Pojęcie czasoprzestrzeni i interwału
Czasoprzestrzeń
– czterowymiarowa przestrzeń Einsteina
charakteryzująca się czterema współrzędnymi (x,y,z,t)
Interwał
– wielkość fizyczna opisująca odległość między dwoma
miejscami zdarzeń
W układzie O interwał s
12
wyraża się zależnością:
gdzie:
t = t
2
−t
1
, x = x
2
−x
1
, y = y
2
−y
1
, z = z
2
−z
1
W ruchomym układzie O’ poruszającym się względem układu
nieruchomego O z prędkością
u
interwał
s’
12
wynosi:
Zgodnie z tr. Lorentza:
x’ = (x– ut), y’ = y, z’ = z
s’
12
=
s
12
Interwał między dwoma miejscami zdarzeń we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia ma tę samą wartość – interwał jest
niezmiennikiem (inwariantem) względem transformacji Lorentza
Interwał między dwoma miejscami zdarzeń we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia ma tę samą wartość – interwał jest
niezmiennikiem (inwariantem) względem transformacji Lorentza
)
z
y
x
(
t
c
s
2
2
2
2
2
12
)
'
z
'
y
'
x
(
'
t
c
'
s
2
2
2
2
2
12
W
YK
ŁA
D B
EZ
RY
SU
NK
ÓW
W
YK
ŁA
D B
EZ
RY
SU
NK
ÓW
)
t
u
x
(
t
u
x
ut
x
ut
x
)
ut
x
(
)
ut
x
(
'
x
'
x
'
x
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
y
y
y
'
y
'
y
'
y
1
2
1
2
z
z
z
'
z
'
z
'
z
1
2
1
2
)
x
c
u
t
(
)
x
c
u
t
(
)
x
c
u
t
(
'
t
'
t
'
t
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
)
s
(
z
y
x
t
c
z
y
x
1
c
t
z
y
x
)
c
u
1
(
c
t
z
y
x
)
u
c
(
t
)
'
s
(
s’
12
=
s
12
Zadanie:
sprawdzić, czy ma miejsce równość:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
z
y
)
c
u
1
(
x
)
u
c
(
t
z
y
t
u
t
x
u
2
x
x
c
u
x
t
u
2
t
c
z
y
)
t
u
t
x
u
2
x
(
)
x
c
u
x
t
c
u
2
t
(
c
z
y
)
t
u
x
(
)
x
c
u
t
(
c
)
'
s
(
=
?
2
2
c
u
1
1
2
2
2
1
c
u
1
bo
Dodawanie prędkości
Zał.:
Ciało porusza się do osi x z
prędkością
v’
względem układu O’
Prędkość ciała względem układu O zgodnie z mechaniką klasyczną:
v = v’ + u
to jest fałsz w mechanice relatywistycznej
W mechanice relatywistycznej
v
obliczamy z transformacji Lorentza
N
IE
!
u
'
v
v
dt
)
ut
(
d
dt
'
dx
dt
dx
ut
'
x
x
'
x
x
0
Relatywistyczne dodawanie prędkości
Obliczamy pochodne dla x’=(x – ut) oraz t’=f(t) z transformacji Lorentza
O’ O
O O’
x’ = (x − ut)
x = (x’ + ut’)
y’ = y
y = y’
z’ = z
z = z’
t’ =
t =
x
c
u
t
2
'
x
c
u
'
t
2
u
v
u
dt
dx
dt
'
dx
x
2
x
2
c
uv
1
dt
dx
c
u
1
dt
'
dt
2
x
x
2
x
x
x
c
uv
1
u
v
)
c
uv
1
(
1
)
u
v
(
'
v
dt
'
dt
:
dt
'
dx
'
dt
dt
dt
'
dx
'
dt
'
dx
'
v
x
W układzie O:
W układzie O’:
t’ = f(t)
dt
dx
v
x
'
dt
'
dx
'
v
x
Tr
an
sf
or
m
ac
ja
Lo
re
nt
za
2
x
x
x
c
uv
1
u
v
'
v
Relatywistyczne dodawanie prędkości
Można też wyznaczyć wzór na
transformację w drugą stronę:
Przejście między
układami O i O’
Gdy
v’ i u << c,
to
uv/c
2
0
i mamy: v = v’ + u
Wniosek: mechanika klasyczna jest szczególnym przypadkiem
mechaniki relatywistycznej dla małych prędkości
Wniosek: mechanika klasyczna jest szczególnym przypadkiem
mechaniki relatywistycznej dla małych prędkości
Sprawdźmy postulat szczególnej teorii względności o stałej prędkości
światła
Jeżeli przyjmiemy v’= c, to
c
c
u
c
u
c
c
u
1
u
c
c
uc
1
u
c
v
2
Prędkość światła w obu układach jest jednakowa!
