Wykład
4
Dynamika -
bada ogólne prawa ruchu obiektów
materialnych z uwzględnieniem przyczyn
powodujących ten ruch.
Przyczyny ruchu:
wzajemne oddziaływania danego obiektu z innymi
obiektami (ciałami), które przedstawiamy za
pomocą
sił i więzów
.
DYNAMIKA
Równania ruchu punktu materialnego
Wykład 4
4.1 Wprowadzenie
Dynamika p.m.
c.d.
Siła
-
wektor ślizgający się
związany z prostą.
Więzy
-
ograniczenia nałożone
na ruch danego obiektu przez
inne obiekty.
Postulat reakcji:
więzy
możemy zastąpić
siłami
i odwrotnie.
S
Q
A
B
S
Q
Ax
R
Ay
R
Bx
R
By
R
x
y
F
l
I prawo
Newtona
I prawo (bezwładności):
Istnieje układ odniesienia, w którym punkt
materialny porusza się bez przyspieszenia (tzn.
jednostajnie i prostoliniowo) gdy z zewnątrz nic
na niego nie działa.
Wniosek:
Siła
jest jedyną przyczyną zmiany ruchu
punktu materialnego.
4.2 Prawa dynamiki Newtona (prawa ruchu)
I prawo Newtona c.d.
x
y
z
O
Układ inercjalny
-
układ odniesienia, w którym można
stwierdzić I prawo dynamiki.
x
i
y
i
z
i
0
i
i
i
a
Jeżeli
oraz są w
czasie ruchu stale równe
zeru to układ 0x
i
y
i
z
i
jest
układem
inercjalnym
.
i
i
a
II prawo Newtona
II prawo (podstawowe):
W inercjalnym układzie współrzędnych wektor
siły
działającej na punkt materialny jest
proporcjonalny
do wektora przyspieszenia.
F
v
m
F
a
m
lub
m
-
masa
bezwładna
(jest równoważna masie
grawitacyjnej
)
Bezwładność
–
właściwość obiektu polegająca
na przeciwstawianiu się zmianom ruchu tego
obiektu.
II prawo i Newtona c.d.
Dynamiczne równania ruchu w postaci skalarnej
mają postać:
z
y
x
F
z
m
F
y
m
,
F
x
m
,
W układzie inercjalnym Oxyz:
W układzie naturalnym (Freneta):
2
n
n
n
v
a
,
v
s
a
F
a
m
,
F
a
m
;
III prawo (akcji i reakcji):
Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów
materialnych są równe co do wartości, mają
przeciwne zwroty i wspólną linię działania.
III prawo
Newtona
III prawo
jest słuszne w układach inercjalnych i
nieinercjal- nych ponieważ nie zawiera ono pojęć
kinematycznych takich jak prędkość lub
przyspieszenie.
Zgodnie z III prawem Newtona
warunkiem
powstania siły jest występowanie co najmniej dwóch
ciał.
ji
ij
F
F
Zadanie proste
Zadanie proste:
Dane są równania ruchu
np.:
x=x(t), y=y(t),
z=z(t)
(tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu)
Wyznaczamy współrzędne siły
:
F
x
, F
y
, F
z
(tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu)
4.3 Zadanie proste i odwrotne dynamiki
Zadanie
odwrotne
Dane są siły (współrzędne siły):
F
x
, F
y
, F
z
(tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu);
oraz warunki początkowe ruchu (dla t=0).
Wyznaczamy równania ruchu:
x=x(t),
y=y(t), z=z(t)
(tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu
).
Zadanie odwrotne:
Przykład
1
Przykład 1. (zadanie proste)
Punkt materialny o masie m=2[kg] porusza się
zgodnie
z równaniami: x(t)=h cos(t), y(t)=h sin(t).
Wyznacz siłę działającą na ten punkt, jeśli
h=0,05[m], =10[rad/s].
;
F
y
m
,
F
x
m
y
x
W układzie inercjalnym Oxy:
];
N
[
5
F
F
F
);
t
10
sin(
5
F
),
t
10
cos(
5
F
);
t
sin(
h
y
),
t
cos(
h
x
2
y
2
x
y
x
2
2
Przykład
2/1
Przykład 2. (zadanie odwrotne)
,
c
F
,
e
h
F
y
kt
x
Na punkt o masie m działa siła F o współrzędnych:
gdzie h,k, c - oznaczają stałe fizyczne, t – czas w [s].
