Wykład

4

Dynamika -

bada ogólne prawa ruchu obiektów
materialnych z uwzględnieniem przyczyn
powodujących ten ruch.

Przyczyny ruchu:

wzajemne oddziaływania danego obiektu z innymi
obiektami (ciałami), które przedstawiamy za
pomocą

sił i więzów

.

DYNAMIKA

Równania ruchu punktu materialnego

Wykład 4

4.1 Wprowadzenie

Dynamika p.m.

c.d.

Siła

-

wektor ślizgający się

związany z prostą.

Więzy

-

ograniczenia nałożone

na ruch danego obiektu przez
inne obiekty.

Postulat reakcji:

więzy

możemy zastąpić

siłami

i odwrotnie.

S

Q



A

B

S

Q



Ax

R



Ay

R



Bx

R



By

R



x

y

F



l

I prawo

Newtona

I prawo (bezwładności):

Istnieje układ odniesienia, w którym punkt
materialny porusza się bez przyspieszenia (tzn.
jednostajnie i prostoliniowo) gdy z zewnątrz nic
na niego nie działa.

Wniosek:
Siła

jest jedyną przyczyną zmiany ruchu

punktu materialnego.

4.2 Prawa dynamiki Newtona (prawa ruchu)

I prawo Newtona c.d.

x

y

z

O

Układ inercjalny

-

układ odniesienia, w którym można

stwierdzić I prawo dynamiki.

x

i

y

i

z

i

0

i

i





i

a



Jeżeli



oraz są w

czasie ruchu stale równe
zeru to układ 0x

i

y

i

z

i

jest

układem

inercjalnym

.

i





i

a



II prawo Newtona

II prawo (podstawowe):

W inercjalnym układzie współrzędnych wektor
siły
działającej na punkt materialny jest
proporcjonalny
do wektora przyspieszenia.

F

v

m

F

a

m

















lub

m

-

masa

bezwładna

(jest równoważna masie

grawitacyjnej

)

Bezwładność

–

właściwość obiektu polegająca

na przeciwstawianiu się zmianom ruchu tego
obiektu.

II prawo i Newtona c.d.

Dynamiczne równania ruchu w postaci skalarnej
mają postać:

z

y

x

F

z

m

F

y

m

,

F

x

m



















,

W układzie inercjalnym Oxyz:

W układzie naturalnym (Freneta):









2

n

n

n

v

a

,

v

s

a

F

a

m

,

F

a

m















;





III prawo (akcji i reakcji):

Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów

materialnych są równe co do wartości, mają
przeciwne zwroty i wspólną linię działania.

III prawo
Newtona

III prawo

jest słuszne w układach inercjalnych i

nieinercjal- nych ponieważ nie zawiera ono pojęć
kinematycznych takich jak prędkość lub
przyspieszenie.

Zgodnie z III prawem Newtona

warunkiem

powstania siły jest występowanie co najmniej dwóch
ciał.

ji

ij

F

F









Zadanie proste

Zadanie proste:

Dane są równania ruchu

np.:

x=x(t), y=y(t),

z=z(t)

(tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu)

Wyznaczamy współrzędne siły

:

F

x

, F

y

, F

z

(tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu)

4.3 Zadanie proste i odwrotne dynamiki

Zadanie

odwrotne

Dane są siły (współrzędne siły):

F

x

, F

y

, F

z

(tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu);

oraz warunki początkowe ruchu (dla t=0).

Wyznaczamy równania ruchu:

x=x(t),

y=y(t), z=z(t)

(tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu

).

Zadanie odwrotne:

Przykład
1

Przykład 1. (zadanie proste)

Punkt materialny o masie m=2[kg] porusza się
zgodnie
z równaniami: x(t)=h cos(t), y(t)=h sin(t).
Wyznacz siłę działającą na ten punkt, jeśli
h=0,05[m], =10[rad/s].

;

F

y

m

,

F

x

m

y

x













W układzie inercjalnym Oxy:

];

N

[

5

F

F

F

);

t

10

sin(

5

F

),

t

10

cos(

5

F

);

t

sin(

h

y

),

t

cos(

h

x

2

y

2

x

y

x

2

2











































Przykład
2/1

Przykład 2. (zadanie odwrotne)

,

c

F

,

e

h

F

y

kt

x









Na punkt o masie m działa siła F o współrzędnych:

gdzie h,k, c - oznaczają stałe fizyczne, t – czas w [s].
Wyprowadzić równania ruchu tego punktu dla warunków
początkowych:

0.

