.

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

ZDAŃ

p .

p .

~

~

p

p

Franek zdał egzamin z logiki.

Franek zdał egzamin z logiki.

Franek zdał egzamin z logiki i

Franek zdał egzamin z logiki i

nieprawda, że Franek zdał

nieprawda, że Franek zdał

egzamin z logiki.

egzamin z logiki.

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

ZDAŃ

p → p

p → p

Wykładowca stoi przed ekranem.

Wykładowca stoi przed ekranem.

Wykładowca stoi przed ekranem →

Wykładowca stoi przed ekranem →

wykładowca stoi przed ekranem.

wykładowca stoi przed ekranem.

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

ZDAŃ

p → p

p → p

Wykładowca stoi na głowie.

Wykładowca stoi na głowie.

Wykładowca stoi na głowie →

Wykładowca stoi na głowie →

wykładowca stoi na głowie.

wykładowca stoi na głowie.

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

Wyrażenie „p → p” przy wszelkich

Wyrażenie „p → p” przy wszelkich

poprawnych wstawieniach za

poprawnych wstawieniach za

występującą w nim zmienną

występującą w nim zmienną

zdaniową przekształca się w zdanie

zdaniową przekształca się w zdanie

prawdziwe.

prawdziwe.

Wyrażenia takie nazywamy:

Wyrażenia takie nazywamy:

PRAWAMI LOGIKI RACHUNKU

PRAWAMI LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ.

ZDAŃ.

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

ZDAŃ

Franek śpi na wykładzie wtedy i tylko

Franek śpi na wykładzie wtedy i tylko

wtedy, gdy Franek śpi na wykładzie.

wtedy, gdy Franek śpi na wykładzie.

p ≡ p

p ≡ p

każde zdanie jest równoważne z

każde zdanie jest równoważne z

samym sobą

samym sobą

ZASADA TOŻSAMOŚCI

ZASADA TOŻSAMOŚCI

p p ≡ p

p p ≡ p

1 1

1 1

0 1

0 1

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

ZDAŃ

Kasia studiuje prawo wtedy i tylko

Kasia studiuje prawo wtedy i tylko

wtedy, gdy nie jest tak, że Kasia nie

wtedy, gdy nie jest tak, że Kasia nie

studiuje prawa.

studiuje prawa.

p ≡ ~ ~ p

p ≡ ~ ~ p

każde zdanie jest równoważne negacji

każde zdanie jest równoważne negacji

swojej negacji

swojej negacji

ZASADA PODWÓJNEGO PRZECZENIA

ZASADA PODWÓJNEGO PRZECZENIA

p ~ p p ≡ ~ ~ p

p ~ p p ≡ ~ ~ p

1 0 1

1 0 1

0 1 1

0 1 1

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

~ (p . ~ p)

~ (p . ~ p)

Nie jest tak, że (Wrocław leży nad Odrą i

Nie jest tak, że (Wrocław leży nad Odrą i

Wrocław nie leży nad Odrą.

Wrocław nie leży nad Odrą.

Nie jest tak, że (Franek śpi na wykładzie i

Nie jest tak, że (Franek śpi na wykładzie i

Franek nie śpi na wykładzie)

Franek nie śpi na wykładzie)

p ~ p ~ (p . ~ p)

p ~ p ~ (p . ~ p)

