Automatyzacja w

Automatyzacja w

klimatyzacji i

klimatyzacji i

ciepłownictwie

ciepłownictwie

Wykład 2

Wykład 2

Jan Syposz

Obiekty regulacji

Obiekty regulacji

Układ regulacji

Układ regulacji

Obiekt w układzie regulacji

obiekt regulacji

w

e

u

y

y

y

m

z

regulator

urządzenie

wykonawcze

obiekt

regulacji

element

pomiarowy

_

Obiekt regulacji

Obiekt regulacji

Obiektem regulacji może być urządzenie, zespół

urządzeń lub proces technologiczny, w którym w

wyniku zewnętrznych oddziaływań realizuje się

pożądany algorytm działania.
Na obiekt regulacji oddziałują:
-

zmienne

wejściowe

nazywane

sygnałami

nastawiającymi

u

,

-

zmienne

szkodliwe

nazywane

sygnałami

zakłócającymi

z

,

Na wyjściu z obiektu regulacji otrzymujemy sygnały

wyjściowe nazywane:

zmiennymi regulowanymi y

.

Obiekty regulacji

Obiekty regulacji

Do

prawidłowego

zaprojektowania

układu

regulacji niezbędna jest znajomość właściwości

obiektów

regulacji,

to

znaczy

zależności

pomiędzy

wielkościami

wejściowymi

i

wyjściowymi.

Stany ustalone

, w których wielkości te pozostają

niezmienne

w

czasie

określa

się

charakterystykami statycznymi,

Stany nieustalone

(wielkości zmienne w czasie)

opisywane są przy pomocy charakterystyk

dynamicznych.
Charakterystyki te można wyznaczyć analitycznie

lub doświadczalnie.

Metody wyznaczania

Metody wyznaczania

charakterystyk statycznych

charakterystyk statycznych

• Metoda analityczna polega na graficznym

przedstawieniu

zależności

między

sygnałem

wejściowym i wyjściowym

y = f(x), przy

wykorzystaniu matematycznego opisu procesów

fizycznych zachodzących w obiekcie.

• Metoda doświadczalna polega na wprowadzaniu

do rzeczywistego układu kolejnych, niezmiennych w

czasie, wartości sygnału wejściowego x

1

do x

n

oraz

pomiarze odpowiadających im wartości sygnału na

wyjściu y

1

do y

n

. Po uzyskaniu odpowiedniej ilości par

(x,y) nanosi się je na wykres współrzędnych,

aproksymuje

otrzymując

w

ten

sposób

charakterystykę statyczną obiektu.

Przykładowa charakterystyka

Przykładowa charakterystyka

statyczna obiektu regulacji

statyczna obiektu regulacji

• Charakterystyki statyczne: a – zaworu regulacyjnego

(stałoprocentowa), b – wymiennika ciepła, c –
wymiennika ciepła wraz z zaworem regulacyjnym
(obiekt regulacji)

• Charakterystyki te wykorzystano przy opracowywaniu zasad doboru

zaworów regulacyjnych !

h/h

s

m

h

a

m/m

s

Q/Q

s

m

Q

b

h/h

s

h

Q/Q

s

m

Q/Q

s

m/m

s

Charakterystyki dynamiczne

Charakterystyki dynamiczne

obiektów regulacji

obiektów regulacji

• Charakterystykę dynamiczną elementu lub

układu otrzymuje się jako odpowiedź sygnału

wyjściowego y(τ) na wymuszenie w postaci

zmiennego w czasie sygnału wejściowego x(τ).

Przed podaniem wymuszenia sygnały x(τ) i

y(τ) są w stanie ustalonym. Po podaniu

wymuszenia i upływie odpowiednio długiego

czasu układ ponownie znajdzie się w stanie

ustalonym. Charakterystyka dynamiczna jest

funkcją

przejścia

(transmitancją)

pomiędzy dwoma stanami ustalonymi.

Analityczne wyznaczenie

Analityczne wyznaczenie

charakterystyki dynamicznej

charakterystyki dynamicznej

Analityczne wyznaczenie funkcji przejścia

wymaga rozwiązania równania różniczkowego,

opisującego model układu.
W przypadku układów opisanych równaniami

różniczkowymi

liniowymi

powszechnie

wykorzystywane są

metody operatorowe

.