0)

y(t

,

0

)

0

t

(

v

;

0

)

0

t

(

x

,

0

)

0

t

(

v

y

x

















Przykład
2/2

Przykład
3/1

Przykład 3.

Mała kulka A o ciężarze Q = 10 [N] zawieszona w
nieruchomym punkcie O na lince o długości l =30 [cm]
tworzy wahadło stożkowe (zatacza okrąg w
płaszczyźnie poziomej). Linka tworzy z pionem kąt .

Obliczyć prędkość kulki i naciąg linki.



A

O



A

S



g

m

n

a



)

sin(

l

v

r

v

a

)

const

v

(

,

0

a

2

2

n













Przykład 3/2

















i

in

n

i

i

F

a

m

;

F

a

m

)

(

tg

)

sin(

gl

v

),

(

tg

mg

)

sin(

l

v

m

,

)

cos(

mg

S

mg

)

cos(

S

),

sin(

S

)

sin(

l

v

m

2

2



































Przykład 3/3



A

g

m

S

Przykład
4/1

Przykład 4.

Po jakim czasie i na jakim odcinku może zatrzymać się
wskutek hamowania wagon tramwajowy jadący po
poziomym
i prostym torze z prędkością v

o

=36[km/h], jeśli opór

hamowania jest stały i wynosi 3[kN] na jedną tonę
ciężaru wagonu.

Dynamika PM w ukł.
nieiner.

4.4 Równania ruchu punktu
materialnego
w układzie nieinercjalnym.

Wprowadzamy:

• stały układ odniesienia Oxyz,
• nieinercjalny układ odniesienia O

1

x

1

y

1

z

1

,

dla którego

0

i

a

01

0;

Dynamika p.m. w ukł.

nieinercjalnym 1

• Na punkt A o masie m
działa siła F.

Równanie ruchu p-tu A w układzie stałym (inercjalnym):

O

1

x

1

y

1

z

1



a

O1

x

z

0

y

F

A

;

a

a

F

a

m

A

b

b















gdzie

,

Dynamika p.m. w ukł.

nieinercjalnym 2

)

R

F

(

F

F

)

a

a

a

(

m

i

i

i

c

w

u





























czym

przy

,

Wektorowe

równanie ruchu p-tu A w układzie

nieinercjalnym 0

1

x

1

y

1

z

1

:

c

u

w

a

m

a

m

F

a

m



















-

lub:

c

u

w

B

B

F

a

m

















;

a

a

a

a

c

w

u

b















Dynamika p.m. w ukł.

nieinercjalnym 3

Wprowadzono oznaczenia:

Coriolisa;

ci

bezwładnoś

siła

unoszenia,

ci

bezwładnoś

siła

















c

c

u

u

a

m

B

a

m

B









c

u

B

B





,

- nazywamy siłami fikcyjnymi (pozornymi),
ponieważ nie są one wynikiem oddziaływań
z innymi obiektami w takim znaczeniu jak siły F.

Sila bezwładności 1

Z II prawa dynamiki Newtona:

0

a

m

F

F

a

m



















lub

4.5 Siła bezwładności i zasada d’Alamberta

Jeżeli wektor

-m·a

potraktujemy jako pomyślaną siłę, to

równanie powyżej możemy rozpatrywać jako warunek
równowagi siły F działającej na punkt materialny i siły

-m·a

Siła bezwładności

Siła bezwładności 2

F

–

wypadkowa sił rzeczywistych (akcji i reakcji),

B

–

siła bezwładności;

B = -m·a

–

siła bezwładności

(tzw. siła fikcyjna);

0

B

F









II prawo dynamiki

można przedstawić jako

równanie

równowagi

wypadkowej sił rzeczywistych F i siły

bezwładności B w czasie ruchu punktu.

Zasada
d’Alamberta

Zasada d’Alamberta

Wypadkowa sił rzeczywistych działających na
punkt materialny równoważy się w każdej
chwili z siłą bezwładności tego punktu.

lub

Jeżeli w inercjalnym układzie współrzędnych do

wszystkich sił rzeczywistych

F

1

, F

2

,..., F

n

dołączymy

siły bezwładności

B

1

, B

2

,..., B

n

to otrzymany

układ sił
spełnia formalnie statyczne warunki
równowagi.

Przykład
1/1

Przykład 1.

