Logika Podział zbiorów 3 grud 2010
1. Podział zbiorów
Wymóg rozłączności
Jest spełniony kiedy dwa dowolne podzbiory wzajemnie się wykluczają.
2. Wymóg adekwatności
Wymóg zupełności jest spełniony kiedy suma wszystkich wyróżnionych podzbiorów jest identyczna ze zbiorem z którego wyróżniono te podzbiory.
Zbiór z którego wyróżnia się podzbiory [cośtam] a wyróżnione podzbiory to człony podziału. Wyróżniamy kilka typów podziałów zbiorów:
Podział nieskończony i skończony (określona liczba elementów tego zbioru)
Podział wedle pewnej zasady (podział na płcie i ze względu na kolor włosów).
muszą zostać uwzględnione wszystkie odmiany danej cechy (spełniony gdy wymienione są wszystkie elementy)
cecha, która stanowi podstawę podziału musi przysługiwać wszystkim elementów dzielonego wzoru
żaden element dzielonego wzoru nie posiada dwóch odmian cechy
gdzie: a i b - wymóg adekwatności c - wymóg rozłączności
Podział dychotomiczny (wyróżniamy w zbiorze dzielonym człon składającym się z elementów zawierających pewną cechę i człon składający się z pozostałych elementów (np. studiujący i niestudi) Wymóg rozłączności i adekwatności jest gwarantowany przez prawa logiczne
Zasada wyłączonego środka:
p \/~ p (p lub nie p)
Zasada sprzeczności:
~ (p /\ ~p) (nie jest tak, że jednocześnie p i nie p)
Logika 3 grud 2010
2. Pojęcie zdania i rachunek zdań
Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe. Prawda i fałsz to tzw. wartości logiczne (inaczej, zdaniem w sensie logicznym określamy wyrażenie, które ma wartość logiczną).
Np. 24 grudnia 2010 roku temp w Warszawie będzie wynosiła -10
Pytania i rozkazy nie mają wartości logicznej, ponieważ nie można przypisać im prawdy i fałszu.
Jest takie wyrażenie za które wolno wstawić dowolne zdanie [cośtam].
Czyli, jeśli w pewnym wyrażeniu mamy kilka różnych zmiennych zdaniowych to za każdą z nich wolno wstawić dowolne zdanie. Natomiast jeśli jedna zmienna występuje w danym wyrażeniu kilka razy to nie wolno w jej miejsce wstawiać różnych zdań.
Krzysztof studiuje kulturoznawstwo lub Anna studiuje historię ( p v r)
\/ /\ - prawdziwościowe spójniki zdania. Są to takie wyrażenia, które łączą dwa zdania albo łączą się tylko z jednym zdaniem tworząc zdania złożone, których wartość logiczna zależy jedynie od wartości logicznej zdań łączonych.
~ - spójnik negacji tworzy zdania prawdziwe gdy następują po nich zdania fałszywe, a zdania fałszywe gdy następują po zdaniach prawdziwa.
/\ - spójnik koniunkcji tworzy zdanie prawdziwe tylko wtedy kiedy oba połączone zdania są zdaniami prawdziwymi
p \/ r - spójnik alternatywy jest spójnikiem prawdziwościowym w trzech układach:
1. Kiedy pojawia się jako wyrażenie co najmniej jedno z dwojga. Zawsze wtedy tworzy zdania prawdziwe z wyjątkiem gdy łączy oba zdania fałszywe
2. Gdy pojawia się jako wyrażenie co najwyżej jedno z dwojga. Wówczas tworzy zdania prawdziwe zawsze z wyjątkiem sytuacji gdy są dwa zdania prawdziwe.
3. Gdy pojawia się jako wyrażenie dokładnie jedno z dwojga. Wówczas tworzy zdania prawdziwe tylko wtedy gdy jedno zdanie jest prawdziwe a drugie fałszywe.
Spójniki prawdziwościowe noszą nazwę funktorów ekstensjonalne co znaczy, że posiadają taką właściwość, która pozwala stwierdzić, że wartość logiczna stworzona przy ich użyciu zdań zależy tylko i wyłącznie od wartości logicznej tworzących jej wyrażeń.
Spójniki nieprawdziwościowe czyli tzw. Funktory intensjonalne. Odznaczają się tym, że wartość logiczna stworzona przy ich użyciu zdań nie zależy tylko od wartości logicznej zdań składowych lecz także od ich treści.
Spójniki prawdziwościowe przypominają nam znaki działań algebraicznych co znaczy, że jeśli znamy wartość logiczną poszczególnych zdań składowych, możemy obliczyć wartość całego zdania. Na tym polega rachunek zdania.