1 0 1

1 0 1

0 1 1

0 1 1

dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba

dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba

prawdziwe

prawdziwe

ZASADA SPRZECZNOŚCI

ZASADA SPRZECZNOŚCI

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

p v ~ p

p v ~ p

Staś zdał egzamin z prawa rzymskiego lub Staś

Staś zdał egzamin z prawa rzymskiego lub Staś

nie zdał egzaminu z prawa rzymskiego

nie zdał egzaminu z prawa rzymskiego

Franek zdał egzamin z logiki lub Franek nie

Franek zdał egzamin z logiki lub Franek nie

zdał egzaminu z logiki

zdał egzaminu z logiki

p ~ p p v ~ p

p ~ p p v ~ p

1 0 1

1 0 1

0 1 1

0 1 1

dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba

dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba

fałszywe

fałszywe

ZASADA WYŁĄCZONEGO ŚRODKA

ZASADA WYŁĄCZONEGO ŚRODKA

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p → ~ p) → ~ p

(p → ~ p) → ~ p

Jeśli (jeżeli Łódź jest stolicą Polski, to Łódź

Jeśli (jeżeli Łódź jest stolicą Polski, to Łódź

nie jest stolicą Polski), to Łódź nie jest

nie jest stolicą Polski), to Łódź nie jest

stolicą Polski

stolicą Polski

p ~ p (p → ~ p) (p → ~ p) → ~ p

p ~ p (p → ~ p) (p → ~ p) → ~ p

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 1 1

jeżeli dane zdanie implikuje swoją negację,

jeżeli dane zdanie implikuje swoją negację,

to ta negacja owego zdania jest

to ta negacja owego zdania jest

prawdziwa

prawdziwa

PRAWO REDUKCJI DO ABSURDU

PRAWO REDUKCJI DO ABSURDU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p . q) → p

(p . q) → p

Jeśli Wrocław leży nad Odrą i Opole leży nad

Jeśli Wrocław leży nad Odrą i Opole leży nad

Odrą, to Wrocław leży nad Odrą.

Odrą, to Wrocław leży nad Odrą.

p q (p . q) (p . q) → p

p q (p . q) (p . q) → p

1 1 1 1

1 1 1 1

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

0 0 0 1

koniunkcja dwóch zdań implikuje pierwsze z

koniunkcja dwóch zdań implikuje pierwsze z

tych zdań

tych zdań

PRAWO SYMPLIFIKACJI

PRAWO SYMPLIFIKACJI

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p . q) ≡ (q . p)

(p . q) ≡ (q . p)

Jaskółki są ptakami i niedźwiedzie są ssakami

Jaskółki są ptakami i niedźwiedzie są ssakami

wtedy i tylko wtedy, gdy niedźwiedzie są

wtedy i tylko wtedy, gdy niedźwiedzie są

ssakami i jaskółki są ptakami

ssakami i jaskółki są ptakami

p q (p . q) (q . p) (p . q) ≡ (q . p)

p q (p . q) (q . p) (p . q) ≡ (q . p)

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1

koniunkcja pierwszego zdania i drugiego zdania

koniunkcja pierwszego zdania i drugiego zdania

jest równoważna koniunkcji drugiego zdania i

jest równoważna koniunkcji drugiego zdania i

pierwszego zdania

pierwszego zdania

PRAWO PRZEMIENNOŚCI KONIUNKCJI

PRAWO PRZEMIENNOŚCI KONIUNKCJI

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

p → (p v q)

p → (p v q)

Jeżeli Marcin idzie na wykład, to Marcin idzie

Jeżeli Marcin idzie na wykład, to Marcin idzie

na wykład lub Michał idzie na wykład.

na wykład lub Michał idzie na wykład.

p q (p v q) p → (p v q)

p q (p v q) p → (p v q)

1 1 1 1

1 1 1 1

1 0 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

0 0 0 1

0 0 0 1

każde zdanie implikuje alternatywę, której jest

każde zdanie implikuje alternatywę, której jest

składnikiem

składnikiem

PRAWO ADDYCJI

PRAWO ADDYCJI

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p v q) ≡ (q v p)

(p v q) ≡ (q v p)

Staś jest studentem lub Jaś jest studentem

Staś jest studentem lub Jaś jest studentem

wtedy i tylko wtedy, gdy Jaś jest studentem

wtedy i tylko wtedy, gdy Jaś jest studentem

lub Staś jest studentem.

lub Staś jest studentem.

p q (p v q) (q v p) (p v q) ≡ (q v p)

p q (p v q) (q v p) (p v q) ≡ (q v p)

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 0 1 1 1

0 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1

alternatywa pierwszego zdania i drugiego

alternatywa pierwszego zdania i drugiego

zdania jest równoważna alternatywie

zdania jest równoważna alternatywie

drugiego zdania i pierwszego zdania

drugiego zdania i pierwszego zdania

PRAWO PRZEMIENNOŚCI ALTERNATYWY

PRAWO PRZEMIENNOŚCI ALTERNATYWY

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

~ (p . q) ≡ (~ p v ~ q)

