Plan wykładu
1. Drgania harmoniczne
tłumione
2. Drgania harmoniczne
wymuszone
3. Fale
Plan wykładu
1. Drgania harmoniczne
tłumione
2. Drgania harmoniczne
wymuszone
3. Fale
Oscylator tłumiony
• Zakładamy nie konserwatywną siłę
(tarcie , siłę opóźniającą ) działająca
na oscylator harmoniczny.
v
R
b
x
x
x
ma
bv
kx
F
2
2
dt
x
d
m
dt
dx
b
kx
2
2
0
2
2
cos
m
b
t
Ae
t
x
m
kt
Co z tarciem?
Siła tarcia zależna od prędkości(A model)
2
2
dt
x
d
m
dt
dx
b
kx
Możemy zgadnąć nowe rozwiązanie.
)
(
cos
exp
A
)
(
)
(
2
t
t
x
m
bt
Gdzie
2
2
2
2
2
m
b
m
b
m
k
o
0
2
2
x
m
k
dt
dx
m
b
dt
x
d
I teraz
0
2
≡ k / m
Uwaga
t
x Ae sin( t
)
a
w j
-
=
+
t
t
dx
A e sin( t
) A e cos( t
)
dt
a
a
a
w j
w
w j
-
-
=-
+ +
+
2
2
t
t
2
t
t
2
d x
A e sin( t
) A
e cos( t
) A e sin( t
) A
e cos( t
)
dt
a
a
a
a
a
w j
aw
w j
w
w j
aw
w j
-
-
-
-
=
+ -
+ -
+ -
+
2
2
2
t
t
2
t
t
t
d x
dx
m
kx 0
dt
dt
m(A e sin( t
) A
e cos( t
) A e sin( t
) A
e cos( t
))
( A e sin( t
)
a
a
a
a
a
b
a
w j
aw
w j
w
w j
aw
w j
b
a
w j
-
-
-
-
-
+
+
=
+ -
+ -
+ -
+
+
-
+
2
t
2
t
t
t
mA e sin( t
) mA e sin( t
)
A e sin( t
) kAe sin( t
) 0
a
a
a
a
a
w j
w
w j
b a
w j
w j
-
-
-
-
+ -
+ -
+ +
+ =
t
t
t
mA
e cos( t
) mA
e cos( t
))
A
e cos( t
)) 0
a
a
a
aw
w j
aw
w j
b aw
w j
-
-
-
-
+ -
+
+
+
=
2
2
m
m
k 0
2m
0
a
w
ba aw
aw baw
-
-
-
+ =
-
+
=
2m
b
a =
2
2
2
2
2
m
b
m
b
m
k
o
Oscylator harmoniczny tłumiony
Co z tarciem?
Tłumienie ekspotencjalne
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
A
)
(
cos
2
exp
A
)
(
)
(
t
t
m
b
t
x
m
b
o
2
/
if
Tłumiony oscylator harmoniczny
• Częstość kątowa maleje z tłumieniem
• Trzy matematycznie różne postacie tłumienia
2
2
)
2
/
(
m
b
o
m
b
o
2
/
m
b
o
2
/
Słabe
tłumienie
Tłumienie
krytyczne
Nad tłumienie
m
b
o
2
/
0
0
/
/ 2
/ 2
k m
b m f F
m
w
b
=
=
=
( )
t
p
x t
x x
= +
2
0
2
0
t
t
t
x
x
x
b
w
+
+
=
&
&
&
(
)
1
cos
with
t
t
x
Ae
t
b
w
d
-
=
-
2
2
1
0
w
w
b
=
-
Rozwiązania stacjonarne i
przejściowe
0
cos
F mx bx kx F
t
w
=
+ + =
&& &
Oscylator harmoniczny wymuszony
8
Metoda algebraiczna
(
)
2
0
2
2
1
1 0
1
2
2
2
2 0
2
2
2
2
2
1
1 0
2
0
1
2
2
2
1
2
2 0
0
1
p
1
2
2
cos . Probujemy
-A
cos
A
cos
A 2
sin
-A
sin
A
sin
A 2
cos
cos . Zbierzmy czynni
x =A
ki:
-A
A
+A 2
2
2
-
cos
A sin
0
+
+
=
+
-
+
+
=
+
=
-
+
=
-
+
=
�
=
+
&&
&
x
x
x f
t
t
t
t
t
t
t f
t
A
A
f
A
A
A
t
t
A
b
w
w
w
w
w
w
bw
w
w
w
w
w
bw
w
w
w
w
bw
w
w
bw
bw
w
w
w
w
w
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
0
2
2
2
2
0
2
&
A
2
2
2
A
2
cos
2
sin
2
2
-
-
+
=
-
\
=
=
-
+
-
-
+
=
+
+
-
p
f
t
f
t
x
A
f
f
f
A
w
w
w
bw
bw
bw
w
w
bw
w
w
bw
w
w
w
w
bw
w
w
w
bw
bw
w
9
Rezonans
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
0
0
1
2
Minimalizyjemy mianownik
2
4
8
0
2
2
definiujemy wielkosc Q= 2
2
2
1 2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
f
A
d
d
Q
Q
w
w
w
bw
w
w
bw
w
w w
w
b w
b
w
w
w
w
b
w
b
w
w
w
w
w
-
=
-
+
-
+
=
-
-
+
=
=
-
�
=
-
� �
=
-
=
� �
� �
+
Q jest bezwymiarową
wielkością odpowiadajacą za
jakość rezonansu
(
)
(
)
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
t
2
Gdy
,
oraz
/ 2
-
�
�
=
�
�
�
�
-
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
-
�
�
=
g
bw
d
w
w
bw
w
w
w
w
d p
p
x
cos
A
t
Rezonans amplitudy znajduje
się dla częstości nieznacznie
różnej od rezonansu częstości
Jest rzeczą istotną że odpowiedź
x(t) nie jest w fazie z siłą
wymuszającą. Dla niskich
częstości , x(t) and F(t)
znajdują się w jednej fazie .
