PŚk - WBiA - KM,KMiMK
Strona 1
Metody Obliczeniowe w Mechanice Konstrukcji – przykładowe zadania +
rozwiązania
Wzory:
Funkcje kształtu Hermite’a:
#
$
%&, () * 1 , 3 .
&
(/
0
+ 2 .
&
(/
2
#
0
%&, () * & .1 ,
&
(/
0
#
2
%&, () * 3 .
&
(/
0
, 2 .
&
(/
2
#
3
%&, () * & 4.
&
(/
0
,
&
(5
Macierz sztywności elementu belkowego:
8%9:, () *
;
<
<
<
<
<
<
=
129:
(
2
69:
(
0
69:
(
0
49:
(
,129:
(
2
69:
(
0
,69:
(
0
29:
(
,129:
(
2
,69:
(
0
69:
(
0
29:
(
129:
(
2
,69:
(
0
,69:
(
0
49:
( @
A
A
A
A
A
A
B
Macierz bezwładności elementu belkowego:
C%D, () *
D(
420 F
156 22(
22( 4(
0
54 ,13(
13( ,3(
0
54
13(
,13( ,3(
0
156 ,22(
,22(
4(
0
H
1.
Narysować i opisać schemat analizy komputerowej.
2.
Napisać i objaśnić użyte oznaczenia równania modelu matematycznego w
sformułowaniu lokalnym i w sformułowaniu globalnym dla problemu pręta zginanego.
3.
Wyprowadzić równanie różniczkowe wraz z warunkami brzegowymi problemu
brzegowego rozciąganego pręta sprężystego.
Aproksymacja i interpolacja
Aproksymacja i interpolacja
Aproksymacja i interpolacja
Aproksymacja i interpolacja
4.
Obliczyć metodą najmniejszych kwadratów wielomian aproksymacyjny stopnia
pierwszego i drugiego dla danych:
y
i
0,0504 0,0984 0,3328 0,7266 1,097
1,570
1,849
2,502
x
i
0,2
0,3
0,6
0,9
1,1
1,3
1,4
1,6
5.
Wyprowadzić funkcje interpolacji Lagrange’a stopnia n*2 dla węzłów i*0,1,2
%N
2,0
%x)*? ; N
2,1
%x)*? ; N
2,2
%x)*?). Sprawdzić warunek kompletności ∑ #
Z,[
%&) * 1
0
[\]
oraz wykonać wykresy funkcji bazowych.
6.
Obliczyć f%2,5) przyjmując:
•
wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia pierwszego i dane:
f%2,4)*0,5104 i f%2,6)*0,4813
•
wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia drugiego i dane:
f%2,2)*0,5208; f%2,4)*0,5104 i f%2,6)*0,4813
7.
Obliczyć funkcje kształtu dla 3 węzłowego elementu skończonego. Sprawdzić warunki
kompletności.
#
[
*
1
2_
%`
[
+ a
[
& + b
[
c)
`
[
* &
d
c
e
, &
e
c
d
; a
[
* c
d
, c
e
;
b
[
* &
e
, &
d
PŚk - WBiA - KM,KMiMK
Strona 2
8.
Korzystając z interpolacji Hermite’a obliczyć ugięcie w zaznaczonych punktach belki.
f *
;
<
<
<
<
<
<
=,0.045
0.027
0
0.012
0
,0.005
,0.016
0 @
A
A
A
A
A
A
B
,
EI
*6480 kNm
2
rozwiązanie: w
A
*-0.0186, w
B
*0.0091, w
C
*-0.0149 [m].
Metoda Różnic Skończonych
Metoda Różnic Skończonych
Metoda Różnic Skończonych
Metoda Różnic Skończonych
9.
Opisać algorytm rozwiązania problemu metodą różnic skończonych. Poszczególne kroki
rozwiązania zilustrować rozwiązując równanie różniczkowe:
y”%x)*2x, xϵ%0, L), y%0)*0 i y%2)*1, Δx*0.5, L*2,
10.
