Modele i obliczenia 

mechanizmów wciągarki

Dr inż. Piotr Kisiel

 

 

Zasada Hamiltona

Dla  układu      zachowawczego  wymaga  ona,  aby 

całka  

miała wartość ekstremalną. Funkcja
podcałkowa  L  reprezentuje  nadwyżkę  energii 

kinetycznej nad potencjalną tj.

                 L = Ak − Ap                                              

                                                                   

gdzie:
L – funkcja Lagrange’a
Ak –energia kinetyczna
Ap - energia potencjalna

 

 

Równania ruchu dla układów zachowawczych 
bez strat i wymuszeń zewnętrznych

Po  obliczeniu  wariacji  całki  względem  kolejnych  zmiennych 
(współrzędnych 

uogólnionych) 

otrzymuje 

się 

równania 

Lagrange’a  drugiego  rodzaju;  dla  układów  zachowawczych,  bez 
strat i bez wymuszenia zewnętrznego:

 

dla  j = 1,..., k
gdzie:

q j –współrzędne uogólnione
k – liczba stopni swobody

 

 

Równania ruchu dla układów nie zachowawczych 
(rzeczywistych) ze stratami i wymuszeniami 
zewnętrznymi

gdzie:

 - funkcja strat 
 - funkcja wymuszenia 

 

 

Stabilność oraz stany nieustalone

Stabilnością  układu  nazywamy  jego  skłonność  powracania  do 
warunków równowagi statycznej, gdy został z nich wytrącony.
Zmiana  wartości  obciążenia  lub  siły  elektromotorycznej  silnika 
powoduje  zakłócenie  równowagi  ruchu  napędu:  zmianę 
momentu  dynamicznego  oraz  prędkości  ruchu.  Zakłócenia 
równowagi  ruchu  napędu  nazywamy  stanem  nieustalonym, 
który trwa aż do osiągnięcia nowej stałej prędkości ruchu układu 
napędowego.

 

Układ napędowy znajduje się w stanie równowagi gdy 
Md = 0 tj. przy Ms (ω) = Mobc (ω). Stan równowagi dynamicznej 
jest punktem pracy układu napędowego: jest to punkt przecięcia 
się charakterystyki silnika z charakterystyką obciążenia.

 

 

 

Stabilność oraz stany nieustalone

Rys.1. Punkt pracy układu napędowego

 

M 

M 

obc

ω 

p

ω

Punkt pracy

Charakterystyka

momentu silnika 

M

s

Charakterystyka

momentu 

obciążenia

 

 

Moment dynamiczny

Moment dynamiczny jest różnicą pomiędzy momentem silnika 

(wymuszeniem zewnętrznym) a momentem oporu (obciążeniem).

 

 

 

Więzy sprężyste

Więzy  sprężyste  charakteryzuje  współczynnik  sztywności  k 
określany  jako  wartość  siły  potrzebnej  dla  jednostkowego 
przesunięcia  jednego  końca  więzów  względem  drugiego.  Dla 
przesunięcia prostoliniowego wartość tego współczynnika można 
wyznaczyć wg wzoru :

gdzie:

F – siła rozciągająca więzy [N],
∆l – wydłużenie liniowe [m],
E – moduł sprężystości Younga [N / m2],
Q – przekrój poprzeczny [m2],
l – długość więzi [m].

 

 

Więzy sprężyste

Dla przesunięcia obrotowego współczynnik sztywności jest równy:

gdzie:

M – moment skręcający więzy [Nm],
∆α – skręcenie więzi [rad],
G – moduł sprężystości poprzecznej [N / m2],

d – średnica więzi [m].