Idea tej metody polega na:

znalezieniu przekształcenia, które pozwala

zastąpić

równania

różniczkowo-całkowe

zwykłymi równaniami algebraicznymi

.

Najczęściej stosowanym narzędziem

matematycznym jest

przekształcenie Laplace’a

.

Transmitancja

Transmitancja

• Transmitancja (funkcja przejścia) jest definiowana jako

stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego
(funkcji odpowiedzi) do transformaty Laplace’a sygnału
wejściowego (funkcji wymuszającej), przy założeniu, że
wszystkie warunki początkowe są zerowe.

• Transmitancja

operatorowa

jest

szeroko

wykorzystywana w analizie i projektowaniu układów
automatycznej

regulacji.

Znając

transmitancję

operatorową układu, można wyznaczyć odpowiedź
układu y(t) na dowolne wymuszenie x(t) na wejściu do
układu

Transmitancja

Transmitancja

Jeżeli zależność pomiędzy sygnałem wyjściowym i
wejściowym układu liniowego opiszemy przy pomocy
równania różniczkowego o stałych współczynnikach,
przy czym n≥m,

dokonując przekształceń Laplace’a obydwu stron
równania

u

b

dt

u

d

b

dt

u

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

o

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

1

1

1

...

...













































































u

b

dt

u

d

b

dt

u

d

b

L

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

L

m

m

m

m

m

m

o

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

1

1

1

...

...

Transmitancja

Transmitancja

• otrzymamy równanie w postaci:

•

• Stosownie do przyjętej definicji transmitancji, jako

stosunku transformaty Laplace’a sygnału
wyjściowego (funkcji odpowiedzi) do transformaty
sygnału wejściowego (funkcji wymuszającej),









)

(

...

)

(

...

0

1

1

1

0

1

1

1

s

U

b

s

b

s

b

s

b

s

Y

a

s

a

s

a

s

a

m

m

m

m

n

n

n

n



























 

 

)

(

)

(

)

(

s

U

s

Y

u

L

y

L

s

G





Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa

• Po przekształceniach równania otrzymamy wymierną

funkcję zmiennej zespolonej {s} nazywaną
transmitancją operatorową

0

1

1

1

0

1

1

1

...

...

)

(

)

(

)

(

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

U

s

Y

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m





























Transmitancja

Transmitancja

W praktyce stosuje się przekształcenie powyższego wzoru do postaci

zawierającej następujące parametry:

• współczynnik wzmocnienia

K

,

• stałe czasowe (zastępcze stałe czasowe):

T, Tz

,

• czas opóźnienia (liczba tłumienia):

Tt, To,

• zmienną zespoloną {

s

}, (s=b+jω),

Transmitancja przykładowego obiektu regulacji (obiekt inercyjny

wyższego rzędu)

0

1

1

1

0

1

1

1

...

...

)

(

)

(

)

(

a

s

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

b

s

U

s

Y

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m





























0

sT

-

e

1

)

(









s

T

K

s

G

z

Doświadczalne metody

Doświadczalne metody

wyznaczania charakterystyk

wyznaczania charakterystyk

dynamicznych

dynamicznych

• Doświadczalne metody identyfikacji stosowane są

w przypadku niedostatecznej znajomości zjawisk
zachodzących w obiekcie regulacji.

• Najczęściej

jest

stosowana

metoda

oceny

transmitancji obiektu na podstawie odpowiedzi na
wymuszenie skokowe nazywana charakterystyką
skokową.

• Metoda

umożliwia

proste

wyznaczenie

współczynnika

wzmocnienia

obiektu

statycznego, równego stosunkowi wartości ustalonej
odpowiedzi skokowej do wartości sygnału wejściowego

u

y

K







Przykład doświadczalnego sposobu

Przykład doświadczalnego sposobu

sporządzania charakterystyki

sporządzania charakterystyki

skokowej

skokowej

• Metoda rejestracji odpowiedzi obiektu regulacji

(temperatury

powietrza

w

ogrzewanym

pomieszczeniu) na wymuszenie skokowe

2

τ

u

Δu

t

i

τ

T

t

i

=f(τ)