Rurka w kształcie okręgu o promieniu r=

0,2[m],obraca się wokół stałej osi przechodzącej

przez środek tego okręgu z prędkością kątową



=10[rad/s]. Wewnątrz rurki porusza się bez tarcia

mała kulka o masie m=0.1[kg] z prędkością

względną w= 2[m/s].

Oblicz nacisk kulki na ściankę rurki w położeniu A.

Przykład
1/2

)

w

||

(

,

0

w

2

a

;

dt

w

d

~

a

);

OA

(

a

;

0

,

0

a

);

OA

(

OA

a

a

;

a

a

a

a

C

w

u

o

o

u

C

w

u

A































































































Przyspieszenie punktu A:

A

w



O

.

a

u

a

w

;

r

w

a

,

r

a

2

w

2

u









Przykład
1/3

A

w



O

.

;

0

a

m

B

,

a

m

B

,

R

Q

F

,

B

B

F

a

m

C

C

u

u

C

u

w









































Równanie wektorowe:

x

1

Q

B

u

R

Równanie na Ox

1

:

];

N

[

40

)

2

,

0

10

2

,

0

2

(

1

,

0

R

),

r

r

w

(

m

B

ma

R

,

B

R

ma

2

2

2

2

u

w

u

w





























Przykład 2/1

Przykład 2.

Dwa wagoniki połączone nierozciągliwą liną poruszają się

po torze prostym poziomym pod działaniem stałej siły
pociągowej P. Ciężary wagoników wynoszą odpowiednio
G

1

i G

2

a siła oporu ruchu każdego wagonika wynosi 0.1

jego
ciężaru. Oblicz przyspieszenie wagoników i naciąg liny.

x

2

G



1

G



P



a



a



Rozwiązanie:

Lina nierozciągliwa:

a

a

a

2

1











Przykład 2/2

Dekompozycja na dwa zadania:

x

y

1

G



P



1

N



1

T



S



2

G



2

N



2

T



'

S



1. zadanie:

ci

bezwładnoś

siły

wektor

biernych);

(sił

więzów

reakcji

sił

wektory

czynnych,

sił

wektory

ych,

rzeczywist

sił

adkowy

wektor wyp































a

g

G

a

m

B

S

,

T

,

N

G

,

P

S

T

N

G

P

F

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1





























a



1

B



a



2

B



Przykład 2/3

0

B

F

1

1









Zgodnie z zasadą d’Alamberta:

Równania równowagi w postaci skalarnej w układzie Oxy:

;

0

B

F

,

0

B

F

y

1

y

1

x

1

x

1









(2)

(1)

1

1

1

1

1

1

0

0

G

N

G

N

:

y

B

S

T

P

:

x

















Podstawiamy do r-nia (1):

;

a

g

G

|

B

|

B

,

G

1

.

0

|

T

|

T

1

1

1

1

1

1

















(1a)

0

1

0

1

1













a

g

G

S

G

.

P

S

i

a

– wielkości niewiadome.

Przykład 2/4

2. zadanie:

ci

bezwładnoś

siły

wektor

biernych);

(sił

więzów

reakcji

sił

wektory

czynnej,

siły

wektor

ych,

rzeczywist

sił

adkowy

wektor wyp

'





























a

g

G

a

m

B

'

S

,

T

,

N

G

S

T

N

G

F

























2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

S'

S

|

'

S

|

|

S

|

'

S

S













czyli









x

y

2

G



2

N



2

T



'

S



a



2

B



Przykład 2/5

Równania równowagi w postaci skalarnej w układzie Oxy:

;

B

F

,

B

F

y

y

x

x

0

0

2

2

2

2









(4)

(3)

2

2

2

2

2

2

0

0

G

N

G

N

:

y

B

T

'

S

:

x















Podstawiamy do (3):

;

a

g

G

|

B

|

B

,

G

.

|

T

|

T













2

2

2

2

2

2

1

0





(3a)

a

g

G

G

.

S

'

S









2

2

1

0

Przykład 2/6

Podstawiając (3a) do równania (1a) otrzymujemy:

przyspieszenie wagoników:

g

.

G

G

P

a





















1

0

2

1

a następnie z (3a) naciąg liny:

2

1

2

G

G

G

P

S







Przykład
3

Przykład 3

Pierścień o masie m jest nasunięty na gładki drut OA
obracający się wokół pionowej osi z prędkością
kątową 

0

=const. Oś drutu jest krzywą płaską.

Znaleźć równanie tej krzywej, aby zachodziła
równowaga względna dla dowolnego położenia
pierścienia.