 

 

 

Mechanizm podnoszenia  
Model matematyczny (dwumasowy)

m

1

m

2

2

w

s

1

1

x

m



1

w

s

2

w

s

2

S

2

x

1

x

1

S

h

k

 

 

Równania ruchu
Rozruch – przypadek z napiętymi więzami

Równania ruchu przyjmują 
postać:

 

 

 

Równania ruchu
Rozruch – przypadek ze zluzowanymi więzami

      Ładunek  spoczywający  na  podłożu, 

lina  nie  jest  napięta.  Ruch  takiego 

układu  rozpoczyna  się  od  fazy 

napinania  więzów,  tj.  początkowo 

porusza  się  tylko  masa  m1,  co 

powoduje 

stopniowe 

rozciąganie 

więzów.  Faza  ta  trwa  do  chwili,  w 

której 

siła 

odkształcająca 

więzy 

osiągnie wartość równą sile S2 .

                    Układ  ma  tylko  jeden  stopień 

swobody,  a  więc  ruch  układu  opisuje 

jedno równanie drugiego rzędu.

 

 

Równania ruchu
Rozruch – przypadek z nadmiernym luzem

Ładunek  spoczywa  na  podłożu,  lecz  tym 

razem liny są bardziej luźne. Ruch takiego 

układu  rozpoczyna  się  od  fazy  kasowania 

luzu  w  więzach  –  porusza  się  tylko  masa 

m1  pociągając  za  sobą  linę  bez  oporu,  a 

masa  m2  spoczywa  swobodnie  na 

podłożu.

W  równaniu  nie  występują  zewnętrzne  ani 

wewnętrzne siły oporu.

Ruch jest jednostajnie przyspieszony i trwa do 

chwili wyczerpania luzu:

Czas kasowania luzów wyraża się wzorem:

Prędkość  masy  m1  w  chwili  skasowania  luzu 

jest równa:

 

 

 

Równania ruchu
Hamowanie przy opuszczaniu

Warunki  początkowe  określone  są  przez 
prędkość  ruchu  przy  opuszczaniu  oraz 
wydłużenie  układu  linowego  pod  wpływem 
zawieszonego ciężaru:

Ruch opisują dwa równania różniczkowe:

Ruch tego układu składa się z dwóch faz:

 

−  ruch  obu  mas  –  trwa  do  zatrzymania  masy  m1 

siłą hamulca

 

− po zatrzymaniu masy m1  następuje faza, 

w  której  masa  m2  wykonuje  swobodne 

wahania pionowe opisane równaniem:

 

 

 

 

Równania ruchu
Hamowanie przy podnoszeniu

Równania ruchu w fazie pierwszej – ruch obu mas:

      Faza ta trwa aż do chwili

       

w której nastąpi 

zatrzymanie pierwszej masy m1,v=0. Druga 
faza po zatrzymaniu masy m1               to ruch 

wahadłowy drugiej masy m2

 

 

 

Obliczenie parametrów występujących 
w równaniach ruchu

Tabela danych obliczeniowych mechanizmu podnoszenia 

 

 

Obliczenie parametrów występujących 
w równaniach ruchu

Obliczenie masy zredukowanej − m1

 obliczenie momentu zredukowanego Jzr1 dla masy m1

zatem:

 

2

1

1

4

b

zr

D

J

m





 

 

Obliczenie parametrów występujących 
w równaniach ruchu

Obliczenie masy zredukowanej − m2

 obliczenie momentu zredukowane Jzr2 dla masy m2

gdzie

zatem 

 

 

Obliczenie parametrów występujących 
w równaniach ruchu

Obliczenie siły wymuszającej S1R dla rozruchu

 obliczenie M*silnika

zatem  

 

 

Obliczenie parametrów występujących 
w równaniach ruchu

Obliczenie siły wymuszającej SR2 dla rozruchu

Obliczenie siły wymuszającej S1H dla hamowania

Obliczenie siły wymuszającej S2H dla hamowania

 

 

Obliczenie parametrów występujących 
w równaniach ruchu

Obliczenie współczynnika sprężystości liny 

 k

Obliczenie współczynnika tłumienia 

 h

 

 

Obliczenie parametrów występujących 
w równaniach ruchu

Równania ruchu układu

- podczas rozruchu

- podczas hamowania

 

 

Tyle tej powtórki 

Zapraszam do udziału w laboratorium 

z modelowania dynamiki wciągarki 

przejezdnej !