))

odpowiedź skokowa

wymuszenie skokowe

3

z

4

1

z

5

z

1

z

2

z

3

y=t

i

Charakterystyki skokowe

Charakterystyki skokowe

• Uzyskana eksperymentalnie odpowiedź obiektu

regulacji (temperatury powietrza w ogrzewanym
pomieszczeniu) na wymuszenie skokowe

.

u,
(h)

Δu = Δh

y, (t

i

)

τ

τ

τ

0

Δy = Δt

i

T

0

T

z

u

y

K







0

sT

-

e

1

)

(









s

T

K

s

G

z

Inercyjny kształt odpowiedzi

Inercyjny kształt odpowiedzi

skokowej

skokowej

•

Kształt odpowiedzi obiektu regulacji na wymuszenie

skokowe można zrozumieć analizując przebieg ciągu

procesów zachodzących podczas eksperymentu:

1. Wymuszona zmiana stopnia otwarcia zaworu

powoduje skokową zmianę strumienia czynnika

grzejnego. Wynikająca stąd zmiana mocy grzejnika

przebiega z pewnym opóźnieniem.

2. Z opóźnieniem zachodzą także kolejne procesy:

wymiana

ciepła

pomiędzy

grzejnikiem

a

pomieszczeniem za pośrednictwem powietrza oraz

transport

ciepła

od

otoczenia

do

czujnika

temperatury.

3. Te wszystkie wpływy razem wyjaśniają inercyjny

kształt odpowiedzi skokowej.

Inercyjny kształt odpowiedzi

Inercyjny kształt odpowiedzi

skokowej

skokowej

• Po zrównaniu nowej wartości strat

ciepła pomieszczenia (przy zmienionej
różnicy temperatury wewnętrznej i
zewnętrznej) z ilością ciepła
dostarczanego przez grzejnik powstaje
nowy stan równowagi i od tego
momentu temperatura powietrza
utrzymuje się na stałym poziomie.

Rodzaje charakterystyk

Rodzaje charakterystyk

dynamicznych obiektów

dynamicznych obiektów

regulacji

regulacji

Obiekty regulacji klasyfikuje się zwykle ze względu na

ich własności dynamiczne.

Podstawowym kryterium podziału obiektów regulacji jest

samodzielne osiąganie stanu trwałej równowagi po

wprowadzeniu

skokowego

wymuszenia

sygnału

wejściowego.

Zgodnie z tym kryterium rozróżnia się dwie grupy

obiektów:

• Obiekty astatyczne (bez samowyrównania), których

wartość odpowiedzi skokowej dąży do nieskończoności.

• Obiekty statyczne (z samowyrównaniem), których

odpowiedzi skokowe dążą do wartości skończonej.

Obiekty astatyczne (bez

Obiekty astatyczne (bez

samowyrównania)

samowyrównania)

• Obiekty, których wartość odpowiedzi na wymuszenie

skokowe dąży do nieskończoności i nie osiąga
nowego stanu ustalonego nazywane są astatycznymi
(bez samowyrównania).

• Własności

dynamiczne

idealnego

obiektu

całkującego można opisać równaniem różniczkowym:

• transmitancją operatorową:

)

(

)

(







u

K

d

dy





s

K

)

s

(

U

)

s

(

Y

)

s

(

G





Astatyczny obiekt regulacji

Astatyczny obiekt regulacji

• Astatyczny obiekt regulacji jakim jest

zbiornik wody z regulowanym
poziomem

Δu

s

u

τ

τ

0

0

τ

y

Δτ

Δy

A

u

y =

h

u = h

s

 V

u

A

y

d

u

y

K















Obiekty statyczne (z

Obiekty statyczne (z

samowyrównaniem)

samowyrównaniem)

Odpowiedzi obiektów cieplnych na
wymuszenie skokowe można podzielić
na :

• proporcjonalne,
• inercyjne pierwszego rzędu,
• inercyjne pierwszego rzędu z

opóźnieniem,

• inercyjne wyższego rzędu.