v = c
v’= c
2
c
uv
1
u
v
'
v
O’ O
2
c
'
uv
1
u
'
v
v
O O’
Zależność masy od prędkości
Podstawowe prawa mechaniki (zasady zachowania pędu, krętu
i energii) pozostają słuszne i w mechanice relatywistycznej !
Podstawowe prawa mechaniki (zasady zachowania pędu, krętu
i energii) pozostają słuszne i w mechanice relatywistycznej !
Aby pozostała słuszna zasada zachowania pędu, masa ciała
musi zależeć od prędkości:
m
0
– masa spoczynkowa ciała
Zależność czynnika
Lorentza = m/m
0
od
stosunku prędkości v/c
Pęd w mechanice relatywistycznej jest zdefiniowany jako:
p = mv = m(v)v
Zależność m od v została potwierdzona doświadczalnie w zjawiskach
z udziałem cząstek elementarnych
)
v
(
m
c
v
1
m
m
m
2
2
0
0
E = mc
2
E
k
= E – E
0
= (m –m
0
)c
2
= (m
0
– m
0
)c
2
= m
0
c
2
(−1)
gdzie:
Masa i energia
Aby zasada zachowania energii mogła być spełniona w mechanice
relatywistycznej, to:
Słynne
równanie Einsteina
wyrażające równoważność masy i energii
E – całkowita energia ciała
E
0
= m
0
c
2
Gdy ciało jest w spoczynku:
E
0
– energia spoczynkowa ciała
Gdy siła wprawia ciało w ruch, praca tej siły zamienia się w energię
kinetyczną ciała E
k
równą E – E
0
Wstawiając wielkość otrzymamy:
2
2
c
v
1
1
)
mv
2
1
(
E
1
c
v
1
1
c
m
1
c
m
E
2
.
klas
k
2
2
2
0
2
0
.
rel
k
Żadne ciało materialne nie może osiągnąć prędkości światła, bo gdy
v c,
to
E
k
Z v=c mogą poruszać się jedynie cząstki o masie m
0
równej zeru –
foton i neutrino
E
k
= E – E
0
= (m –m
0
)c
2
E = E
k
+ E
0
Plan wykładu
Plan wykładu
Prawo powszechnego ciążenia
Zachowawczość siły grawitacji
Pole grawitacyjne – natężenie, energia
potencjalna, potencjał
Prędkości kosmiczne
GRAWITACJA
GRAWITACJA
INFORMATYKA
INFORMATYKA
Prawo powszechnego ciążenia
Newton, 1798 r.