Dla
0
różnią się fazami o 90
0
.
Dla wysokich częstości różnica
faz wynosi 180
0
!
10
0
5
10
15
20
0
0.5
1
1.5
2
Zjawisko rezonansu
0
/
0
/
( )/
A
f
( )
10
2
2
0
Q
Q
Q
10
2
2
0
Q
Q
Q
/ 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
1
2
3
4
5
6
7
0
/
R
Rysujemy amplitudę fali, oraz
fazę w funkcji częstości
wymuszającej dla trzech różnych
współczynników Q na dwóch
górnych rysunkach. Im większa
jest wartość Q tym ostrzejszy jest
rezonans. Tak w fazia jak i w
amplitudzie. Niższy rysunek
pokazuje stosunek „naturalnej”
częstości drgań w funkcji Q. Dla
dobrych rezonatorów amplituda
jest bardzo bliska amplitudzie
oscylatora niewymuszonego.
.
Q
11
Więcej o Q
0
/
0.23 1/Q
T
0
/
4
Q
FWHM
Ten rysunek ilustruje
śrenią energię
kinetyczną oscylatora
tłumionego Wybrano
dosyć szeroki
współczynnik Q; Q=4.
Nawet wówczas
szerokośc połówkowa
FWHM jest bliska 1/Q
Można także pokazać, ze slabo tlumiony oscylator harmoniczny
Calkowita energia
Q 2
Energia tracona w czasie jednego okresu
p
�
�
� �
�
�
�
Wymuszony oscylator z tłumieniem
• Gdy przyłożymy siłę
F
0
cos (t)
, widzimy:
2
2
2
0
2
0
)
(
)
(
/
m
b
m
F
A
0
b/m małe
b/m
średnie
b duże
t
m
F
x
m
k
dt
dx
m
b
dt
x
d
cos
2
2
Not Zero!!!
A
m
p
liu
d
a
u
st
a
lo
n
a
13
Jak to możemy pokazać?
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
2
2
0
Dla stanu stacjonarnego
cos
2
sin
2
sin
2
2
2
cos
2
2
2
cos
2
2
p
x x
f
t
x
f
t
x
t
mx
mf
T
t
kx
kf
U
t
k
mf
U
m
w d
w
w
bw
w
w d
w
w
bw
w
w d
w
w
bw
w d
w
w
bw
w
w d
w
w
w
bw
=
-
=
-
+
-
-
=
-
+
�
�
-
�
�
=
=
�
�
-
+
�
�
�
�
-
�
�
=
=
�
�
-
+
�
�
�
�
-
�
�
= �
=
�
�
-
+
�
�
&
&
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
0
2
2
2 2
0
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
2
2
0
W poblizu rezonansu
sin
cos
2
2
2
2
W stanie ustalonym, moc jest dostarczana
przez silę wymuszającą a szybkoć rozpraszania energii
t
t
mf
T U
mf
E
w w
w d
w d
w
w w
bw
w
w w
bw
�
�
�
-
+
-
�
�
+ =
�
�
-
+
�
�
�
�
�
�
� =
�
�
-
+
�
�
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
loss
0
2 2
2
0
2
2 0
2
2
0
2
0
0
zależy od tlumienia
Praca = F v=-(bx)x=-2m x
E jeden okres =- Power dt =
(2 m)
sin
2
Teraz
sin
1 cos 2(
)
2
2
f
dt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
b
w b
w d
w w
bw
w d
w d
t
�
D
-
-
+
-
=
-
-
=
�
�
�
�
r r
&&
&
Rozwiązania dla oscylatora
wymuszonego
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
10
20
30
40
50
60
70
80
2
2
2
2
0
1
2
2
0
cos
2
2
tan
p
f
t
x
1
cos
t
p
x
Ae
x
t
Detekcja DNA w oparciu o zjawisko
rezonansu
Zmieniając masę
próbnika
Zmieniamy częstość
rezonansu
Su et al., APL 82: 3562 (2003)
Przykład
Stłuczony kieliszek
System :
szkło
siła wymuszająca:
sound wave
Dramatyczny przykład rezonansu
• W roku 1940, silny wiatr spowodował wibracje
torsyjne mostu Tacoma Narrows Bridge
Dramatyczny przykład rezonansu
Most się zawalił
Przykład
Rezonans
Rozważamy układ wahadeł, wszystkie na tej samej
nici
D
C
B
A
Jeśli spowodujemy wahanie D, wahadło C otrzyma
największy przekaz energii.