Objaśnić na przykładzie problemu parabolicznego rozwiązanie różnicami skończonymi
metodą bezpośrednią oraz metodą Cranka-Nicolsona.
s
t
u
sv
t
*
su
sw
,
xϵ%0, L)
T%0, t)*T%L, t)*0, T%x, 0)*f%x)
11.
Opisać metodę różnic skończonych rozwiązywania równania różniczkowego
hiperbolicznego.
12.
Rozwiązać dane równanie różniczkowe Metodą Różnic Skończonych %MRS):
xє<0,4>,
Δx*h*1,
u%0)*0,
u%4)*-1
a)
|
t
}%v)
|v
t
, 2~%&) * 4&
rozwiązanie: u%1)* -1.875, u%2)* -3.5, u%3)* -4.125
b)
|
t
}%v)
|v
t
, 2
|}%v)
|v
* ,&
rozwiązanie: u%1)* 0.5, u%2)* 1.5, u%3)* 3 %r. centralne)
rozwiązanie: u%1)* 0.575, u%2)* 1.3, u%3)* 1.475 %r. wstecz)
rozwiązanie: u%1)* 1.5, u%2)* 0, u%3)* 3.5 %r. wprzód)
13.
Rozwiązać dane równanie różniczkowe Metodą Różnic Skończonych %MRS):
xє<0,6>,
Δx*h*2,
yє<0,2>,
Δy*k*1,
a)
|
t
}%v,•)
|v
t
+
|
t
}%v,•)
|•
t
* & + c, u%0,y)*4, u%6,y)*4, u%x,0)*4,
|}%v,0)
|•
* 0 %r. centralne)
rozwiązanie: u%2,1)* 0.103, u%4,1)* -1.246, u%2,2)* -1.342, u%4,2)* -3.14
b)
|
t
}%v,•)
|v
t
+
|
t
}%v,•)
|•
t
* 0,
u%0,y)*4, u%6,y)*4, u%x,0)*4,
|}%v,0)
|•
* ,&
rozwiązanie: u%2,1)* 2.4, u%4,1)* 1.681, u%2,2)* 0.581, u%4,2)* -1.397
c)
|
t
}%v,•)
|v
t
+
|
t
}%v,•)
|•
t
* 2,
u%0,y)*4, u%6,y)*4, u%x,0)*4,
|}%v,0)
|•
* ,2
rozwiązanie: u%2,1)* 1.224, u%4,1)* 1.224, u%2,2)* -0.245, u%4,2)* -0.245
14.
Rozwiązać dane równanie różniczkowe
|}%v,w)
|w
* 2
|
t
}%v,w)
|v
t
%MRS – Metodą Cranka-
Nicolsona), dla poziomu j*1. xє<0,9>,
Δx*h*3, r*0.5
a)
u%0,t)*0, u%9,t)*0, u%x,0)*-4x
2
+36x
rozwiązanie: Δt*4.5, u%3, Δt)* 24, u%6, Δt)* 24
b)
u%0,t)*0, u%9,t)*18, u%x,0)*-%5/3)x
2
+17x
15.
Rozwiązać dane równanie różniczkowe Metodą Różnic Skończonych %MRS), dla poziomu
czasowego j*1.
xє<0,6>, Δx*h*2, r*1, u%0,t)*0, u%6,t)*0, u%x,0)*-4x
2
+24x,
|}%v,])
|w
* 5
a)
|
t
}%v,w)
|w
t
* 4
|
t
}%v,w)
|v
t
,
rozwiązanie: Δt*2, u%2, Δt)* -22, u%4, Δt)* -22
b)
|
t
}%v,w)
|w
t
* &
|
t
}%v,w)
|v
t
,
rozwiązanie: Δt*2, u%2, Δt)* 10, u%4, Δt)* -22
PŚk - WBiA - KM,KMiMK
Strona 3
Metoda Elementów Skończonych
Metoda Elementów Skończonych
Metoda Elementów Skończonych
Metoda Elementów Skończonych
16.
Opisać algorytm metody elementów skończonych.
17.