Wyprowadzić równania ruchu tego punktu dla warunków
początkowych:
0.
0)
y(t
,
0
)
0
t
(
v
;
0
)
0
t
(
x
,
0
)
0
t
(
v
y
x
Przykład
2/2
Przykład
3/1
Przykład 3.
Mała kulka A o ciężarze Q = 10 [N] zawieszona w
nieruchomym punkcie O na lince o długości l =30 [cm]
tworzy wahadło stożkowe (zatacza okrąg w
płaszczyźnie poziomej). Linka tworzy z pionem kąt .
Obliczyć prędkość kulki i naciąg linki.
A
O
A
S
g
m
n
a
)
sin(
l
v
r
v
a
)
const
v
(
,
0
a
2
2
n
Przykład 3/2
i
in
n
i
i
F
a
m
;
F
a
m
)
(
tg
)
sin(
gl
v
),
(
tg
mg
)
sin(
l
v
m
,
)
cos(
mg
S
mg
)
cos(
S
),
sin(
S
)
sin(
l
v
m
2
2
Przykład 3/3
A
g
m
S
Przykład
4/1
Przykład 4.
Po jakim czasie i na jakim odcinku może zatrzymać się
wskutek hamowania wagon tramwajowy jadący po
poziomym
i prostym torze z prędkością v
o
=36[km/h], jeśli opór
hamowania jest stały i wynosi 3[kN] na jedną tonę
ciężaru wagonu.
Dynamika PM w ukł.
nieiner.
4.4 Równania ruchu punktu
materialnego
w układzie nieinercjalnym.
Wprowadzamy:
• stały układ odniesienia Oxyz,
• nieinercjalny układ odniesienia O
1
x
1
y
1
z
1
,
dla którego
0
i
a
01
0;
Dynamika p.m. w ukł.
nieinercjalnym 1
• Na punkt A o masie m
działa siła F.
Równanie ruchu p-tu A w układzie stałym (inercjalnym):
O
1
x
1
y
1
z
1
a
O1
x
z
0
y
F
A
;
a
a
F
a
m
A
b
b
gdzie
,
Dynamika p.m. w ukł.
nieinercjalnym 2
)
R
F
(
F
F
)
a
a
a
(
m
i
i
i
c
w
u
czym
przy
,
Wektorowe
równanie ruchu p-tu A w układzie
nieinercjalnym 0
1
x
1
y
1
z
1
:
c
u
w
a
m
a
m
F
a
m
-
lub:
c
u
w
B
B
F
a
m
;
a
a
a
a
c
w
u
b
Dynamika p.m. w ukł.
nieinercjalnym 3
Wprowadzono oznaczenia:
Coriolisa;
ci
bezwładnoś
siła
unoszenia,
ci
bezwładnoś
siła
c
c
u
u
a
m
B
a
m
B
c
u
B
B
,
- nazywamy siłami fikcyjnymi (pozornymi),
ponieważ nie są one wynikiem oddziaływań
z innymi obiektami w takim znaczeniu jak siły F.
Sila bezwładności 1
Z II prawa dynamiki Newtona:
0
a
m
F
F
a
m
lub
4.5 Siła bezwładności i zasada d’Alamberta
Jeżeli wektor
-m·a
potraktujemy jako pomyślaną siłę, to
równanie powyżej możemy rozpatrywać jako warunek
równowagi siły F działającej na punkt materialny i siły
-m·a
Siła bezwładności
Siła bezwładności 2
F
–
wypadkowa sił rzeczywistych (akcji i reakcji),
B
–
siła bezwładności;
B = -m·a
–
siła bezwładności
(tzw. siła fikcyjna);
0
B
F
II prawo dynamiki
można przedstawić jako
równanie
równowagi
wypadkowej sił rzeczywistych F i siły
bezwładności B w czasie ruchu punktu.
Zasada
d’Alamberta
Zasada d’Alamberta
Wypadkowa sił rzeczywistych działających na
punkt materialny równoważy się w każdej
chwili z siłą bezwładności tego punktu.
lub
Jeżeli w inercjalnym układzie współrzędnych do
wszystkich sił rzeczywistych
F
1
, F
2
,..., F
n
dołączymy
siły bezwładności
B
1
, B
2
,..., B
n
to otrzymany
układ sił
spełnia formalnie statyczne warunki
równowagi.
Przykład
1/1
Przykład 1.