Składanie drgań;
Figury Lissajous
Składowe w fazie
Składanie drgań; Figury
Lissajous
Składowe w przecwfazie
fazie
Figury Lissajous; x
jest 90
o
przed y
Figury Lissajous
x jest o 90
o
za y
24
Fale są wszędzie w naturze
– Fale dźwiekowe,
– Światło widzialne
– Fale radiowe,
– mikrofale,
– Fale na wodzie,
– Fale
sinusoidalne,
– Fale na sznurze
telefonicznym
– Fale na
stadionach,
– Fale trzęsień
ziemi
– Fale na strunie
Laser Art Show
Fale przenoszą energię a nie materię. Fale na
wodzie przenoszą energie ale nie masę. Fale
mogą istnieć tylko wtedy gdy istnieje energia,
którą przenoszą
Długość fali (λ)
• Odległość od
maksimum do
maksimum
• Mierzona w
metrach
Częstość fali
• Liczba grzbietów fal
przechodzących w
jednostce czasu.
• Mierzona w herz
(Hz) zdefiniowanym
jako cykl/sekunda
• Równa odwrotności
czasu, który jest
potrzebny aby
jedna długość fali
przeszła.
Amplituda
• Maksymalne
wychylenie fali
• Amplitudę wyrażamy
w różnych jednostkach
zależnie od rodzaju fali
Prędkość fali
Gdzie,
v jest prędkością fali (m/s)
λ długośc fali w metrach(m)
f częstość w Hertz (cycle/s)
v
f
Fale biegnące podróżują z pewną prędkością
Własności fal
Popatrzmy na część przestrzenną (
dla t =0
).
]
)
/
/
(
2
cos[(
)
,
(
0
T
t
x
A
t
x
D
)]
)
/
2
cos[(
)
0
,
(
x
A
x
D
Wavelength
A
y
x
•
x = 0
y = A
•
x =
/4 y = A cos(
/2) =
0
•
x =
/2 y = A cos(
) = -A
]
cos[
)
,
(
0
t
kx
A
t
x
D
A = amplituda k = 2/= liczba falowa
= 2f = częstość katowa
0
= faza
Popatrzmy na składową czasową
Niech x = 0
)]
)
/
2
cos[(
)
,
(
t
x
A
t
x
D
Okres
A
y
t
]
)
/
2
(
cos[
)
cos(
)
,
0
(
t
T
A
t
A
t
D
•
t = 0
y = A
•
t =T / 4 y = A cos(-
/2) =
0
•
t =T / 2 y = A cos(-
) =
-A
33
Fale poprzeczne i podłużne
• Różnica pomiedzy dwoma rodzajami
fal
Co to są fale mechaniczne?
Fale mechaniczne wymagają ośrodka, który je przenosi.
Ośrodkiem jest materia, która je przenosi(np. woda
powietrze, szkło itd.) Fale takie jak światło, promienie x i
inne formy promieniowania nie wymagają ośrodka
medium.
Dwa rodzaje fal mechanicznych?
Fale poprzeczne
W falach poprzecznych ośrodek porusza się w
górę i na dół prostopadle do kierunku
rozchodzenia się fali.
35
Fale podłużne
• Fala, którą widzimy jest falą podłużną.
• Cząstki nośnika fali drgają równolegle do
ruchu żródła.
• Takim rodzajem fali jest fala dźwiękowa.
Nakładanie fal
• Q:
Co się dzieje, gdy dwie fale zderzają się?
“collide”
• A:
DODAJĄ SIĘ!
– Mówimy, że fake ulegają interferencji”.