Podstawowe charakterystyki

Podstawowe charakterystyki

skokowe obiektów statycznych

skokowe obiektów statycznych

1. Obiekt proporcjonalny

Charakterystyka skokowa

Transmitancja operatorowa

(

K-

współczynnik wzmocnienia),

y

Δy

τ

)

(

u

y

K

s

G









Podstawowe charakterystyki

Podstawowe charakterystyki

skokowe obiektów statycznych

skokowe obiektów statycznych

2. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu

Charakterystyka skokowa

Transmitancja

operatorowa
T- stała czasowa

T

Δy

τ

y

1

s

T

K

)

s

(

G







Podstawowe charakterystyki

Podstawowe charakterystyki

skokowe obiektów statycznych

skokowe obiektów statycznych

3. Obiekt inercyjny pierwszego rzędu z

opóźnieniem

Charakterystyka skokowa

Transmitancja

operatorowa

Tt –czas opóźnienia (opóźnienie transportowe).

T

T

t

τ

y

Tt

s

-

e

1

s

T

K

)

s

(

G









Podstawowe charakterystyki

Podstawowe charakterystyki

skokowe obiektów statycznych

skokowe obiektów statycznych

4. Obiekt inercyjny wyższego rzędu

Charakterystyka skokowa

Transmitancja

operatorowa

To – opóźnienie zastępcze, Tz - zastępcza stała czasowa

T

0

T

z

τ

y

0

sT

-

e

1

)

(









s

T

K

s

G

z

Przykłady charakterystyk

Przykłady charakterystyk

dynamicznych obiektów

dynamicznych obiektów

cieplnych

cieplnych

1. Obiekt proporcjonalny - odcinek przewodu z zaworem
regulacyjnym oraz czujnikiem przepływu
Wielkością charakteryzującą proporcjonalny obiekt regulacji
przepływu jest współczynnik wzmocnienia

V

u = h

y = V

u

τ

0

τ

Δu

y

Δy = K·Δu

τ

0

τ

























%

/

3

h

m

h

V

u

y

K

2. Obiekt proporcjonalny z

2. Obiekt proporcjonalny z

opóźnieniem

opóźnieniem

a. Przewód z mieszającym zaworem regulacyjnym oraz

czujnikiem temperatury – równanie opisujące
charakterystykę skokową:

y(τ) = K· u(τ – T

t

)

lub w postaci operatorowej

T

τ

0

τ

Δu

u

u = h

A

B

AB

T

t

y

τ

0

τ

Δy = K·Δu

y = t

c

s

T

t

e

K

)

s

(

G









2. Obiekt proporcjonalny z

2. Obiekt proporcjonalny z

opóźnieniem

opóźnieniem

b.Taśmowy podajnik węgla

• Grubość warstwy paliwa y w odległości l od początku

podajnika będzie równa

• grubości warstwy na początku podajnika u (K = = 1) po

upływie czasu Tt =

v

l

u

y

h

u

y





v

l

3. Obiekt inercyjny pierwszego

3. Obiekt inercyjny pierwszego

rzędu

rzędu

Podgrzewacz ciepłej wody z trójdrogowym zaworem

regulacyjnym

Równanie charakterystyki jako odpowiedź na wymuszenie

skokowe:

lub w postaci

transmitancji operatorowej:

T

Δu=Δh

u

τ

y

τ

Δy=K·Δu

T

τ

0

τ

0

)

1

(

)

(

)

(

T

e

u

K

y

















1

s

T

K

)

s

(

G







4. Obiekt inercyjny pierwszego

4. Obiekt inercyjny pierwszego

rzędu z opóźnieniem

rzędu z opóźnieniem

Przewód z trójdrogowym zaworem regulacyjnym oraz
czujnikiem temperatury w obudowie ochronnej
Transmitancja operatorowa obiektu inercyjnego pierwszego

rzędu z opóźnieniem

s

T

-

t

e

1

s

T

K

)

s

(

G









T

τ

0

τ

Δu

u

u = h

A

B

AB

T

t

y

τ

0

τ

Δy =
K·Δu

y = t

c

T

5. Obiekt inercyjny wyższego rzędu.

5. Obiekt inercyjny wyższego rzędu.

Kocioł z palnikiem, instalacją c.o., grzejnikiem oraz
pomiarem temperatury w pomieszczeniu.
Charakterystyka obiektu składa się z: charakterystyki
proporcjonalnej palnika, proporcjonalnej z opóźnieniem
przewodów instalacji, inercyjnej pierwszego rzędu kotła,
grzejnika i czujnika temperatury oraz inercyjnej pierwszego
rzędu z opóźnieniem pomieszczenia