Dwa punkty materialne o masach m
1
i m
2
przyciągają się wzajemnie
siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną
do kwadratu ich odległości r
G – stała grawitacji
W przypadku ciał rozciągłych:
W przypadku ciał rozciągłych:
Jednorodne ciała kuliste oraz ciała złożone z
jednorodnych warstw kulistych przyciągają się
tak, jak punkty materialne umieszczone w ich
środkach
Ciężar ciała
Ciężar ciała
– siła, jaką ciało materialne jest przyciągane przez Ziemię
Gdy m – masa ciała; M – masa Ziemi, R – promień Ziemi, to siła F:
F = GMm
R
2
Siła F nadaje przyspieszenie g, więc F = mg
g = GM
R
2
g = 9,78 do 9,83 m/s
2
F =G
m
1
m
2
r
2
2
R
Mm
G
mg
•
•
Pole grawitacyjne
Wyobraźmy sobie, że w absolutnie pustej przestrzeni został
umieszczony punkt materialny o masie M. W przestrzeni wokół M
powstanie pole grawitacyjne działające na próbną masę m siłą F:
Natężenie pola grawitacyjnego
na powierzchni Ziemi jest równe
g
g
Natężenie pola grawitacyjnego
na powierzchni Ziemi jest równe
g
g
r
r – wektor wodzący,
którego początek
znajduje się w
środku masy M
Natężenie pola
grawitacyjnego
2
r
Mm
G
F
Natężeniem pola grawitacyjnego
Natężeniem pola grawitacyjnego
nazywamy stosunek
siły działającej na masę próbną m
m
do wartości tej masy;
natężenie pola jest wektorem:
m
F
3
3
r
r
M
G
m
r
r
Mm
G
m
F
R
r
gdy
g
3
3
r
r
Mm
G
F
r
Mmr
G
F
Zapis wektorowy
2
2
R
M
G
m
R
Mm
G
g
m
F
M
m
r
r
F
F
x
y
z
Pole grawitacyjne - energia potencjalna
Siła grawitacji jest siłą zachowawczą
wykład z mechaniki
W
– praca siły grawitacji wykonana przy przesunięciu masy próbnej
m
z
punktu
P
do
jest równa energii potencjalnej względem punktu
P
Znak „–”, bo siła F tworzy kąt
180° z przesunięciem
E
p
masy m jest ujemna i w miarę oddalania się od masy M rośnie
osiągając zero w
0
r
p
Fdr
W
E
0
r
r
2
r
2
r
Mm
G
r
1
GMm
r
dr
GMm
dr
r
Mm
G
W
0
0
0
r
Mm
G
)
r
(
E
p
ds
F
W
s
0
Wz
ór:
1
n
x
dx
x
1
n
n
Wz
ór:
Wykres energii potencjalnej
masy znajdującej się w polu
grawitacyjnym masy M
x=r; n=−2
Pole grawitacyjne - potencjał
E
p
(r) = – GMm
r
Grawitacyjna energia potencjalna masy próbnej m
w dowolnej odległości r od masy M
Potencjałem pola grawitacyjnego
nazywamy stosunek
energii potencjalnej masy próbnej m do wartości tej masy
Potencjał określa energię potencjalną w odległości r od środka
masy M przypadającą na jednostkę masy
Przedstawione wzory mają ogólny charakter i można je
stosować do pola grawitacyjnego dowolnych ciał niebieskich
M
m
r
r
F
F
r
GM
rm
GMm
m
)
r
(
E
)
r
(
V
p
Prędkości kosmiczne
Prędkość kosmiczna
to najmniejsza możliwa prędkość, jaką
musi mieć punkt materialny, aby:
swobodnie krążyć po orbicie wokół Ziemi –
pierwsza
prędkość kosmiczna
mógł pokonać przyciąganie ziemskie i oddalić się od Ziemi –
druga
prędkość kosmiczna
mógł pokonać przyciąganie słoneczne i opuścić Układ
Słoneczny –
trzecia
prędkość kosmiczna
Prędkości kosmiczne
Pierwsza prędkość kosmiczna
to najmniejsza możliwa prędkość,
jaką musi mieć punkt materialny swobodnie krążący po orbicie wokół
Ziemi
Na poruszający się po orbicie pocisk działają dwie siły o przeciwnych
zwrotach
Warunkiem stabilności orbity jest równość w/w sił:
v
I
odpowiada orbita o promieniu r ~ R:
m
M
Siła odśrodkowa
Siła grawitacji
gr
odś
F
F
2
2
R
g
GM
R
GM
g
oraz
R
r
r
mv
F
2
odś
2
gr
r
Mm
G
F
r
GM
v
v
r
M
G
r
mv
r
Mm
G
2
2
2
Rg
R
gR
R
GM
)
R
r
(
v
v
2
I
s
/
km
9
.