Obliczyć macierz sztywności elementu skończonego ze wzoru na k
i,j
, i,j*1,2.
f * •f
$
,f
0
‚
18.
Rozwiązać belkę metodą elementów skończonych. Obliczyć tą metodą reakcje i siły
przywęzłowe. Wykonać wykresy T i M.
a*5 cm
EI*3200 kNm
2
19.
Przedstawić graficznie proces agregacji macierzy sztywności.
f * •f
$
, f
0
,f
2
, f
3
, f
ƒ
, f
„
‚
element
węzły
1
2
3
4
1 2 6
2 3 4
4 5 6
2 4 6
20.
Obliczyć wektor sił przywęzłowych dla danego elementu skończonego z danym
obciążeniem i wektorem globalnych stopni swobody. Narysować wykresy N, T i M.
f * •1 ,1.5 2 ,0.5 1 ,3‚ ∙ 10
†2
%X,Y)
– globalny układ współrzędnych
E*210 GPa
A*6*10
-3
m
2
I*1*10
-5
m
4
%korzystnym wydaje się obliczenie wektora sił przywęzłowych w układzie globalnym, a
potem przetransformowanie go do układu lokalnego)
21.
Dla dwuwęzłowego elementu belkowego wyznaczyć wektor sił węzłowych PPPP
e
e e
e
od
obciążenia jak na rysunku. Œ
•
* Ž [#
•
%&)]
u
•
•
%&)•&
‘
’
]
rozwiązanie:
q%x)*2x, Œ
•
*
;
<
<
<
=
t”
•
–”
—•
•–
•
˜™t
•
@
A
A
A
B
rozwiązanie:
q%x)*0.5x
2
, Œ
•
*
;
<
<
<
=
™t
—•
™t
—•
—tš
—•
˜–”
•
@
A
A
A
B
22.
Rozwiązać belkę Metodą Elementów Skończonych. Obliczyć wektory przemieszczeń i
reakcji węzłowych oraz wykonać wykresy sił przekrojowych.
EI
*3600 kNm
2
EI
*5760 kNm
2
rozwiązanie: Q*[0,0,0,-0.0017,0,0.0008]
T
R
1
*[-2.25,-3,2.25,-6]
T
, R
2
*[-2,-6,2,0]
T
rozwiązanie: Q*[0,0.0014,0,0.0021,0,0]
T
R
1
*[7.5,14,-7.5,16]
T
, R
2
*[2,8,-2,4]
T
PŚk - WBiA - KM,KMiMK
Strona 4
23.
Dla belki podpartej i obciążonej jak na schemacie wyznaczyć wektor stopni swobody QQQQ
i narysować linię ugięcia.
EI
*2400 kNm
2
rozwiązanie: Q*[0,0,0,0.01636,0,-0.00409,0,0]
T
24.
Dla belki podpartej i obciążonej jak na schemacie wyznaczono wektor stopni swobody QQQQ.
Wyznaczyć wektory sił przywęzłowych i narysować wykresy sił przekrojowych.
EI
*6400 kNm
2
Q*[0.001563,0,0,-0.001563,-0.002556,-0.000078,0,0]
T
rozwiązanie: R
1
*[0,5,0,-5]
T
, R
2
*[9.75,5,-9.75,14.5]
T
, R
3
*[9.75,-14.5,62.25,-38]
T
25.
Rozwiązać belkę Metodą Elementów Skończonych. Przyjąć 2 elementy skończone %wg
schematu). Wektor równoważników obciążenia PPPP
eeee
najłatwiej obliczyć wybierając z tablic
wektor reakcji dla belki obustronnie utwierdzonej i zmieniając znak wektora %dla
otrzymania równoważników obciążenia P.
26.
Rozwiązać kratownicę metodą elementów skończonych. EA*600kN
27.
Rozwiązać ramę metodą elementów skończonych.
f *
;
<
<
<
<
<
<
<
=
0
0
0
0.0006
,0.0042
,0.0660
0
0
0
@
A
A
A
A
A
A
A
B
PŚk - WBiA - KM,KMiMK
Strona 5
Metoda Elementów
Metoda Elementów
Metoda Elementów
Metoda Elementów Skończonych
Skończonych
Skończonych
Skończonych---- problem
problem
problem
problem ustalonego przepływu ciepła
ustalonego przepływu ciepła
ustalonego przepływu ciepła
ustalonego przepływu ciepła
28.