3. Rachunek zdań
W logice formalnej wprowadza się specjalne symbole spójników, którym przypisuje się konkretne znaczenia pozwalające doprecyzować potoczne użycie tych spójników.
Symbol |
Schemat zdań |
Sposób czytania |
Nazwa zdania złożonego |
~ |
~p |
nie jest prawdą że p |
negacja |
/\ |
p /\ r |
p i r |
koniunkcja |
\/ |
p \/ r |
p lub r |
alternatywa |
→ |
p → r |
jeśli p to r |
implikacja |
≡ |
p ≡ r |
p wtedy i tylko wtedy gdy r |
równoważność |
Zwróć uwagę na kolejność, które tworzą zdania złożone
Nieprawda, że Jan jechał prawidłowo i został ukarany
~(p /\ r) (~p) /\ r
Funktory prawdziwościowe są przedstawiane za pomocą tzw. matryc logicznych. Są to tabele, które pokazują, w jaki sposób wartość logiczna funkcji zdaniowej zależy od wartości logicznej jej argumentów.
Matryce
MATRYCA NEGACJI
p |
q |
1 |
0 |
0 |
1 |
Negacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy jej argument jest fałszywy i odwrotnie gdy argument jest prawdziwy.
Zdanie zanegowane, czyli dołączone do spójnika negacji
jako jego argument wraz z negacją czyli zdaniem powstałym po zanegowaniu tamtego zdania tworzą zdania wzajemnie sprzeczne.
MATRYCA KONIUNKCJI
p |
q |
p/\q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy oba argumenty są prawdziwe a fałszywa gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest fałszywy.
MATRYCA ALTERNATYWY
p |
q |
p\/q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Alternatywa jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest prawdziwy.
MATRYCA IMPLIKACJI
W przypadku implikacji istotna jest kolejność argumentów
P - poprzednik implikacji
Q - następnik implikacji
p |
q |
p→q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik jest fałszywy.
Z tej implikacji wynika, że zawsze gdy poprzednik jest fałszywy niezależnie od następnika implikacja jest prawdziwa i jednocześnie zawsze prawdziwa
jest implikacja o prawdziwym następniku
niezależnie od poprzednika.
Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy jej poprzednik jest fałszywy lub jej następnik jest prawdziwy. P → q ≡ ~p \/ q
MATRYCA RÓWNOWAŻNOŚCI
p |
q |
p≡q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Prawdziwa tylko gdy oba jej człony mają taką samą wartość logiczną.
ALTERNATYWA ROZŁĄCZNA
p |
q |
p\/q |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy jej argumenty mają różną wartość logiczną a fałszywa gdy mają taką samą wartość.
P \/ q = ~(p=q)
MATRYCA DYSJUNCJI
p |
q |
p \ q |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy oba jej człony są prawdziwe w pozostałych xx jest prawdziwa.
Dysjunkcja jest xx
Funktor łącznej negacji (ani p ani q)
Łączna negacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy obydwa jej argumenty są fałszywe natomiast jest fałszywa gdy przynajmniej jeden z argumentów jest prawdziwy.
Celem logiki jest wyznaczenie zdań logicznie prawdziwych.
Aby tego dokonać:
1. przyporządkowuje się zdaniom ich formy logiczne
2. ustala się, które z tych zdań są tautologiami logicznymi, czyli formami zdań logicznie prawdziwych.
Można więc powiedzieć, że prawdziwe jest każde zdanie reprezentowane przez schemat prawdziwościowy pod który można wstawić dane zdanie.
Prawo tautologiczne są to zdania zawsze prawdziwe (?). Te prawa logiczne są podstawą niezawodności pewnych rozumowań np, wnioskowanie.
Metoda Zerojedynkowa:
Dokonujemy przy pomocy tabeli, która pokazuje jaką wartość logiczną ma zdanie, które powstało z badanego przez nas wyrażenia przy określonej wartości logicznej zdań wstawionych za zmienne zdaniowe.
~( p /\ q ) ≡ ~ p \/ ~ q
p |
q |
~p |
~q |
p/\q |
~(p/\q) |
~p\/~q |
Całość |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Ćwiczenia ↓
Sprawdź następujące zdania:
p \/ q → ( p → ~ q)
p |
q |
~p |
p\/q |
p →~q |
Całość |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
[( p → q ) /\ p] → q
p |
q |
p→q |
(p→q)/\p |
Całość |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
(p → q) → (~q → ~p)
p |
q |
~q |
~p |
p→q |
~q→~p |
Całość |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
[(p→r) /\ (q → r) /\ (p \/ q)] → r
p |
q |
r |
p→q |
p→r |
q→r |
(p→r)/\(q→r) |
A |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5