37
Konstruktywna interferencja
• Konstruktywna interferencja
Dodaje
fale, aby wytworzyc
większą amplitudę.
• To jest znane jako interferencja
konstruktywna.
38
Interferencja destruktywna
• W tym przypadku, gdy fale
nakładają się, ampituda
wypadkowa będzie mniejsza.
• This is know as
DESTRUCTIVE
INTERFERENCE
.
39
Animacja
Interferencja fal
• 2D Fale na powierzchni wody
Dwa źródła w fazie
oddalone o d
d
Zachowanie się fal
Odbicie?
.
Załamanie?
Załamanie zachodzi, gdy fala przechodzi z
jednego osrodka do drugiego, gdzie ma inną
prędkość.
Co to jest dyfrakcja?
Dyfrakcja występuje, gdy obiekt
powoduje zmianę kierunku fali i ominięcie
obiektu.
Dyfrakcja
zachodzi, gdy fala przechodzi przez mały
otwór.
Dźwięk
time 0
time 1
time 2
Pojedyncze molekuły ulegają ruchom
harmonicznym
Rozpatrujemy ruch molekuł,
Sonar
- Instrument do wykrywania
odbitych
fal dźwiękowych celem wykrycia
obiektów pod wodą
,
Zwierzeta używają sonaru też
Ludzie uzywają
sonaru do
wykryca obiektów
zaznaczonych na
mapach
Energia fali
E =
½gH
2
8
1
Średnia energii przenoszona przez jednostkę powierzchni
Gęstość energii jest funkcją kwadratu amplitudy fali oraz niezależnie
głębokości wody i długości fali
.
E = E
k
+E
p
=
½gH
2
L
8
6
Całowita energia liczona dla jednego „grzbietu” fali i jednej długości fali wynosi:
Gęstość energii
Fale na wodzie
• Fale
dwuwymiarowe
Oscillating Water
Column and
Government
Regulation of Ocean
Energy
Jennifer Wolf
jenwolf220@yahoo.com
Energy Law
Spring 2007
Energia fal
Pomiędzy różnymi rodzajami energii ,
oceany są źródłem energii w
postacioceans contain energy in the form
of
– Fal
– Prądów pływowych( przypływów i
odpływów)
Informacja
o falach:
• Fale są wywoływane poprzez wiele czynników iak wiatr siły grawitacji pochodzące
od Słońca i Księżyca, zmiany ciśnienia atmosferycznego trzęsienia Ziemi itp. Fale
wywołane wiatrem wystepują najczęściej.
Nierównomierne nagrzanie Ziemi
wywołuje wiatr, natomiast wiatr wiejący nad powierzchnią wody wywołuje fale.
• Taki transfer energii powoduje jej koncentrację. Początkowa moc przekazywana
od Słońca wynosi ok. 1 kW/m2 i jest średnio równo ok. 70kW/m grzbietu fali. Ta
wielkość rośnie do ok. 170 kW/m grzbietu fali w czasie silnych wiatrów i do ok. 1
MW/m w czasie sztormów.
• Sprawność takiego przekazu energii do fali zależy siły wiatru, długości fal i wielu
czynników jak długość fali jej wysokosći, okresu i kierunku.
• Energia fal jest nierównomierna i oscyluje z częstością poniżej 60-Hertz, musi być
przetransfomowana do tej częstości zanim zostanie zmieniona na użyteczną
energię elektryczną w sieci..
World Wave Power
Resources
•
Światowa Organizacja Poszukiwania Energii Niekonwencjonalnych (World Energy
Council 2001 Survey ) twierdzi, że potencjalna zasoby energii fal nadające się do
eksploatacji wynoszą ok. 2 TWNa wodach europejskich zasoby te oszacowano na
ok. 50% zapotrzebowania.
•
Rynek energii pochodzącej z fal oszacowano na ok. 32 miliardy dolarów w Wielkiej
Brytanii i na ok. 800 miliardów dolarów na świecie..
•
Dużą aktywność w badaniach tego typu wykazują Norwegia, Dania, Japonii, i
Wielka Brytania.
•
Do roku 1995, 685 kilowatts (kW) uzyskano ok. energii elektrycznej pochodzącej z
sieci wykorzystujących energię fal morskich .
Energia jest
przenoszona przez fale,
ale ruch cząstek jest
jedynie lokalny
Doppler efect, moving
sources/receivers
• If the
source of sound is moving
– Toward the observer
seems smaller
– Away from observer
seems larger
If the observer is moving
Toward the source
seems smaller
Away from source
seems larger
v
v
s
f
f
1
source
observer
source
o
observer
v
v
1
f
f
v
v
s
f
f
1
source
observer
source
o
observer
v
v
1
f
f