Rurka w kształcie okręgu o promieniu r=
0,2[m],obraca się wokół stałej osi przechodzącej
przez środek tego okręgu z prędkością kątową
=10[rad/s]. Wewnątrz rurki porusza się bez tarcia
mała kulka o masie m=0.1[kg] z prędkością
względną w= 2[m/s].
Oblicz nacisk kulki na ściankę rurki w położeniu A.
Przykład
1/2
)
w
||
(
,
0
w
2
a
;
dt
w
d
~
a
);
OA
(
a
;
0
,
0
a
);
OA
(
OA
a
a
;
a
a
a
a
C
w
u
o
o
u
C
w
u
A
Przyspieszenie punktu A:
A
w
O
.
a
u
a
w
;
r
w
a
,
r
a
2
w
2
u
Przykład
1/3
A
w
O
.
;
0
a
m
B
,
a
m
B
,
R
Q
F
,
B
B
F
a
m
C
C
u
u
C
u
w
Równanie wektorowe:
x
1
Q
B
u
R
Równanie na Ox
1
:
];
N
[
40
)
2
,
0
10
2
,
0
2
(
1
,
0
R
),
r
r
w
(
m
B
ma
R
,
B
R
ma
2
2
2
2
u
w
u
w
Przykład 2/1
Przykład 2.
Dwa wagoniki połączone nierozciągliwą liną poruszają się
po torze prostym poziomym pod działaniem stałej siły
pociągowej P. Ciężary wagoników wynoszą odpowiednio
G
1
i G
2
a siła oporu ruchu każdego wagonika wynosi 0.1
jego
ciężaru. Oblicz przyspieszenie wagoników i naciąg liny.
x
2
G
1
G
P
a
a
Rozwiązanie:
Lina nierozciągliwa:
a
a
a
2
1
Przykład 2/2
Dekompozycja na dwa zadania:
x
y
1
G
P
1
N
1
T
S
2
G
2
N
2
T
'
S
1. zadanie:
ci
bezwładnoś
siły
wektor
biernych);
(sił
więzów
reakcji
sił
wektory
czynnych,
sił
wektory
ych,
rzeczywist
sił
adkowy
wektor wyp
a
g
G
a
m
B
S
,
T
,
N
G
,
P
S
T
N
G
P
F
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
1
B
a
2
B
Przykład 2/3
0
B
F
1
1
Zgodnie z zasadą d’Alamberta:
Równania równowagi w postaci skalarnej w układzie Oxy:
;
0
B
F
,
0
B
F
y
1
y
1
x
1
x
1
(2)
(1)
1
1
1
1
1
1
0
0
G
N
G
N
:
y
B
S
T
P
:
x
Podstawiamy do r-nia (1):
;
a
g
G
|
B
|
B
,
G
1
.
0
|
T
|
T
1
1
1
1
1
1
(1a)
0
1
0
1
1
a
g
G
S
G
.
P
S
i
a
– wielkości niewiadome.
Przykład 2/4
2. zadanie:
ci
bezwładnoś
siły
wektor
biernych);
(sił
więzów
reakcji
sił
wektory
czynnej,
siły
wektor
ych,
rzeczywist
sił
adkowy
wektor wyp
'
a
g
G
a
m
B
'
S
,
T
,
N
G
S
T
N
G
F
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
S'
S
|
'
S
|
|
S
|
'
S
S
czyli
x
y
2
G
2
N
2
T
'
S
a
2
B
Przykład 2/5
Równania równowagi w postaci skalarnej w układzie Oxy:
;
B
F
,
B
F
y
y
x
x
0
0
2
2
2
2
(4)
(3)
2
2
2
2
2
2
0
0
G
N
G
N
:
y
B
T
'
S
:
x
Podstawiamy do (3):
;
a
g
G
|
B
|
B
,
G
.
|
T
|
T
2
2
2
2
2
2
1
0
(3a)
a
g
G
G
.
S
'
S
2
2
1
0
Przykład 2/6
Podstawiając (3a) do równania (1a) otrzymujemy:
przyspieszenie wagoników:
g
.
G
G
P
a
1
0
2
1
a następnie z (3a) naciąg liny:
2
1
2
G
G
G
P
S
Przykład
3
Przykład 3
Pierścień o masie m jest nasunięty na gładki drut OA
obracający się wokół pionowej osi z prędkością
kątową
0
=const. Oś drutu jest krzywą płaską.
Znaleźć równanie tej krzywej, aby zachodziła
równowaga względna dla dowolnego położenia
pierścienia.