7
v
I
Prędkości kosmiczne
Prędkości kosmiczne
Drugą prędkością kosmiczną (prędkością ucieczki)
Drugą prędkością kosmiczną (prędkością ucieczki)
nazywamy
najmniejszą możliwą prędkość, jaką musi mieć punkt materialny przy
powierzchni Ziemi, aby mógł się oddalić od niej w nieskończoność
Rozważmy
rzut ciała pionowo w górę
na wysokość h z prędkością v
Z zasady zachowania energii wynika równanie:
Całkowita energia
mechaniczna ciała
na powierzchni
Ziemi
Całkowita energia
mechaniczna ciała na
wysokości h, gdy jego
prędkość wynosi 0
Podstawiamy h =
h
R
1
R
1
GM
2
v
h
R
1
R
1
GM
v
2
1
h
R
M
G
R
M
G
v
2
1
2
2
2
2
R
g
GM
R
GM
g
I
2
II
v
2
gR
2
R
gR
2
R
GM
2
v
h
R
Mm
G
R
Mm
G
mv
2
1
2
s
/
km
2
.
11
v
II
Prędkości kosmiczne
Aby ciało znajdujące się na orbicie Ziemi mogło pokonać przyciąganie
słoneczne i opuścić Układ Słoneczny należy mu udzielić
trzeciej
prędkości kosmicznej v
III
M
s
– masa Słońca
R
0
– promień orbity Ziemi
v
III
– zależy od tego, czy ciało startuje zgodnie z ruchem Ziemi czy
przeciwnie
s
/
km
1
.
42
R
GM
2
v
0
s
III
R
GM
2
v
II
Druga
prędkość
kosmiczna jest
niezbędna by pokonać przyciąganie
ziemskie i oddalić się od Ziemi
R – promień Ziemi
M – masa Ziemi
Prędkości kosmiczne
Prędkości kosmiczne
Tory pocisku wystrzelonego poziomo nad Ziemię z różnymi prędkościami
Przy prędkości v<v
I
torami
pocisku są parabole
Tory pocisku przy prędkościach
vv
I
: okręgi, elipsy, parabole i
hiperbole
Plan wykładu
Plan wykładu
RUCH DRGAJĄCY
RUCH DRGAJĄCY
Wielkości charakteryzujące drgania harmoniczne
Drgania swobodne – prosty oscylator harmoniczny
Drgania tłumione
Drgania wymuszone
Drgania złożone – składanie drgań
INFORMATYKA
INFORMATYKA
Ruch drgający i falowy
Ruchem drgającym
lub oscylacją nazywamy ruch ciała zachodzący wokół
stałego położenia równowagi
Ruch okresowy
(periodyczny) – taki ruch, w którym położenie lub stan
ciała powtarza się w jednakowych odstępach czasu, zwanych okresem
drgań
Ruch jest okresowy, jeśli dla dowolnego czasu t:
x(t) może być wyrażone różnymi funkcjami periodycznymi, np. sin lub cos
x = A cos(ωt + φ)
A – amplituda drgań
ω – częstość kątowa (pulsacja)
φ – faza początkowa
ωt + φ – faza drgań w chwili t
Drganie
x = A cos(ωt + φ)
nosi nazwę
harmonicznego
)
t
sin(
A
x
1
2
1
Inna postać drgania harmonicznego:
gdzie:
x(t) = x(t+T)
def
Document Outline