~ (p . q) ≡ (~ p v ~ q)

Nie jest tak, że Maria jest prawnikiem i Maria jest

Nie jest tak, że Maria jest prawnikiem i Maria jest

lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Maria nie jest

lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Maria nie jest

prawnikiem lub Maria nie jest lekarzem.

prawnikiem lub Maria nie jest lekarzem.

p q ~ (p . q) (~ p v ~ q) ~ (p. q) ≡ (~ p v

p q ~ (p . q) (~ p v ~ q) ~ (p. q) ≡ (~ p v

~q)

~q)

1 1 0 0 1

1 1 0 0 1

1 0 1 1 1

1 0 1 1 1

0 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 1 1 1

negacja koniunkcji zdań jest równoważna

negacja koniunkcji zdań jest równoważna

alternatywie negacji tych zdań

alternatywie negacji tych zdań

PIERWSZE PRAWO DE MORGANA

PIERWSZE PRAWO DE MORGANA

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

~ (p v q) ≡ (~ p . ~ q)

~ (p v q) ≡ (~ p . ~ q)

Nie jest tak, że Bolek jest posłem lub Maciek jest

Nie jest tak, że Bolek jest posłem lub Maciek jest

senatorem wtedy i tylko wtedy, gdy Bolek nie

senatorem wtedy i tylko wtedy, gdy Bolek nie

jest posłem i Maciek nie jest senatorem.

jest posłem i Maciek nie jest senatorem.

p q ~ (p v q) (~ p . ~ q) ~ (p v q) ≡ (~ p .

p q ~ (p v q) (~ p . ~ q) ~ (p v q) ≡ (~ p .

~ q)

~ q)

1 1 0 0 1

1 1 0 0 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 1 1

0 0 1 1 1

negacja alternatywy zdań jest równoważna

negacja alternatywy zdań jest równoważna

koniunkcji negacji tych zdań

koniunkcji negacji tych zdań

DRUGIE PRAWO DE MORGANA

DRUGIE PRAWO DE MORGANA

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

[ (p → q) . p ] → q

[ (p → q) . p ] → q

Jeśli [(jeżeli pada deszcz, to jest mokro) i pada

Jeśli [(jeżeli pada deszcz, to jest mokro) i pada

deszcz], to jest mokro.

deszcz], to jest mokro.

p

p

q (p → q) [ (p → q) . p ] [ (p → q) . p ] → q

q (p → q) [ (p → q) . p ] [ (p → q) . p ] → q

1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1

0 0 0 1

0 0 0 1

0

0

1 1 0 1

1 1 0 1

0

0

0 1 0 1

0 1 0 1

gdy jedno zdanie implikuje drugie i jest tak, jak

gdy jedno zdanie implikuje drugie i jest tak, jak

stwierdza pierwsze zdanie, to jest też tak, jak

stwierdza pierwsze zdanie, to jest też tak, jak

stwierdza drugie zdanie

stwierdza drugie zdanie

MODUS PONENDO PONENS

MODUS PONENDO PONENS

(sposób przez potwierdzenie potwierdzający)

(sposób przez potwierdzenie potwierdzający)

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

[ (p → q) . ~ q ] → ~ p

[ (p → q) . ~ q ] → ~ p

Jeśli [(jeżeli Bolek zdał egzamin z logiki, to Franek

Jeśli [(jeżeli Bolek zdał egzamin z logiki, to Franek

zdał egzamin z logiki) i Franek nie zdał egzaminu

zdał egzamin z logiki) i Franek nie zdał egzaminu

z logiki], to Bolek nie zdał egzaminu z logiki

z logiki], to Bolek nie zdał egzaminu z logiki

p

p

q (p → q) [(p → q) . ~ q] [(p → q) . ~ q ] → ~ p

q (p → q) [(p → q) . ~ q] [(p → q) . ~ q ] → ~ p

1

1

1 1 0 1

1 1 0 1

1

1

0 0 0 1

0 0 0 1

0

0

1 1 0 1

1 1 0 1

0

0

0 1 1 1

0 1 1 1

gdy jedno zdanie implikuje drugie i nie jest tak, jak

gdy jedno zdanie implikuje drugie i nie jest tak, jak

stwierdza drugie zdanie, to nie jest tak, jak

stwierdza drugie zdanie, to nie jest tak, jak

stwierdza pierwsze zdanie

stwierdza pierwsze zdanie

MODUS TOLLENDO TOLLENS

MODUS TOLLENDO TOLLENS

(sposób przez zaprzeczenie zaprzeczający)