Sformułować model matematyczny w sformułowaniu lokalnym problemu ustalonego
przepływu ciepła w obszarze dwuwymiarowym. Wyjaśnić użyte symbole %oznaczenia).
Podać wzory na q
e
, K
e
, F
e
i P
e
dla elementu skończonego trójkątnego.
29.
Dany jest element skończony dla problemu stacjonarnego przepływu ciepła %grubość
t*1). Obliczyć element K
23
ze wzoru: 8 * Ž œ•ž
u
Ÿ•
.
•&•c.
Ÿ * 10 ¡/¢£¤
#
$
*
—
t
%0•†v)
;
#
0
*
—
t
%0†0•)
;
#
2
*
$
0v
30.
Obliczyć metodą elementów skończonych wektor gęstości strumienia przepływu ciepła q
q
q
q
oraz temperaturę w punkcie A
A
A
A dla tarczy zdyskretyzowanej jednym elementem
skończonym i z danym wektorem stopni swobody TTTT.
a)
k*5
¥ * ¦
24
12
1
§ ¢
#
$
* 1 ,
$
2]
c ,
$
„
&,
#
0
*
$
„
& ,
$
„
c,
#
2
*
$
ƒ
c,
Rozwiązanie:
• * ¨10
13©,
T
A
%3,1)*15.4 %77/5) ¢
b)
k*12
¥ * ¦
12
2
6
§ ¢
#
$
* 1 ,
$
2
&,
#
0
*
$
3
& ,
$
3
c +
$
3
,
#
2
*
$
$0
& +
$
3
c ,
$
3
,
Rozwiązanie:
• * ¨ 36
,12©,
T
A
%2,1)*6 ¢
31.
Zbudować globalną macierz KKKK dla tarczy zdyskretyzowanej dwoma trójkątnymi
elementami skończonym. %str. 195 skryptu)
a)
Ÿ * 4¡/¢£¤,
Q*
0
Rozwiązanie: 8 *
;
<
<
<
<
<
=
0ƒ
„
†«
„
†«
„
0ƒ
„
0
†$„
„
†$„
„
0
0
†$„
„
†$„
„
0
0ƒ
„
†«
„
†«
„
0ƒ
„
@
A
A
A
A
A
B
¬)
Ÿ * 9 ¡/¢£¤,
Q*
30 J/m
2
s
32.
Dla danych z zadania 31 a) wyznaczyć wartość temperatury w węzłach 1 i 2.
Rozwiązanie:
T
1
*44.044
o
C,
T
2
*33.456
o
C
PŚk - WBiA - KM,KMiMK
Strona 6
Metoda
Metoda
Metoda
Metoda Elementów Skończonych
Elementów Skończonych
Elementów Skończonych
Elementów Skończonych---- drgania własne
drgania własne
drgania własne
drgania własne
33.
Wyprowadzić równanie równowagi dynamicznej MES dla elementu skończonego
belkowego. Objaśnić wszystkie użyte oznaczenia.
34.
Jaką postać ma globalny układ równań równowagi dynamicznej dla konstrukcji. Opisać
występujące tam oznaczenia. Przy jakich założeniach formułujemy problem własny dla
problemu drgań własnych nie tłumionych.
35.
Obliczyć częstość drgań własnych i wektor formy drgań dla belki za pomocą METODY
ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. Narysować 1-szą formę drgań.
EI*70kNm
2
μ*50kg/m
Rozwiązanie: ω
1
*0.81, ω
2
*3.71 [rad/s]
1 forma drgań Q
2
*Q
4
2 forma drgań Q
2
*-Q
4
EI*70kNm
2
μ *80kg/m
Rozwiązanie: ω
1
*0.292, ω
2
*0.764 [rad/s]
1 forma drgań Q
4
*-0.707Q
6