T

0

τ

0

τ

Δy=K·Δu

T

z

y

τ

0

Δu

τ

u

T

palnik

kocioł

przewody

grzejnik

pomieszczenie

czujnik

u

y

b

Obiekt inercyjny wyższego

Obiekt inercyjny wyższego

rzędu

rzędu

• Zastępcza transmitancja obiektu inercyjnego

wyższego rzędu zapisywana jest w postaci

lub

gdzie: Tz - zastępcza stała czasowa,

To – opóźnienie zastępcze,
n – rząd inercyjności.

s

T

-

z

0

e

1

s

T

K

)

s

(

G









s

T

-

n

t

e

)

1

s

T

(

K

)

s

(

G









Obiekty inercyjne wyższego

Obiekty inercyjne wyższego

rzędu

rzędu

• Charakterystyki skokowe obiektów regulacji o

różnych rzędach inercyjności

T

T

z2

T

z3

T

z4

T

z5

y

T

02

T

03

T

04

T

05

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

τ

Przydatność znajomości

Przydatność znajomości

charakterystyk dynamicznych

charakterystyk dynamicznych

obiektów regulacji

obiektów regulacji

• Uzyskane

z

wykresów

charakterystyk

skokowych wartości stałych czasowych oraz
opóźnień

obiektów

regulacji

są

wykorzystywane do:

• oceny stopnia trudności regulacji,
• doboru typu regulatora
• optymalizacji jego nastaw dynamicznych.

Stopień trudności regulacji

Stopień trudności regulacji

obiektu

obiektu

Stopień trudności regulacji S w zależności od typu
obiektu oblicza się:

• obiekty inercyjne pierwszego rzędu z opóźnieniem

transportowym,

• obiekty inercyjne wyższego rzędu,

T

T

S

t



0

z

T

T

S

Stopień trudności i regulacyjność

Stopień trudności i regulacyjność

Stopień trudności i regulacyjność obiektów regulacji
przy zastosowaniu regulatorów dwustanowych oraz
regulatorów typu P

• Stopień trudności S Regulacyjność

 0.1 dobra
 0.2 zadowalająca
 0.3 zła

Dobór typu regulatora

Dobór typu regulatora

W zależności od wartości stopnia trudności S
obiektu regulacji zaleca się wybór
następującego typu regulatora:

• S < 0,2 - regulator typu P lub

dwustanowy,

• S = 0,2 do 0,3 - regulator typu PI, PD, PID,
• S > 0,3 - regulator PID, P-PI -

kaskadowe połączenie regulatora P (regulator
główny) oraz regulatora PI (regulator
pomocniczy).

Stopień trudności regulacji

Stopień trudności regulacji

obiektu

obiektu

Stopień trudności regulacji obiektu można w sposób przybliżony
określić także w zależności od stopnia jego inercyjności n:

Dane niezbędne w projektowaniu układów automatycznej
regulacji uzyskiwane są najczęściej na podstawie badań
eksperymentalnych.

Przybliżone

wartości

parametrów

opisujących charakterystyki niektórych obiektów regulacji
można znaleźć także w literaturze z zakresu automatyki.

10

1





n

S

Przykładowe wartości stałych czasowych oraz stopnia trudności regulacji

Przykładowe wartości stałych czasowych oraz stopnia trudności regulacji

Dobór typu regulatora

Dobór typu regulatora

Dobór typu regulatora

Dobór typu regulatora

Dobór typu regulatora

Dobór typu regulatora

Wniosek końcowy

Wniosek końcowy

• Jak wynika z powyższej tabeli dla większości

obiektów regulacji w systemach ogrzewania i
klimatyzacji wartość stopnia trudności
regulacji mieści się w przedziale od 0,02 do
0,4. Dlatego najczęściej do automatyzacji
tych systemów są stosowane regulatory typu
PI, P oraz regulatory dwustanowe.

KONIEC

KONIEC