(sposób przez zaprzeczenie zaprzeczający)

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

[ (p v q) . ~ p ] → q

[ (p v q) . ~ p ] → q

Jeśli [(Bolek zdał egzamin z logiki lub Franek

Jeśli [(Bolek zdał egzamin z logiki lub Franek

zdał egzamin z logiki) i Bolek nie zdał

zdał egzamin z logiki) i Bolek nie zdał

egzaminu z logiki], to Franek zdał egzaminu z

egzaminu z logiki], to Franek zdał egzaminu z

logiki.

logiki.

p q (p v q)[ (p v q) . ~ p ] [ (p v q) . ~ p ] → q

p q (p v q)[ (p v q) . ~ p ] [ (p v q) . ~ p ] → q

1 1 1 0 1

1 1 1 0 1

1 0 1 0 1

1 0 1 0 1

0 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 0 0 1

0 0 0 0 1

gdy prawdziwa jest alternatywa dwóch zdań i

gdy prawdziwa jest alternatywa dwóch zdań i

jedno z nich jest nieprawdziwe, to drugie jest

jedno z nich jest nieprawdziwe, to drugie jest

prawdziwe

prawdziwe

MODUS TOLLENDO PONENS

MODUS TOLLENDO PONENS

(sposób przez zaprzeczenie potwierdzający)

(sposób przez zaprzeczenie potwierdzający)

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

[ (p / q) . p ] → ~ q

[ (p / q) . p ] → ~ q

Jeśli (bądź Bolek zdał egzamin z logiki bądź

Jeśli (bądź Bolek zdał egzamin z logiki bądź

Franek zdał egzamin z logiki i Bolek zdał

Franek zdał egzamin z logiki i Bolek zdał

egzaminu z logiki), to Franek nie zdał

egzaminu z logiki), to Franek nie zdał

egzaminu z logiki.

egzaminu z logiki.

p q (p / q) [(p / q) . p ] [ (p / q) . p ] → ~ q

p q (p / q) [(p / q) . p ] [ (p / q) . p ] → ~ q

1 1 0 0 1

1 1 0 0 1

1 0 1 1 1

1 0 1 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

0 0 1 0 1

gdy prawdziwa jest dysjunkcja i jedno z jej zdań

gdy prawdziwa jest dysjunkcja i jedno z jej zdań

składowych, to drugie jest fałszywe

składowych, to drugie jest fałszywe

MODUS PONENDO TOLLENS

MODUS PONENDO TOLLENS

(sposób przez potwierdzenie zaprzeczający)

(sposób przez potwierdzenie zaprzeczający)

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

~ p → (p → q)

~ p → (p → q)

Jeśli Wenecja nie jest stolicą Włoch, to

Jeśli Wenecja nie jest stolicą Włoch, to

(jeżeli Wenecja jest stolicą Włoch, to

(jeżeli Wenecja jest stolicą Włoch, to

Ania jest matką Kasi).

Ania jest matką Kasi).

p q ~ p (p → q) ~ p → (p → q)

p q ~ p (p → q) ~ p → (p → q)

1 1 0 1 1

1 1 0 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 1 1 1

gdy dane zdanie jest fałszywe, to

gdy dane zdanie jest fałszywe, to

implikuje ono dowolne zdanie

implikuje ono dowolne zdanie

PRAWO DUNSA SZKOTA

PRAWO DUNSA SZKOTA

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p → q) → (~ q → ~ p)

(p → q) → (~ q → ~ p)

Jeśli (jeżeli słońce świeci, to jest dzień), to

Jeśli (jeżeli słońce świeci, to jest dzień), to

(jeżeli nie ma dnia, to nie świeci słońce).

(jeżeli nie ma dnia, to nie świeci słońce).

p q (p → q) (~ q → ~ p) (p → q) → ( ~ q → ~

p q (p → q) (~ q → ~ p) (p → q) → ( ~ q → ~

p)

p)

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 1 1 1

gdy jedno zdanie implikuje drugie, to

gdy jedno zdanie implikuje drugie, to

negacja drugiego zdania implikuje

negacja drugiego zdania implikuje

negację pierwszego zdania

negację pierwszego zdania

PRAWO TRANSPOZYCJI

PRAWO TRANSPOZYCJI

Metoda zero-jedynkowa

polega

na skonstruowaniu swoistej tabelki.

W konstruowaniu tabelki można wyróżnić trzy etapy:

- ustalenie poszczególnych kolumn tabelki;

- ustalenie ilości rzędów i wypełnienie kolumn dla poszczególnych
zmiennych;

- wypełnienie pozostałych kolumn tabelki w oparciu o matryce
poszczególnych spójników.

METODA ZERO-JEDYNKOWA

METODA ZERO-JEDYNKOWA

(p . q) → p

(p . q) → p

Pierwszy etap:

Pierwszy etap:

- ustalenie

- ustalenie

poszczególnych

poszczególnych

kolumn tabelki

kolumn tabelki

p

p

q

q

(p .

(p .

q)

q)

(p . q) → p

(p . q) → p

METODA ZERO-JEDYNKOWA

METODA ZERO-JEDYNKOWA

Drugi etap:

Drugi etap:

- ustalenie ilości

- ustalenie ilości

rzędów i

rzędów i

wypełnienie

wypełnienie

kolumn dla

kolumn dla

poszczególnych

poszczególnych

zmiennych

zmiennych

p

p

q

q

(p .

(p .

q)

q)

(p . q) →

(p . q) →

p

p

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

METODA ZERO-JEDYNKOWA

METODA ZERO-JEDYNKOWA

Trzeci etap:

Trzeci etap:

-

wypełnienie

wypełnienie

pozostałych

pozostałych

kolumn tabelki w

kolumn tabelki w

oparciu o

oparciu o

matryce

matryce

poszczególnych

poszczególnych

spójników

spójników

p

p

q

q

(p .

(p .

q)

q)

(p . q) →

(p . q) →

p

p

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

METODA ZERO-JEDYNKOWA

METODA ZERO-JEDYNKOWA

INNY PRZYKŁAD:

INNY PRZYKŁAD:

[ p v (q

[ p v (q

.

.

r) ] → r

r) ] → r

Pierwszy etap:

Pierwszy etap:

ustalenie

ustalenie

poszczególnych

poszczególnych

kolumn tabelki

kolumn tabelki

p

p

q

q

r

r

(q .

(q .

r)

r)

IvI

IvI

V

V

V→III

V→III

I

I

II

II

II

II

I

I

IV

IV

V

V

VI

VI

METODA ZERO-JEDYNKOWA

METODA ZERO-JEDYNKOWA

Drugi etap:

Drugi etap:

ustalenie ilości rzędów i

ustalenie ilości rzędów i

wypełnienie kolumn dla

wypełnienie kolumn dla

poszczególnych zmiennych

poszczególnych zmiennych

METODA ZERO-JEDYNKOWA

METODA ZERO-JEDYNKOWA

p

p

q

q

r

r

(q . r)

(q . r)

I v IV

I v IV

V → III

V → III

I

I

II

II

III

III

IV

IV

V

V

VI

VI

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

METODA ZERO-JEDYNKOWA

METODA ZERO-JEDYNKOWA

Trzeci etap:

Trzeci etap:

wypełnienie pozostałych kolumn

wypełnienie pozostałych kolumn

tabelki w oparciu o matryce

tabelki w oparciu o matryce

poszczególnych spójników

poszczególnych spójników

METODA ZERO-JEDYNKOWA

METODA ZERO-JEDYNKOWA

p

p

q

q

r

r

(q . r)

(q . r)

I v IV

I v IV

V → III

V → III

I

I

II

II

III

III

IV

IV

V

V

VI

VI

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1